УДК 539.3 В. Шваб’юк

штампів з кутовими точками / В. Шваб’юк, В. Сяський // Вісник ТДТУ. — 2009. — Том 14. — № 3. — С. 65-71. — (механіка та матеріалознавство).

УДК 539.3

В. Шваб’юк

1

, докт. техн. наук; В. Сяський

2 1

Луцький національний технічний університет

2

Рівненський державний гуманітарний університет

КОНТАКТНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПЛАСТИНКИ З ТРИКУТНИМ

ОТВОРОМ І СИСТЕМИ ДВОХ ЖОРСТКИХ ШТАМПІВ З

КУТОВИМИ ТОЧКАМИ

Побудовано систему двох сингулярних інтегральних рівнянь з логарифмічними ядрами в задачі про тиск на контур трикутного отвору в нескінченній пластинці системи двох штампів з кутовими точками. Методом граничної колокації досліджується вплив на напружений стан пластинки форми отвору і величини зони контакту. Ключові слова: контактна задача, жорсткий штамп, кутова точка, нескінченна ізотропна пластинка, зміщення контурних точок, сингулярне інтегральне рівняння, логарифмічне ядро, напружено-деформований стан, метод граничної колокації.

V. Shvabyuk, V. Syasky

CONTACT PROBLEM FOR PLATE WITH TRIANGULAR HOLE AND

SYSTEM OF TWO RIGID PUNCHES WITH CORNER POINTS

The system of two singular integral equations with logarithmic kernel in the problem about pressure on the contour triangular hole in the infinite plate by the system of two punches with corner points is built. The effect of the form of hole and the value of contact zone on the stress state of plate by boundary collocation method is investigated.

Key words: contact task, hard stamp, angular point, endless isotropic plate, displacement of contour

points, singular integral equation, logarithmic kernel, tense-deformed state, method of boundary collocation.

До кожного з штампів прикладено силу P , яка діє уздовж осі його симетрії. 0 Кривини контуру отвору і штампів у зоні контакту вважаємо однаковими. Рисунок 1 – Розрахункова схема пластинки Розв’язок задачі полягає у визначенні контактних напружень під штампами і кільцевих напружень на контурі Г. Розглянемо функцію [3] 0 2 z= +x iy=R _ξ + ε _ ξ  , (1) яка реалізує конформне відображення зовнішності одиничного кола γ у площині i eλ ξ = ρ на область середньої площини пластинки, де R – характерний розмір отвору; ₀ ε – параметр, що характеризує відхилення контуру Γ від кола. Не порушуючи загальності, приймаємо R = ,₀ 1 ε <0.5. Граничні умови задачі вибираємо як рівність нормальних зміщень контурних точок пластинки і штампів у зоні контакту. Якщо немає сил тертя між пластинкою і штампом, ці умови, на підставі [6, 9], можна записати так:

( )

( )

0

( )

₃

( )

2 U a λ U+b λ V = _a λ + b λ _{ ;}

( )

1( ) ( ) ( ) 02 a λ f′λ + λb f′ λ = ; λ ∈ α β

[

₀; ₀

]

, (2) де

( )

cos 2 cos 2 a λ = λ − ε λ; b λ =

( )

sinλ + ε2 sin 2λ;

(

)

1 2 0 ( ) ( ) ( ) it f f i T t iS t e dt λ ρ ρλ ′ + =

_∫

+ ω τ ; it e τ = ; , U V – компоненти вектора зміщення точок контуру Γ ; U – поступальне зміщення ₀ штампа в напрямку дії силиP ; [0 α β ] – образ зони контакту при відображенні (1); 0; 0 0 0 2 3 π β = − α . Із врахуванням симетрії задачі відносно осі Ox аналогічні граничні умови можна записати на іншій ділянці контакту. Вирази для компонент вектора зміщення контурних точок пластинки [6, 8] при заданому навантаженні можна записати так:

(

)

( )

0

( )

