MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU

Wykład 7 2010/2011, zima 1

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY

SZTYWNEJ

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU

L=mrv=mr

²

ω

L=I ω I= mr

²

E

_k

= mv

²

/2 = mr

²

ω

²

/2 = I ω

²

/2

Moment bezwładności I

L r p

p r L

×

Definicja

=

momentu pędu

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

ω

Jednostką I jest 1 kg m²

Wykład 7 2010/2011, zima 3

Ruch po okr ę gu powoduje siła do ś rodkowa. Jest to siła centralna.

( ) ^r

F
= f r ˆ

( ) ^{ˆ =} ( ) ^{ˆ × ˆ = 0}

×

=

×

= r F r r r r

τ



f r r f r

Moment siły centralnej wzgl ę dem „centrum” wynosi zero.

r F

Wykład 7 2010/2011, zima 4

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Konsekwencja: Moment p ę du jest zachowany

Przez analogię do:

dt F dp

= mamy:

dt τ dL

=

czyli gdy = =0 dt τ dL

to

const

= L

Wykład 7 2010/2011, zima 5

Przykład 1Trzy punkty materialne o masach m są połączone ze sobą i z osią obrotu trzema cienkimi sznurkami każdy o długości a. Układ obraca się względem osi obrotu z

prędkością kątową ωw taki sposób, że punkty materialne znajdują się na jednej prostej. Obliczyć całkowity moment pędu tych trzech punktów materialnych Przyjąć, że dane są wielkości m, a, ω.

ω

O m

a m

m a

a

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

ω

O m

a

m m

a a ω

O m

a

m m

a a

v

₁

= ω a

v

₂

=2 ω a

v

₃

=3 ω a

Wykład 7 2010/2011, zima 7

ω

O m

a m

m a

a

Całkowity moment p ę du układu jest sum ą momentów p ę du poszczególnych mas

L=ma

²

ω +m(2a)

²

ω +m(3a)

²

ω =14 ma

²

ω

Moment bezwładności

I

układu też

I

jest sumą momentów bezwładności poszczególnych mas

L ║ ω

Wykład 7 2010/2011, zima 8

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

∑ ∑ ∑

= = =

×

=

×

=

=

^N

n

N n

N n

1 1 1

n n n n

n

n

r p m r v

L

L

Moment p ę du układu punktów materialnych

r v
ω

×

=

ale

∑

=

× ×

=

^N

1 n

n n

n

( )

m r ω r

L

czyli

ωjest takie samo dla wszystkich punktów bryły sztywnej

Korzystając z tożsamości wektorowej

c b a b c a c b

a





×( × )=( ) −( ) otrzymujemy

[ ]

∑ −

=

^N

m

_n

r

_n²

ω ( r

_n

ω ) r

_n

L



definicja momentu

pędu bryły sztywnej

śm

m_n r_n

śm

Wykład 7 2010/2011, zima 9

[ ]

∑

=

−

=

^N

1 n

n n

2 n

n

r ( )

m ω r ω r

L



L ║ ω

[ ]

∑

=

ω −

=

^N

1 n

n n

x 2 n n

x

m r ( ) x

L r ω



[ ]

∑

=

ω −

=

^N

1 n

n n

y 2 n n

y

m r ( ) y

L r ω



[ ]

∑

=

ω −

=

^N

1 n

n n

z 2 n n

z

m r ( ) z

L r ω



k

j i

r

_n

= x

_n

ˆ + y

_n

ˆ + z

_n

ˆ

k j i

ω ˆ ˆ ˆ

z y

x

+ ω + ω

ω

=

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

2 n 2 n 2 n 2

n x y z

r = + +

z n y n x n

n

ω = x ω + y ω + z ω

r



 

 



 − ω +

 

 



 − ω +

− ω

= ∑ ∑ ∑

=

= =

N 1 n

n n n z

N 1 n

N 1 n

n n n y

2 n 2 n n x

x

m (r x ) m x y m x z

L

[ ]

