Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

07.06.2017 r. Imi¦: Nazwisko:

Kolokwium II nr albumu:

zestaw A Nazwisko prowadz¡cego ¢wiczenia:

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki (oprócz zadania 1.) Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. Dane s¡ dwie funkcje f, g : R ² → R o wzorach poni»ej. Wyka», »e jedna z nich jest ci¡gªa w punkcie (0, 0) a druga nie.

f (x, y) =







sin(xy ³ )

x ⁴ + y ⁶ dla x ⁴ + y ⁶ 6= 0

0 dla x = y = 0 g(x, y) =







x ⁵ + xy ³

x ⁴ + y ² dla x ⁴ + y ² 6= 0 0 dla x = y = 0 2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji h: R ³ → R danej wzorem poni»ej.

h(x, y, z) = x ² + xy ² + y ⁴ − 3y ² z + z ³ .

Wskazówka: W jednym z punktów macierz drugiej pochodnej nie decyduje, czy jest tam ekstremum. ›eby to rozstrzygn¡¢ obetnij funkcj¦ do prostej {x = y = 0}.

min. lok. w: max. lok. w: brak ekstremum w:

3. Dane jest odwzorowanie u: R ² → R ² o wzorze u(x, y) = 

x ³ − 3x, e ^x

^y  .

a) Podaj, gdzie u NIE jest lokalnie odwracalne. Odpowied¹:

b) Wyka», »e u jest globalnie odwracalne na zbiorze (1, +∞) × R = {x > 1 ∧ y ∈ R}.

c) Wyznacz pochodn¡ D(u ⁻¹ )(0, e ³ )  dla odwzorowania odwrotnego o dziedzinie x > 1.

D(u ⁻¹ )(0, e ³ ) =

4. Wyznacz ekstrema lokalne warunkowe funkcji F (x, y) = y przy warunku x ³ + y ³ − xy = ¹ ₉ .

min. lok. war. w: max. lok. war. w:

5. Dane jest równanie x ³ = y ² − 3x ² . Nazywa si¦ to krzyw¡ Tschirnhausena :)

a) Podaj w otoczeniu jakich punktów (x, y) to równanie NIE zadaje funkcji uwikªanej x(y).

Te punkty to:

b) Wyznacz ekstrema lokalne (podaj ich typ) funkcji x(y).

min. lok. w: max. lok. w:

Powodzenia!