0 0 0 1 2 1 (1 ) 1 2

1 ln cos cos cos

9 0 0 2 0 0 0 1 (1 ) (1 ) (1 ) 2 ( ) ln 2sin sin 2 2 2 2 P P P t f t dt β α  + υ − υ − υ λ + ′ + − ε λ + λ −  π

∫

π π _. (3) Тут ,E υ – модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластинки; C – довільна ₁ стала. Підставляючи (3) в граничні умови (2), отримаємо систему двох сингулярних інтегральних рівнянь з логарифмічними ядрами для визначення функцій f ′ λ , 1( ) f ′ λ 2( ) 0 0 0 0 1 2 1 (1 ) 2

( ) (1 ) ( ) ( ) ln cos cos cos

0 0 0 0 arccos 2 2 b a a b t= _ − S+ + _  ; 0 0 0 0 arccos 2 2 b a a b x − +   λ = _ + _  ; 0 0 cos cos ( ) 2 b a t− λ = − S−x ; sin 0 0 2 b a tdt= − − ds; a =₀ cosα ; ₀ b =₀ cosβ ₀ (8) систему (4), (5) перетворимо до вигляду 1 0 1 2 1 1 2 ( ) (1 ) ( ) ( ) ln (1 ) cos 2 x P a s ds s S x ds −   λ _ − υ Φ + Φ − + ε + υ _+ π π 

∫

∫

 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( ) (1 ) ( ) ( ) ln ( ) ln sin 2 x t b S ds S S x ds S ds − −  λ + + λ _ − υ Φ − Φ − + Φ − π π 

∫

∫

∫

0 0 1 0 (1 ) sin (1 )( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 2 P P a C EhU a b  _{ } −ε + υ λ + − υ λ − π = λ_ + _ λ + λ _ π π  ; (9) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a λ Φ x + λ Φb x = ; x ∈ −

[

1; 1

]

; λ ∈ α β

[

₀; ₀

]

; 1 0 1 1 ( ) 3; 2 P t dt − Φ = −

∫

1 0 2 1 ( ) 2 P t dt − Φ =

∫

. Тут уведено позначення 0 0 1 1 ( ) ( ) sin 2 a b f x ′λ − Φ = λ ; 0 0 2 2 ( ) ( ) sin 2 a b f x ′ λ − Φ = λ . (10) Система (9), (10) має таку ж структуру, як і відповідна система для одного двозв’язного штампа [8], тому її наближений розв’язок шукатимемо у вигляді, який забезпечує нормальним контактним зусиллям кореневу особливість на кінцях зони контакту [7] 0 2 ( ) ( ) 1 j j x x x Φ Φ = − ;

(

j =1, 2

)

; x ∈ −

[

1;1

]

. (11) Тут 0_{( )} j x Φ −обмежені й неперервні на

[

−1;1

]

функції. Заміною x=cosϕ (0≤ ϕ ≤ π співвідношення (11) запишемо так: ) 0_{( )} ( ) (cos ) sin j j x j Φ ϕ Φ = Φ ϕ = ϕ . (12) Для функцій 0_{( )} j Φ ϕ побудуємо інтерполяційні поліноми Лагранжа, вибравши за вузли інтерполяції корені поліномів Чебишева першого роду порядку N . 0 Як відомо [10], такі поліноми записують так:

{

}

0

{

}

0 1 0 0 1 2 , 1 1 0 1 ( ), ( ) 1 2 cos cos , N N n n n n m A B m m N − = =   Φ ϕ Φ ϕ = _ + ϕ ϕ_  

∑

∑

(13) де 0 2 1 . 2 n n N − ϕ = π Враховуючи (12), (13) і рівність [11] 0 ln 2 , 0; 1 cos cos cos ln cos , 0, k k d k k k π _{ϕ − θ} −_ µ = ϕ _{ϕ =  θ} π µ _{− ≠} 

∫

(14) запишемо формули для обчислення сингулярних інтегралів з (9)

{

}

{

}

1 1 2 1 2 1 0 1 1

( ),S ( ) lnS S x ds ( ), ( ) ln cos cos sin d