∑

= ω −

= ^N

1 n

n n

x 2 n n

x m r ( )x

L r ω



I

_xx

I

_xy

I

_xz

z xz y

xy x

xx

x

I I I

L = ω + ω + ω

elementy tensora momentu bezwładno ś ci

Wykład 7 2010/2011, zima 11

TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY SZTYWNEJ

z xz y xy x xx

x

I I I

L = ω + ω + ω

z yz y yy x yx

y

I I I

L = ω + ω + ω

z zz y zy x zx

z

I I I

L = ω + ω + ω

 







 





 ω ω ω

 







 







=

 







 







z y x

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

z y x

I I I

I I I

I I I

L L L

L
ω

~ I

=

elementy diagonalne

Wykład 7 2010/2011, zima 12

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

∑ ∑

= − = = +

= ^N

1 n

N

1 n

2 n 2 n n 2

n 2 n n

xx m (r x ) m (y z )

I

definicja elementów diagonalnych

∑ ∑

= − = = +

= ^N

1 n

N

1 n

2 n 2 n n 2

n 2 n n

yy m (r y ) m (x z )

I

∑ ∑

= − = = +

= ^N

1 n

N

1 n

2 n 2 n n 2

n 2 n n

zz m (r z ) m (x y )

I

definicja elementów pozadiagonalnych

∑ ∑

= =− = =

−

= ^N

1 n

N

1 n

yx n n n n

n n

xy m x y m y x I

I

∑

= =

−

= ^N

1 n

zx n n n

xz m x z I

I

∑

= =

−

= ^N

1 n

zy n n n

yz m y z I

I

Tensor jest symetryczny I

_xy

=I

_yx

















zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

I I I

I I I

I I

Tensor momentu

I

bezwładno ś ci

Wykład 7 2010/2011, zima 13

Ile jest niezale ż nych elementów? 9?

Nie, jest 6 elementów bo tensor symetryczny A czasami do 3 – tensor diagonalny

Dla brył o symetrii sferycznej jest tylko jeden element

















zz yy xx

I 0 0

0 I 0

0 0

I

Układ osi

głównych

















I 0 0

0 I 0

0 0 I

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Tensor momentu bezwładności dla ciągłego rozkładu masy

rozkład dyskretny rozkład ci ą gły

dV ) x r ( ) (

I_xx =

∫

ρ ^r
2 − ²

∑

− =

= ^N

1 n

n n n

xy m x y

I I_xy ⁼⁻

∫

^ρ(^r
)xydV

∑ ∑

= − = = +

= ^N

1 n

N

1 n

2 n 2 n n 2

n 2 n n

xx m (r x ) m (y z )

I

Wykład 7 2010/2011, zima 15

INTERPRETACJA ELEMENTÓW TENSORA MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

∑

∑

=

= + = ρ

= ^N

1 n

2 nz n N

1 n

2 n 2 n n

zz m (x y ) m

I

kwadrat odległości od osi OZ

x

y z

y_n x_n ρ_nz

2 nz 2 n 2

n

y

x + = ρ

Elementy diagonalne mają klasyczną interpretację

Wykład 7 2010/2011, zima 16

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

INTERPRETACJA ELEMENTÓW TENSORA MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

∑

=

−

= ^N

1 n

n n n

yz m y z

I

y z

Elementy pozadiagonalne pojawiają się gdy pojawia się asymetria

I

_yz

=0

Wykład 7 2010/2011, zima 17

Moment bezwładności jest tensorem, zatem w ogólnym przypadku wektor momentu pędu nie musi być równoległy do wektora prędkości kątowej.

