WYKŁAD 8

WYKŁAD 8 3.3. Granica funkcji. Granice niewłaściwe. Asymptoty funkcji. Ciągłość

funkcji. Własności funkcji ciągłych.

Niech funkcja (liczbowa) f będzie określona w pewnym sąsiedztwie

0 0

( ) ( )

B x S x punktu x₀. Wartość f x( )₀ może być nieokreślona. Wtedy z definicji 3A6 granicy (właściwej lub niewłaściwej) funkcji f w punkcie x₀

(skończonym lub nieskończonym) mamy.

3A58 (Przykłady).

58.1. Definicja (Cauchy’ego) granicy właściwej (b  ) w punkcie (x ₀ ), język « , »:

0

lim ( ) ( 0)( 0)(0 0 ( ) ),

x x f x b   _ x x _ f x b 

             

y b+ε

b

b+ε

x x0-δ x0 x0-δ

przykład:

2

( ) , 0 1, 1

1

x x

f x x b

x

   

 ;

58.2. Definicja granicy niewłaściwej funkcji w punkcie:

1)

0

lim ( ) ( 0)( 0)(0 0 ( ) ),

x x f x   _ x x _ f x 

             

przykład: 1 _{2 0}

( ) , 1

( 1)

f x x

 x 

 ;

2)

0

lim ( ) ( 0)( 0)(0 0 ( ) ),

x x f x   _ x x _ f x 

             

przykład: 1 _{2 0}

( ) , 1

( 1)

f x x

  x 

 ;

3)

0

lim ( ) ( 0)( 0)(0 0 ( ) ),

x x f x   _ x x _ f x 

             

przykład: 1

( ) 1

f x  x

 , x ₀ 1.

58.3. Definicja granicy właściwej funkcji w nieskończoności:

1) w : lim ( ) ( 0)( 0)( ( ) )

x f x b   _ x _ f x b 

            ,

przykład: ( ) , 1 1

f x x b

 x 

 ;

2) w  : lim ( ) ( 0)( 0)( ( ) )

x f x b   _ x _ f x b 

             ,

przykład: ( ) , 1 1

f x x b

 x  

 ;

3) w  : lim ( ) ( 0)( 0)( ( ) )

x f x b   _ x _ f x b 

            ^,

przykład: ( ) , 1 1

f x x b

 x 

 .

58.4. Definicja granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności:

1) lim ( ) ( 0)( 0)( ( ) )

x f x   _ x _ f x 

            ,

przykład: ( )f x  ; e^x

w podobny sposób definiujemy (A+B):

2) lim ( )

x f x

   (przykład: ( )f x   ); e^x 3) lim ( )

x f x

   (przykład: f x( ) x( 1)^{E x( )}); 4) lim ( ) , ,

x f x

     oraz lim ( ) , ,

x f x

     (podać przykłady i interpretację geometryczną).

3A59 (Uwaga-definicja: granice jednostronne). Jeżeli w określeniu 3A6 granicy funkcji f w punkcie x₀ zastąpimy sąsiedztwo B x( )₀ S x( )₀ punktu x₀ sąsiedztwem lewostronnym B_( )x₀ S_( )x₀ lub _( , )₀ ( ₀ , ₀)

def

S x r  x r x (albo sąsiedztwem prawostronnym S x r_( , ) ( ,₀  x x_{0 0}  ) tego punktu, to otrzymamy r) definicję granicy lewostronnej

0

lim ( )

x x_ f x

 

0 0

lim ( )

x x f x

  (odpowiednio

prawostronnej

0

lim ( )

x x_ f x

 

0 0

lim ( )

x x f x

  ) funkcji f w punkcie x₀: 59.1)

0

0 0

lim ( ) ( ( ) ( ))( _( ))( _( ) ( ) ( ));

x x

f x b B b O b S x x S x f x O b

         

59.2)

0

0 0

lim ( ) ( ( ))( ( ))( ( ) ( ) ( ))

x x_ f x b O b S x_ x S x_ f x O b

       

w szczególności, dla granicy właściwej b mamy definicję (Cauchy’ego):

59.3)

0

1 lim ( ) ( 0)( 0)( 0 0 ( ) 1 )

x x

b _ f x  _ _ x x f x b 

              ,

przykład: f x( )sgn ,x x₀ 0,b₁ 1; 59.4)

0

2 lim ( ) ( 0)( 0)(0 0 ( ) 2 )

x x

b _ f x  _ x x _ f x b 

             ,

przykład: f x( )sgn ,x x₀ 0,b₂ 1.

