Zadania domowe z Analizy I Ind. Seria 3. 19.12.2018 1. Wyliczy´ c granice:

Zadania domowe z Analizy I Ind. Seria 3. 19.12.2018 1. Wyliczy´ c granice:

(a) lim x→1 x

; (b) lim x→0 1−(cos x)

x

; (c) lim x→0 1

x ( ¹ _x − cot x) ;

(d) lim x→∞ (x ² − x ⁴ log(1 + x ⁻² )) ; (e) lim x→1 ( _{log x} ¹ − _x−1 ¹ ) ; (f) lim x→1 ( _log ^x−1

x − _x−1 ¹ ) ; (g) lim x→0 (1 + x ² e ^x )

; (h) lim x→0 x ⁻⁵ (x −

q

1 + ^x ₃

sin x) ; (i) lim x→0 ( ^e _e

^−ax −bx ) ^x

; (j) lim x→a a

−x

x−a ; (k) lim x→0 e

−cos x

x

; (l) lim _x→π/4 (tan x) ^{tan 2x} ;

(m) lim x→0 (1 − x + sin x) ^x

; (n) lim x→∞ (cos(x + _x ¹ ) − cos(x − _x ¹ )) ; (o) lim x→0

(1−cos x) sin

sin x ; (p) lim x→

cos(cos x)−sin x

cos

x ; (q) lim x→0 ( _{cosh x} ^{cos x} ) ^1/x

; (r) lim x→π 1−cos x cos 2x cos 3x 1+cos x ; (s) lim _x→0

√

cos 4x− √

cos 5x

1−cos 3x ; (t) lim _x→1− (tan ^πx ₂ ) ^1−x ; (u) lim _x→∞ ( ^π ₂ − arctan x)

. 2. Korzystaja

c z rozwinie

cia w szereg Taylora znale´ z´ c granice:

lim

x→0

sin ⁵ x

e ^x − 1 − x − x ² − x ³ − x ⁴ 4 , lim

x→0

sinh(x ² ) − x ² cos x − 1 + x ² , lim

x→0

arctan x − x + x ³ ln(1 − x) + x + x ² + x ³ + x ⁴ 3. Znale´ z´ c punkty niecia

g lo´ sci funkcji f : R −→ R (w zale˙zno´sci od warto´sci parametr´ow)

f (x) :=







x

−5x+6

x

−x−2 x 6= 1, 2

a x = 2

1 x = 1

;

f (x) :=

 _x

+x

sin x x 6= 0 a x = 0 ; f (x) :=

 _x

₋₁

x

−1 x 6= 1 m, n ∈ N

a x = 1 ;

f (x) :=

 e

−1

|x| x 6= 0 a x = 0 ; f (x) :=

 √

x ² + a ² |x| > 1 ax ² + bx + c |x| ≤ 1 ; f (x) :=

 1

x − _e

¹ ₋₁ x 6= 0

1

2 x = 0 .

4. Dla jakich warto´ sci a, b ∈ R funkcja

f (x) :=

( ax + b, gdy a ≤ 0,

1

x arcsin x

, gdy 0 < x < 1 jest r´ o˙zniczkowalna.

5. Zbada´ c r´ o˙zniczkowalno´ s´ c funkcji w R danej wzorem:

f (x) :=

( x ² arc ctg ¹ _x , gdy x 6= 0,

0, gdy x = 0,

6. Sprawdzi´ c r´ o˙zniczkowalno´ s´ c funkcji w podanych punktach:

f 1 (x) :=

( √

x ⁴ , gdy x 6= 0,

0, gdy x = 0, f 2 (x) :=

( 2 ^x + 3x ² , gdy x < 2, log ^√ ₂ x + 7x, gdy x ≥ 2,

f 3 (x) :=

( √

x ² cos _x ¹ , gdy x 6= 0,

0, gdy x = 0, f 4 (x) :=

( x ³ + x ² − _π ¹ sin πx, gdy x ≤ 1, x ⁵ + x, gdy x > 1, . 7. Dowie´ s´ c, ˙ze liczba rzeczywistych pierwiastk´ ow W n (x) := P n

k=0 x

k! jest r´ owna 0 lub 1, zale˙znie od parzysto´ sci n ∈ N.

1

8. Dla x ∈ [−1, 1] udowodni´ c to˙zsamo´ s´ c: arcsin x = arctan ^{√ x}

1−x

. 9. Dla x ∈ [0, ∞] wykaza´ c nier´ owno´ s´ c: sin x ≥ x − ^x ₆

.

10. Dowie´ s´ c, ˙ze:

(a) x − ^x ₂

< log(1 + x) dla x > 0 ; (b) log(1 + x) < x − ^x ₂

+ ^x ₃

dla x > −1 ; (c) e ^2x < ^1+x _1−x dla 0 < x < 1 ; (d) (4 − cos x) ^{sin x} _x < 3 dla x 6= 0 ; (e) | ^1+x _x arctan x| < ^π ₂ dla x < 1 ; (f) 1 + x log(x + √

1 + x ² ) ≥ √ 1 + x ² . 11. Dowie´ s´ c, ˙ze funkcja f (x) := (1 + x) ^1/x , −1 < x 6= 0, da sie

przed lu˙zyc do funkcji r´ o˙zniczkowalnej na ] − 1, ∞[.

Wyliczy´ c f (0) i f ⁰ (0) oraz wykaza´ c, ˙ze funkcja x 7→ f (x) jest maleja

ca, a x 7→ (1 + x)f (x) — rosna

ca na ] − 1, ∞[.

12. Niech f : R → R, f (x) :=

 1

x − _e

¹ ₋₁ gdy x 6= 0

1

2 gdy x = 0 . Dowie´ s´ c, ˙ze:

(a) f jest klasy C ¹ na R (wyliczy´c f ⁰ (0));

(b) f jest maleja

ca;

(c) f jest jednostajnie cia

g la na R.

(d) funkcja R 3 x 7→ f (x) − ¹ 2 ∈ R jest nieparzysta.

13. Dowie´ s´ c, ˙ze funkcja f : R → R, f (x) := ^x x

⁻¹ +1 , ma trzy punkty przegie

cia oraz ˙ze le˙za

one na jednej prostej.

14. Zbada´ c przebieg funkcji, naszkicowa´ c wykres:

f (x) := ^x

^{√ +3x+11}

x

+2 , x ∈ R ; f (x) := (x + 2)e

, x ∈ R \ {0} ; f (x) := (x − ³ _x )e ⁻

, x ∈ R \ {0};

f (x) := arcsin _(1+x ^3x−x

₎

, x ∈ R;

f (x) := (x + 1) arctan x, x ∈ R.

2