Przykład 2 Rozważyć układ czterech mas m1(a/2,a/2), m₂(-a/2,a/2), m₃(-a/2,-a/2) oraz m₄(a/2,-a/2) gdzie m₁ = m₃

= m =1 kg, m₂=m₄=2 kg, rozmieszczonych w

wierzchołkach kwadratu o boku a = 2 cm. Układ mas narysować. (a) Znaleźć tensor momentu bezwładności tego układu mas. Wskazać elementy diagonalne i pozadiagonalne. (b) Zakładając, że podczas obrotu z prędkością kątową ωωω=ωi wzajemne odległoω ści między masami nie ulegają zmianie, znaleźć wektor momentu pędu tego układu mas i sprawdzić czy jest równoległy do wektora prędkości kątowej ωωω.ω

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

∑

=

= ^N

1 n

2 n n

xx m y

I

x y

m₁=m(a/2,a/2)

m₂=2m(-a/2,a/2)

m₃=m(-a/2,-a/2) m₄=2m(a/2,-a/2)

z

_n

=0

2 4 2 2

2 2 1

xx 2

m a 2 m a 2 m a 2 m a

I ₃ 



 



− +



 



− +



 

 + 



 



= 

2

xx ma

2 I =3

∑

= =

= ^N

1 n

2 2

n n

yy ma

2 x 3 m I

∑ ∑ ∑

= + = = + =

= ^N

1 n

N

1 n

2 n n N

1 n

2 n n 2

n 2 n n

zz m (x y ) m x m y

I

2 yy

xx

zz I I 3ma

I = + =

Wykład 7 2010/2011, zima 19

x y

m₁=m(a/2,a/2) m₂=2m(-a/2,a/2)

m₃=m(-a/2,-a/2)

m₄=2m(a/2,-a/2)

z

_n

=0

∑

=

−

= ^N

1 n

n n n

xy m x y

I











  −



 



− +



 







 



− +



 



− 

= 4

m a 2 m a 2 a 2 m a 2 m a I

2 4 2 2

2 1

xy 3

2

xy ma

2 I =1

∑

= =

−

= ^N

1 n

n n n

xz m x z 0

I





















2 2

2

2 2

ma 3 0 0

0 2ma

ma 3 2 1

0 2ma

ma 1 2 3

Tensor momentu bezwładności

Wykład 7 2010/2011, zima 20

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka















ω





















=

















0 0 ma 3 0 0

0 2ma

ma 3 2 1

0 2ma

ma 1 2 3

L L L

2 2

2

2 2

z y x

Wektor momentu p ę du

x y

m 2m

m 2m

ω





















ω +

⋅



 

 + ω

=

















0 2ma 1

0 0 2ma ma 1

2 3

L L L

2 2 2

z y x

j i

L ma ˆ

2 ˆ 1 2ma

3 _{2 2}

ω +

ω

=

L

Wykład 7 2010/2011, zima 21

x y

m₁=m(a/2,a/2)

m₂=2m(-a/2,a/2)

m₃=m(-a/2,-a/2) m₄=2m(a/2,-a/2)

z

_n

=0

W układzie odniesienia XY tensor momentu bezwładności nie jest diagonalny

x’

y’

W układzie odniesienia X’Y’

tensor momentu bezwładności jest diagonalny

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Dwa ciała o masach 200 g i 300 g są połączone lekkim prętem o długości 50 cm. Środek masy układu jest początkiem kartezjańskiego układu współrzędnych. Pręt leży w płaszczyźnie XY i tworzy kąt 20^oz osią OY. (a) Znaleźć tensor momentu bezwładności w tym układzie odniesienia. (b) Sprawdzić, czy wektor momentu pędu jest równoległy wektora prędkości kątowej gdy pręt obraca się dookoła osi OX z prędkością kątową ω.

ZADANIE DOMOWE 7.1

Wykład 7 2010/2011, zima 23

Udowodni ć , ż e:

∑

=

= +

+

^N

1 n

2 n n zz

yy

xx

I I 2 m r

I

Jest to bardzo u ż yteczne twierdzenie, które pozwala obliczy ć np. moment bezwładno ś ci powłoki kulistej