Uwaga. Granicę lewostronną i prawostronną funkcji f w punkcie x₀ oznaczamy też symbolami f(x₀ 0),f(x₀^) i odpowiednio f(x₀ 0), f(x₀^).

3A+B60 (Twierdzenie: warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy).

Funkcja f posiada w punkcie x0 granicę właściwą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są równe granice jednostronne w tym punkcie, tzn.



 )0 (x₀

f f (x₀ 0). Wspólna wartość granic jednostronnych jest wtedy granicą funkcji.

3A+B61 (Ćwiczenie). Podać interpretację geometryczną dla 3A59, 3A+B60. Co można powiedić w 3A+B60 o granicach niewłaściwych?

3A+B62 (Twierdzenie: definicja Heinego granicy funkcji). Liczba b  jest granicą funkcji f (określoną w pewnym sąsiedztwie S(x₀)) w punkcie x ₀ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_n) (o wyrazach x_nS x( )₀ ) zbieżnego do x₀, ciąg ( ( ))f x_n jest zbieżny do b, to jest

0

0 0

lim ( ) ( ( ),_{n n} ( ))( _n ( )_n )

x x

b f x x x S x x x f x b

        .

3A+B63 (Definicja: nieskończenie małe).

63.1. Funkcję ( ),x xS x( ₀), nazywamy nieskończenie małą w danym przejściu granicznym (d.p.g. ), tzn. gdy xx₀, jeżeli

0

lim ( ) 0

x x  x

  .

63.2. Funkcję ( ) x nazywamy nieskończenie małą wyższego rzędu niż ( ) x w d.p.g. (gdy xx₀), jeżeli

0

( ) ( )

lim 0

x x

x x





  , co zapisujemy ( )x o( ( )) x (gdy xx0) (czytamy: ( ) x jest o małe od ( ) x ).

63.3. Nieskończenie małe ( )x i ( )x nazywamy nieskończenie małymi w d.p.g.

1) tego samego rzędu, jeżeli istnieje granica właściwa

0

lim ( ) 0, ( )

x x

x k k

x





    ;

2) równoważnymi i piszemy ( ) x ~ ( ) x (xx₀), jeżeli ¹ ) (

) lim (

0

 x 

x

x

x 

 .

63.4. Zapis ( )x = ( ( ))O  x (xx₀) (czytamy ( )x jest O duże od ( )x w d.p.g.) oznacza że stosunek ^{( )}

( ) x x



 jest ograniczony w pewnym sąsiedztwie )

(x₀

S . Wtedy 0(1) oznacza ograniczoność funkcji w tym sąsiedztwie; o(1) (o małe w d.p.g.) oznacza, że o(1) jest nieskończenie małą gdy xx₀.

3A+B64 (Własności nieskończenie małych).

64.1. Suma, różnica, iloczyn nieskończenie małych oraz iloczyn nieskończenie małej i ograniczonej jest zawsze nieskończenie małą.

64.2. Iloraz nieskończenie małych jest nieoznaczony _



 



 

 0

0 w danym przejściu granicznym.

64.3. Jeżeli ( )x ~( )x są równoważnymi nieskończenie małymi (gdy x ), x₀ to ich różnica ( )x  ( ) x o( ( )) x o( ( )) x jest nieskończenie małą wyższego rzędu niż ( )x i ( )x .

64.4. Istnieje dokładnie jedna funkcja stała i nieskończenie mała: jest nią 0 . Przykład: x2x²~xo(1) (x . 0)

3A+B65 (Nieskończenie wielkie). Funkcję f x nazywamy nieskończenie ( ) wielką w d.p.g. (xx₀), jeżeli

0

lim ( )

x x

 f x   czyli

0

lim ( )

x x f x

  .

