Rodzina przekształceń Boxa-Coxa (dla x > 0) T p x =
x
p−1
p p ≠ 0
ln x p = 0
T p ′ x = x p −1
Zadanie. Znaleźć p takie, Ŝe wektor T p x będzie symetryczny.
Korzystając z współczynnika symetrii γ zadanie to moŜna sformułować w przybliŜony sposób
Zadanie. Znaleźć p takie, Ŝe γα k , T p x ≃ 0 dla wszystkich α k < 0.5 Niech x n+1−k > x k
Dla n nieparzystych
γα k , T p x =
x
n+1−kp+x
kp−2∗x
rpx
n+1−kp−x
kpp ≠ 0
lnx
n+1−k+lnx
k−2∗lnx
r
lnx
n+1−k −lnx
k p = 0
, r = n + 1 2
Dla n parzystych, takich, Ŝe x
n2
< x
n2
+1 wektor uzupełniamy o dodatkowy wyraz, równy
x = x n2 +x 2
n2+1 . Niech
u − df =
x x k > 1, u + df
= x n+1−k
x > 1, Wtedy
fp = γα df k , T p x =
u
+p+u
−−p−2
u
+p−u
−−pp ≠ 0
ln u
+−ln u
−ln u
++ln u
−p = 0 oraz fp jest ciągłą funkcją p.
Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania fp = 0.
Zadanie to ma rozwiązanie, gdyŜ
p →∞
lim fp =
p →∞
lim u +
p − 2 u + p = 1,
p lim fp = →−∞
p →∞
lim u − −p − 2
−u − −p = −1
Prosta, przechodząca przez punty −1,f−1 i 1,f1 ma równanie f1 − f−1
2 p − 1 + f1
Z metody siecznych przybliŜone rozwiązanie równania fp = 0
jest rozwiązaniem równania
1
f1 − f−1
2 p − 1 + f1 = 0 skąd
p ≃ f −1 + f1
f −1 − f1 =
=
u
+−1+u
−−2
u
+−1−u
−+ u++u
−−1−2
u
+−u
−−1u
+−1+u
−−2
u
+−1−u
−− u+u +u
+−u
−−1−2
−−1
=
1+u
+u
−−2u
+1 −u
−u
++ u+u u
−+1−2u
−
+