1. Niech X = {a, b, c, d, e, f}. Czy rodzina τ

Topologia II: ¢wiczenia 2

1. Niech X = {a, b, c, d, e, f}. Czy rodzina τ

, i = 1, 2, 3 jest topologie w zbiorze X, je»eli

(a) τ

= {X, ∅, {a}, {a, f }, {b, f }, {a, b, f }};

(b) τ

= {X, ∅, {a, b, f }, {a, b, d}, {a, b, d, f }};

(c) τ

= {X, ∅, {f }, {e, f }, {a, f }}.

2. Niech X = {a, b, c, d, e, f}. Która rodzina podzbiorów zbioru X zadaje w nim topologie? (Odpowied¹ uzasadnij).

(a) τ

= {X, ∅, {c}, {b, d, e}, {b, c, d, e}, {b}}

(b) τ

= {X, ∅, {a}, {b, d, e}, {a, b, d}, {a, b, d, e}}

(c) τ

= {X, ∅, {b}, {a, b, c}, {d, e, f }, {b, d, e, f }}

3. Niech X = {a, b, c, d, e, f}, za± τ topologia dyskretna w zbiorze X.

Które ze zda« jest prawdziwe?

(a) X ∈ τ;

(b) {X} ∈ τ;

(c) {∅} ∈ τ;

(d) ∅ ∈ τ;

(e) ∅ ∈ X;

(f) {∅} ∈ X;

(g) {a} ∈ τ;

(h) a ∈ τ;

(i) ∅ ⊂ X;

(j) {a} ∈ X;

(k) {∅} ⊂ X;

(l) a ∈ X;

(m) X ⊂ τ;

(n) {a} ⊂ τ;

(o) {X} ⊆ τ;

(p) a ⊆ τ;

4. Niech X bedzie zbiorem niesko«czonym. Sprawdzi¢, »e

τ = {U ∈ 2

| X \ U jest zbiorem sko«czonym} ∪ {∅}

jest topologia w X. Jaka topologie uzyskaliby±my, gdyby X byªo zbio- rem sko«czonym?

5. Niech (X, τ) bedzie przestrzenia topologiczna. Poka», »e τ

= {X \ U | U ∈ τ }

speªnia warunki:

(a) X, ∅ ∈ τ

;

(b) suma dwóch zbiorów z τ

nale»y do τ

;

(c) przeciecie dowolnej ilo±ci zbiorów z rodziny τ

nale»y do τ

.

1

6. Poka», »e rodzina τ jest topologia na X:

(a) X = R, τ = {∅} ∪ {R} ∪ {(−∞, x)|x ∈ R};

(b) X = N, τ = {∅} ∪ {N} ∪ {O

, n ≥ 0}, O

= {n, n + 1, n + 2, . . .} ; (c) X = R, U ∈ τ wtedy i tylko wtedy, gdy U zawiera sie w R i dla

ka»dego s ∈ U istnieje t > s takie, »e [s, t) ⊂ U.

7. Znajd¹ liczbe ró»nych topologii w zbiorze skªadajacym sie z trzech ró»- nych elementów.

8. Poka», »e »adna z poni»szych rodzin podzbiorów zbioru R nie jest to- pologia:

(a) τ

= {∅} ∪ {R} ∪ {(−∞, x]|x ∈ R};

(b) τ

= {∅} ∪ {R} ∪ {(x, y)|x, y ∈ R, x < y};

9. W ka»dej przestrzni topologicznej suma dowolnej ilo±ci zbiorów otwartch jest zbiorem otwartym. Czy to samo mo»na powiedzie¢ o cze±ci wspól- nej dowlonej ilo±ci zbiorów otwartych?

2