Oczywiście, jeżeli funkcja (nie tożsamościowe równa zeru) ( )x o(1) jest nieskończenie małą (xx₀), to 1

( )x

 jest nieskończenie wielką (przy xx₀) i na odwrót. Stąd mamy (A+B) własności nieskończenie wielkich.

3A+B66 (Twierdzenia o granicach).

66.1. Twierdzenie podstawowe:

0

lim ( )

x x

f x b

   wtedy i tylko wtedy, gdy

( ) ( )

f x  b  x , gdzie ( ) x  (1)o jest nieskończenie małe, gdy xx₀.

66.2. O arytmetyce granic funkcji: jeżeli istnieją granice właściwe funkcji f i g , gdy x x₀, to

1)  

 ( ( ) ( )) lim

0

x g x f

x x

) ( lim

0

x f

x x

) ( lim

0

x g

x x

 ;

2) 

 ( ( )) lim

0

x cf

x

x lim ( )

0

x f c

x

x , gdzie сconst ;

3) 

 ( ( ) ( )) lim

0

x g x f

x x

) ( lim

0

x f

x x

) ( lim

0

x g

x x

 ;

4) ⁰

0 0

0

lim ( )

lim ( ) , lim ( ) 0 ( ) lim ( )

x x

x x x x

x x

f x f x

g x g x g x



 



  ;

5) ⁰

0 0

lim ( )

lim( ( )) ( ) (lim ( ))^{x x}

g x g x

x x f x x x f x ^

   jeżeli wyrażenia mają sens i (0^{ q})  

dla q  . 0

3A+C67 (Twierdzenie o granicy funkcji złożonej). Niech funkcja złożona ( ( ))

g f x jest określona co najmniej w sąsiedztwie S x( )₀ punktu x₀ i istnieją granice

0 0

lim ( ) 0, lim ( )

x x f x y y y g y b

    (przy czym dla

każdegoxS x( )₀  f x( ) y₀). Wtedy istnieje granica

0

lim ( ( ))

x x g f x

 funkcji

złożonej

0 0

lim ( ( )) lim ( )

x x g f x y y g y b

    , tzn.:

0 0

0 0

0

0 0 0

lim ( ) , lim ( )

lim ( ( )) lim ( ) ( ( ))( ( ) ( ) )

x x y y

x x y y

f x y g y b

g f x g y b

S x x S x f x y

 

 

     

      .

3A+B68 (Twierdzenie o trzech funkcjach). Jeżeli istnieje sąsiedztwo S x( )₀ takie, że ( )f x g x( ) p x( ) dla  x S x( ₀) oraz

0 0

lim ( ) lim ( )

x x f x x x p x b

    , to

wtedy granica funkcji g(x) istnieje i wynosi b:

0

lim ( )

x x

g x b

  .

3A+B69 (Twierdzenie o dwóch funkcjach). Jeżeli istnieje sąsiedztwo S x( )₀ takie, że ( )f x g x( ) dla  x S x( ₀), to:

69.1)

0

lim ( )

x x

 f x 

0

lim ( )

x x

 g x

   ;

69.2)

0

lim ( )

x x

 g x 

0

lim ( )

x x

 f x

   .

3A+B70 (Uwaga). Większość powyższych twierdzeń (3A+B62,…, 3A+B69) jest także prawdziwa dla granic właściwych jednostronnych oraz dla granic właściwych w nieskończoności, jeżeli używać (rozpatrywać) odpowiednio sąsiedztwo jednostronne czy nieskończoności. Wzory 1) i 3) w 3A+B63.2 są prawdziwe dla dowolnej (skończonej) liczby odpowiednio składników i czynników. Twierdzenie 3A+B62 (Heinego) jest prawdziwe dla granic niewłaściwych funkcji. Jeżeli w powyższych twierdzeniach i definicjach zastąpić sąsiedztwo S x( )₀ punktu x na iloczyn tego sąsiedztwa i zbioru ₀ D Df , gdzie x jest punktem skupienia zbioru ₀ D, to otrzymamy definicję granicy funkcji f w punkcie x na zbiorze ₀ D.