ZADANIE DOMOWE 7.2

Wykład 7 2010/2011, zima 24

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Moment bezwładności powłoki kulistej

r

n

m

_n

Powłoka ma masę całkowitą M i promień R

∑

=

= +

+ ^N

1 n

2 n n zz

yy

xx I I 2 m r

I

ale I

_xx

=I

_yy

=I

_zz

=I ∑

=

= ^N

1 n

2 n nr m 2 I 3

∑

= =

= ^N

1 n

2 n

2 m 2R M

R 2 I 3

r

_n

=R

MR 2

3 I= 2

Wykład 7 2010/2011, zima 25

Moment bezwładności kuli

R

M

r

dm

^{Isfery =}₃^2R2M

dm 3r dI =2 ²

= ∫ dI I

dV 3 r

dm 2 3 r

I = ∫ 2

²

= ∫

²

ρ

dr r 4 dV = π

²

dr

2 5

3 5

R

0

4 MR

5 R 2 3 R 4

M 15 R 8 15 dr 8 3 r

I 8 =

π

= π πρ

= πρ

=

∫

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Tensor momentu bezwładności wybranych brył w układzie osi głównych





















2 2

2

3MR 0 2

0

0 3MR

0 2

0 0

3MR 2

symetria sferyczna













2 2

2 0 5MR

0 2

0 0

5MR 2

powłoka kulista- sfera

pełna kula

Wykład 7 2010/2011, zima 27

























+ +

2 2

2 2

2

2MR 0 1

0

0 12MH

MR 1 4 0 1

0 0

12MH MR 1

4 1

symetria cylindryczna





















0 0 0

0 12ML

0 1

0 0 12ML

1

2 2

walec o promieniu podstawy R i wysokości H oraz masie M

cienki pręt o długości L i masie M

x y

z

x y

z

Wykład 7 2010/2011, zima 28

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Zapoznać się z Tabelą 11.2 str.274 podręcznika HWR-1.

Przeanalizować momenty bezwładności brył sztywnych tam umieszczonych.

ZADANIE DOMOWE 7.3

Wykład 7 2010/2011, zima 29

Znaleźć (w układzie osi głównych) tensor momentu bezwładności:

(a)obręczy o promieniu R i masie M

(b)pełnego dysku o promieniu R i masie M (c) prostokąta o bokach a i b oraz masie M

Znaleźć (w układzie osi głównych) tensor momentu bezwładności walca o promieniu podstawy R i wysokości H oraz masie M

ZADANIE DOMOWE 7.4

ZADANIE DOMOWE 7.5 – dla ambitnych

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Twierdzenie o osiach równoległych – twierdzenie

Steinera z

śm

z’

a ω

2 zz

' z '

z

I Ma

I = +

m_n

Je ż eli o ś z’ jest

równoległa do osi z, to

a jest odległo ś ci ą pomi ę dzy

osiami

Wykład 7 2010/2011, zima 31

Przykład 3 Obliczyć moment bezwładności jednorodnego pręta o masie M i długości L względem osi przechodzącej przez (a) środek masy pręta (b) przez jeden z końców pręta

ś m z’ z

a=L/2

y

-L/2 L/2

dm dy

y

2 3 / L

0 2 2

/ L

2 / L

2 M

0 2

zz 2

L 3 dy 2 y 2 dy y dm y

I 



 

 λ

= λ

= λ

=

=∫ ∫ ∫

−

L M dy dm =

=

gęstość λ

liniowa

2

zz ML

12 I = 1

3 ML 4 ML 12ML

Ma 1 I I

2 2 2 2

zz ' z '

z = + = + =

tw. Steinera

Wykład 7 2010/2011, zima 32

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez koniec pręta można obliczyć nie korzystając z

twierdzenia o osiach równoległych (tw. Steinera). Pokazać, że prawidłowy wynik otrzymamy poprzez prostą zmianę granic całkowania.

