УДК 536.2 Борис Шелестовський, к. ф.-м. н., доц., Володимир Михайлишин Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя, Україна

(1)

Матеріали IV Всеукраїнської науково-технічної конференції ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ АСПЕКТИ РАДІОТЕХНІКИ, ПРИЛАДОБУДУВАННЯ І КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ 2019 72 УДК 536.2 Борис Шелестовський, к. ф.-м. н., доц., Володимир Михайлишин Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя, Україна МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ В СИСТЕМІ ТІЛ ЦИЛІНДР-ПІВПРОСТІР Побудовано розв’язок осесиметричної температурної задачі для системи тіл циліндр-півпростір при неідеальному тепловому контакті між циліндром та півпростором. Одержано формули для визначення температурних полів при різних варіантах температурних умов на бічних поверхнях циліндра і півпростору. Досліджено вплив контактної провідності на розподіл температури в зоні контакту. Ключові слова: температура, циліндр, півпростір, неідеальний тепловий контакт, інтегральне рівняння.

Boris Shelestovs’kyi, V. Myhaylyshyn

MATHEMATICAL MODELLING OF THE HEAT CONDUCTIVITY PROCESS IN THE CYLINDER - HALF-SPACE BODY SYSTEM

The solution of the axes-symmetric temperature task for the body system cylinder-semispace under non-ideal heat contact between cylinder and cylinder-semispace have been built. Formula for determination temperature fields under different temperature conditions on the surfaced of the cylinder and semispace have been obtained. The influence of the contact conductivity on the temperature distribution in the contact area has been investigated.

(2)

Матеріали IV Всеукраїнської науково-технічної конференції ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ АСПЕКТИ РАДІОТЕХНІКИ, ПРИЛАДОБУДУВАННЯ І КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ 2019 73







2 2



 



0 0 0 0 1 , 2 k k k k k k T r z A B z D r z J  r A sh z B ch z       



 

 



0 1 sin cos k k k k k k I  r C  z D  z   



 , (6) де A , _k B , _k C , _k D – довільні постійні; _k J₀

 

_kr – функція Бесселя першого роду дійсного аргументу; I₀

 

_kr – функція Бесселя першого роду уявного аргументу; _k, k  – власні значення, які визначаються із граничних умов. Застосовуючи інтегральне перетворення Ганкеля до (5), одержимо зображення температури в півпросторі через довільну функцію  ₁

 

:





 

1 1 0 0 , T     e  J   d   



, (7) де r , z R R    . Задовольняючи граничну умову (3), отримаємо:





1 1





1 (1)









0 0 0 1 , 1 z z k , k k k z z k sh l L T T C l C J l ch l R                   _    _  



 . (8) тут (1) k C – нескінченна система постійних. Задоволення першої умови (1) і умови (2) приводить до парних інтегральних рівнянь відносно функції  ₁

 

:

   

 1  1

_

_{ }

_

1 0 0 0 0 1 0 1 , k k k k J d T C C J          _     _  _  







(9)

   





1 0 0 0 1 J d        



, (10) розв’язок яких отримаємо у вигляді:

 

 1  1 1 1 0 0 1 0 2 1 sin

cos _k _k sin sin _k .

k T C  C ydy                 _ _  _ _   





 (11) Друга умова (1), з врахуванням співвідношень (7), (8), запишеться так:

   

1 1 (1) 1 1 (1)





1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 z z z z k k k k k z z J d T l C th l C J h R h R                           _ _  _  _  _ _       







. (12) Підставляючи (11) в (12), отримаємо:

 

 1

_{ }

1 0 (1) 0 0 0 0 1 0 0 0 2 sin 2

cos _k _k sin sin _k

(3)

Матеріали IV Всеукраїнської науково-технічної конференції ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ АСПЕКТИ РАДІОТЕХНІКИ, ПРИЛАДОБУДУВАННЯ І КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ 2019 74 Помноживши рівність (13) на  та J₀



 _n



і проінтегрувавши в межах від 0 до 1, отримаємо систему алгебраїчних рівнянь відносно (1) k C .  1  1  1

_

_

(1) (1) , 0 0,1,... k k k n n k n C C k      



  ,   1 1 1 0 0 1 2 2 3 z z z l h R         _  _   . (14)  1 1

_{ }

1 0 0 0 0 0 sin 2 2

sin sin k cos

k k k k d J d y ydy              _ _   _  _  



, (15)  1  1 1

_

_

0

 

0 0 2 0 0 sin 1 2 sin 2 ; cos cos , 2 k k k k k k J J d   d                 _ _ _ _   _  _  _  _    







 

1 1 , 0 0 0 0 0 2 sin sin k n n J k d J d y kydy             