3A+B71 (Fakt: granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych):

71.1) (A)

0

limsin 1

x

x

 x  ; 71.2)

0

lim 1

x

tg x

 x  ; 71.3)

0

lim 1 ln , 0

x

ax

x a a



   ; 71.4) (A) ^{lim 1 1}

0  

 x

e^x

x ;

71.5) ^{limlog (1 ) log ,0 1}

0    

 e a

x x

a a

x ; 71.6) (A) ^{limln(1 ) 1}

0  

 x

x

x ;

71.7) (A)

lim 1 1

x

x



x

   

 

 

1

0(1 )

lim ; 71.8) lim 1 ^a,

x

a x

x e a



    

 

  ^;

71.9)

0

(1 ) 1

lim ,

a x

x a a

 x

    _;

71.10) (A) ^{limarcsin 1}

0 

 x

x

x ; 71.11)

0

lim 1

x

arctg x

 x  ; 71.12)

lim0 1

x

sh x

 x  ; 71.13)

lim0 1

x

th x

 x  .

3A+B72 (Fakt). Przy obliczaniu granicy iloczynu funkcji można zastępować czynniki równoważnymi

Dowód:

0 ( ) ( )

lim( ( ) ( ))

g x p x x x

f x g x

  

0 0

lim ( ) ( ) ( ) lim( ( ) ( )) ( )

x x x x

f x p x g x f x p x







 

 



3A73 (Asymptoty pionowe). Jeżeli funkcja f x( ) jest określona, co najmniej w jednostronnym sąsiedztwie punktu a, to prosta o równaniu x a jest asymptotą pionową krzywej o równaniu y f x( ) (wykresu funkcji) wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic f a( 0), (f a0) istnieje i jest niewłaściwa.

Dokładniej, prosta o równaniu x jest asymptotą pionową a 73.1) lewostronną, jeżeli lim ( )

x a_ f x

    albo lim ( ) , ( )

x a_ f x x S a_

     ;

73.2) prawostronną, jeżeli lim ( )

x a

 f x

    albo lim ( ) , ( )

x a_ f x x S a_

     ;

73.3) obustronną, jeżeli ona jest asymptotą lewostronną oraz prawostronną.

Przykłady: ₁ 1 ( ) 1 f x  x

 ^{, 2} 1 ( ) 1 f x  x

 ^,

1 1 3( ) ^x f x e ^ ,

1 1 4( ) ^x f x e ^ .

f1 f2 f3 f4

0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x

Fakt (A). Funkcja elementarna może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach dziedziny, które do niej nie należą.

3A74 (Asymptoty ukośne). Prostą o równaniu ykx nazywamy asymptotą b ukośną lub pochyłą (gdy k 0) (asymptotą poziomą gdy k 0)

1) lewostronną, 2) prawostronną, 3) obustronną

krzywej o równaniu y  f(x) (lub wykresu funkcji f ) jeżeli odpowiednio 1) lim( ( )  )0



 f x kx b

x , 2) lim( ( )  )0



 f x kx b

x ,

3) jest asymptotą lewostronną oraz prawostronną.

Przykłady: ₁ ² 1 ( ) x

f x x

  ;

2 2( ) x

f x  x ^; ₃( )

1 f x x

 x

 ; f x₄( )e^x.

Fakt (A+B). Warunek istnienia asymptoty ukośnej: wykres funkcji y f x( ) ma asymptotę ukośną (poziomą) o równaniu y kx b  wtedy i tylko wtedy gdy

lim f x( ),

k  x blim( ( )f x kx), gdzie x     dla asymptoty , , odpowiednio lewostronnej, prawostronnej, obustronnej.

Ćwiczenie (A+B+C): znaleźć asymptoty wykresu funkcji

1 1

( ) 1

x x

f x x

 

 

    .

3A75 (Ciągłość funkcji). Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu O(x₀). Funkcję f nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x₀, jeżeli

0

lim ( ) ( 0)

x x f x f x

  tzn.

(warunek ciągłości):

0 0 0

( 0) ( ) ( 0)

f x   f x  f x  . (1) Na mocy twierdzenia 3A+B63.1 mamy: funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0

wtedy i tylko wtedy, gdy nieskończenie małej   x x x₀ odpowiada nieskończenie małe f x( ) f x( ) f x( ₀), tzn. x0f(x)0.