ZADANIE DOMOWE 7.6

Wykład 7 2010/2011, zima 33

Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym

Energię kinetyczną bryły sztywnej obracającej się dookoła nieruchomego środka masy nazywamy energią rotacyjną i wyrażamy wzorem:

( )

²

n

n n n

2 n n

k m

2 v 1 2 m

E =1

∑

=

∑

ω
×r

korzystając z tożsamości wektorowej

( )

^{a
×b
(
c×d
)=(a
c
)(b
d
)−(a
d
)(b
c
)}

znajdujemy

(

^ω
×^r

)

² =ω^2r2−^(ω
r
)2

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

) I 2 I 2 I 2 I I

I 2(

E_k =1 ω_x² _xx +ω_y² _yy+ω_z² _zz + ω_xω_{y xy} + ω_yω_{z yz} + ω_zω_{x zx} Energię kinetyczną (rotacyjną) bryły sztywnej o dowolnym

kształcie zapisujemy jako:

I I

I

I

_xx

=

_yy

=

_zz

=

dla brył o symetrii sferycznej

2 2

z 2 y 2 x

k I

2 ) 1 (

2I

E =1 ω +ω +ω = ω

Wykład 7 2010/2011, zima 35

TOCZENIE BEZ POŚLIZGU

Toczenie bez po ś lizgu jest specyficznym rodzajem ruchu bryły sztywnej, b ę d ą cym zło ż eniem ruchu post ę powego ś rodka masy i ruchu obrotowego wokół ś rodka masy

2R śm

Wykład 7 2010/2011, zima 36

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

śm

ω R

ω R v

_śm

v

_śm

v

_śm

2v

_śm

v

_śm

v=0

ruch obrotowy wokół osi przechodzącej przez środek masy

ruch postępowy toczenie bez poślizgu jako złożenie ruchów

R v

śm

= ω

Przyczyną toczenia bez poślizgu jest siła tarcia statycznego

R

a

śm

= ε

Wykład 7 2010/2011, zima 37

Przykład 4 Obliczyć energię kinetyczną toczących się bez poślizgu brył: a) walca b) kuli c) cienkiej obręczy.

Wszystkie bryły mają tę samą masę m=1 kg i tę samą prędkość liniową środka masy v_śm=10 m/s

ko kp

k

E E

E = +

całkowita

energia kinetyczna

energia kinetyczna ruchu postępowego

energia kinetyczna ruchu obrotowego

2 śm

kp mv

2 E = 1

2

ko I

2 E =1 ω

R v

śm

= ω

2 2

kp mR

2 E = 1 ω

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

2

walca mR

2 I =1

2

kuli mR

5 I =2

2

obr mR

I =

Całkowita energia kinetyczna

2 śm 2

2 2

2

kw mv

4 mR 3

4 mR 1

2

E =1 ω + ω = walca

2 śm 2

2 2

2

kk mv

10 mR 7

5 mR 1

2

E = 1 ω + ω = kuli

obręczy ²śm

2 2 2

2

kobr mR mv

2 mR 1

2

E =1 ω + ω =

E

_kobręczy

> E

_kwalca

> E

_kkuli

Wykład 7 2010/2011, zima 39

Pod górę równi pochyłej wtaczają się: kula i walec. Obie bryły u podstawy równi miały tę samą prędkośćśrodka masy. Która z brył wtoczy się wyżej?

ZADANIE DOMOWE 7.7

Wykład 7 2010/2011, zima 40

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

RÓWNANIA RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ – RÓWNANIA EULERA

W układzie związanym ze środkiem masy bryły, czyli w układzie obracającym się razem z bryłą (w układzie nieinercjalnym)

L L ω

τ L

 + ×







=







=

r

i dt

d dt

wypadkowy d

moment siły

zmiana momentu pędu w układzie inercjalnym

zmiana momentu pędu w układzie nieinercjalnym

Wykład 7 2010/2011, zima 41

Założenie: układ osi głównych:

z zz z

y yy y

x xx x

I L

I L

I L

ω

= ω

= ω

=

( )

( )

(

yy xx

)

x y z

zz z

z x zz xx y yy y

z y yy zz x xx x

I dt I

I d

I dt I

I d

I dt I

I d

ω ω

− ω +

= τ

ω ω

− ω +

= τ

ω ω

− ω +

= τ

Równania Eulera

gdy I_xx= I_yy= I_zz= I

ε ω

τ

I

dt I d =

=

II zasada dynamiki dla ruchu

obrotowego

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Precesja swobodna

( )

( )