Funkcją f jest lewostronnie (prawostronnie) ciągła w punkcie x₀ jeżeli

0

0 0

lim ( ) ( ), ( )

x x_ f x f x x O x_

   (odpowiednio lim ( ) ( ₀), ( ₀)

0

x O x x f x f

x

x _    ).

Ciągłość na przedziale domkniętym [ , ]a b oznacza ciągłość w dowolnym punkcie przedziału otwartego ( , )a b oraz prawostronną ciągłość w punkcie a i lewostronną ciągłość w punkcie b . Funkcja jest ciągła na zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ w zbiorze D E_f, jeżeli lim ( ) ( ₀), ( ₀)

0

x O D x x f x f

x x





 

 . Stad i 3A+B+C70

wynika, że w punktach izolowanych dziedziny funkcja jest ciągła.

Fakt (A). Funkcja f jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prawostronnie ciągła w tym punkcie.

3A76 (Nieciągłości funkcji). Jeżeli warunek (1) w 3A75 nie jest prawdziwy to punkt x₀ nazywamy punktem nieciągłości funkcji f , dokładniej,

76.1) punktem nieciągłości pierwszego rodzaju, jeżeli 1) f x( ₀ 0) f x( ₀ 0) f x( )₀ (nieciągłość typu «luk», przykład: sin , 0

)

(  x₀  x

x x

f );

albo

2) f x( ₀ 0) ,f x( ₀ 0) , f x( ₀  0) f x( ₀0) (nieciągłość typu «skok skończony», przykład: f(x)sgnx, x ₀ 0);

76.2) punktem nieciągłości drugiego rodzaju, jeżeli

1) istnieją granice f(x₀ 0),f(x₀ 0) i co najmniej jedna z granic jest niewłaściwa («skok nieskończony», przykłady: f x e^x

1

1( ) , x ₀ 0;

x x

f  

1 ) 1

2( ,

0 1 x  );

albo

2) co najmniej jedna z granic f(x₀ 0),f(x₀ 0) nie istnieje, przykład: ^{( )}^sin1,x0 ⁰

x x

f .

3A77 (Działania na funkcjach ciągłych). Jeżeli funkcje f i g są ciągle w

punkcie x₀, to suma, różnica f  , iloczyn f gg  , iloraz f

g ^{(o ile g x( 0)0)} tych funkcji są funkcjami ciągłymi w tym punkcie.

Wynika to z własności granic.

3A+B78 (Ciągłość funkcji złożonej). Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ i funkcja g jest ciągła w punkcie y₀  f x( ₀), to funkcja złożona ( ( ))g f x jest ciągła w punkcie x₀.

3A+B79 (Ciągłość funkcji odwrotnej). Jeżeli funkcja f jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale

 



 



3A+B80 (Ciągłość funkcji elementarnych). Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach (jak w zbiorze: 3A75).

3A+B81 (Twierdzenia o funkcjach ciągłych).

81.1. Twierdzenie Weierstrassa (o osiąganiu kresów funkcji ciągłej). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [ , ]a b domkniętym, to osiąga swoje kresy, tzn.:

[ , ] [ , ]

, [ , ] inf ( ) ( ) min ( )

def

x a b x a b

c d a b f x f c f x

 

     ,

[ , ] [ , ]

sup ( ) ( ) max ( )

x a b x a b

f x f d f x

    .

Stąd wynika, że funkcja ciągła na [ , ]a b jest ograniczona na [ , ]a b .

81.2. Twierdzenie Darboux (o przyjmowaniu wartości pośrednich). Jeżeli funkcja jest ciągła na [ , ]a b i ( )f a  f b( ) (albo ( )f a  f b( )) to przyjmuje w tym przedziale dowolną wartość pośrednią, tzn.:

, ( ) ( ) u f a u f b

   (odpowiednio u f a, ( ) u f b( )) ( , ) ( )

с a b f c u

    .

y u

0 c ₁ c ₂ c x ₃

Stąd mamy twierdzenie o miejscach zerowych funkcji: jeżeli funkcja f jest ciągła na

 