(

^{yy xx}

)

^{x y}

z zz

z x zz xx y yy

z y yy zz x xx

I dt I

I d 0

I dt I

I d 0

I dt I

I d 0

ω ω

− ω +

=

ω ω

− ω +

=

ω ω

− ω +

=

= 0 τ

Kula: I

_xx

=I

_yy

=I

_zz

=I

const const const

z y x

= ω

= ω

= ω

dt Id 0

dt Id 0

dt Id 0

z y x

= ω

= ω

= ω

=

Wykład 7 2010/2011, zima 43

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU

Wykład 7 2010/2011, zima 44

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

W układzie inercjalnym, wypadkowy moment sił

zewnętrznych zmiana momentu pędu

bryły sztywnej

moment p ę du jest zachowany

dt

d

wyp

τ L

=

wyp=0 τ

Je ż eli to

^d_dt^L=0

czyli L = const

Zasada zachowania momentu

pędu

Wykład 7 2010/2011, zima 45

momentu p ę du

• Moment pędu L = I ω

• Moment bezwładności I opisujący rozkład masy obiektu I=(masa) x (odległośćod osi obrotu)²maleje, to prędkość kątowa ωrośnie

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

Przykład 5 Na rysunku przedstawiono studenta siedzącego na stołku obrotowym. Student pozostaje w spoczynku, trzymając w ręku koło rowerowe, które ma moment bezwładności Ik=1.2 kg·m² względem swojej osi. Koło

obraca się z prędkością kątową ωkoła = 3,9 obrotów/s. W pewnej chwili student obraca koło w wyniku czego student, stołek i środek masy koła zaczynają się obracać razem wokół osi obrotu stołka. Moment bezwładności tego ciała złożonego wynosi I_ciała=6,8 kg

·

^m2. Obliczyć prędkość kątową ωciała po obróceniu koła. W jakim kierunku obraca się student wraz z kołem?

HRW, 1

Wykład 7 2010/2011, zima 47

koło ciał

2 L

L =

koło koło ciał

ciał

I = 2 ω I ω

Rozwi ą zanie:

koło ciał

koło

L L

L = −

z zasady zachowania momentu pędu

ciał koło koło

ciał I

2ω I

= ω

po przed

L L

=

HRW, 1

Wykład 7 2010/2011, zima 48

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

I (kg m

²

)

moment bezwładności m (kg)

masa

przyspieszenie kątowe ε(rad/s²) przyspieszenie

liniowe a (m/s²)

prędkość kątowa ω(rad/s) prędkość liniowa

v (m/s)

α (rad) położenie kątowe

x (m) położenie

Ruch obrotowy (stała o ś obrotu) Ruch post ę powy

(stały kierunek)

Porównanie podstawowych wielkości fizycznych i wzorów

dt v = dx

dt dα

= ω dt

a = dv

dt dω

= ε

Wykład 7 2010/2011, zima 49

uogólniona zasada dynamiki uogólniona

zasada dynamiki

energia kinetyczna E_k(J) energia

kinetyczna E_k(J)

moment pędu L (kg m²s) pęd

p (kg m/s)

moment siły

(N m)

siła F (N)

Porównanie podstawowych wielkości fizycznych i wzorów cd.

a F

= m

dt F d p

=

ε

=

I

τ τ v p

= m
= ω

I L

dt τ d L

=

2

k v

2

E = m k ²

2 E = I ω

Wydział EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika Przedmiot: Fizyka

PODSUMOWANIE

Do opisu ruchu obrotowego bryły sztywnej używamy wektorów: momentu pędu, wektor momentu siły i prędkości kątowej. Wprowadzamy również pojęcie rotacyjnej energii kinetycznej.

Równania Eulera opisują dynamikę bryły sztywnej

^Postać tensora momentu bezwładności ma ścisły związek z symetrią bryły sztywnej i wybranym układem odniesienia

L
ω

~I

Wektory momentu pędu i prę=dkości kątowej nie muszą być do siebie równoległe, bo gdzie jest tensorem momentu bezwładności

~I