• Nie Znaleziono Wyników

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym dr inż. Jakub Możaryn

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym dr inż. Jakub Możaryn"

Copied!
27
0
0

Pełen tekst

(1)

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2017

(2)

Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi w układach regulacji.

Zalety:

duży moment obrotowy, dobra sprawność, małe wymiary.

Wady:

iskrzenie (zakłócenia przemysłowe), zużywanie się szczotek komutatora.

W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szereg silników prądu stałego o specjalnej konstrukcji, charakteryzujących się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi.

(3)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutek oddziaływania między zewnętrznym polem magnetycznym, a polem magnetycznym powstającym wokół przewodnika, przez który płynie prąd.

(4)

Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetyczne wytwarzane jest zazwyczaj przez magnesy trwałe, umieszczone w nieruchomej obudowie silnika zwanej stojanem.

(5)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Znajdujący się w polu magnetycznym stojana wirnik zawiera uzwojenia składające się z wielu ramek przewodów połączonych z komutatorem.

Zazwyczaj uzwojenia te nawinięte są na rdzeniu z materiału

ferromagnetycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prądu przepływającego w uzwojeniach wirnika powstaje moment obrotowy.

(6)

Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Aby moment obrotowy działający na wirnik był maksymalny, wektory strumienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebie prostopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramki uzwojenia wirnika, powodując odpowiednie zmiany kierunku

przepływającego prądu.

(7)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest przez szczotki, wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typu obwodem sterowania jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięcia zasilającego obwód sterowania wywołują zmiany momentu obrotowego a tym samym, przy określonym momencie obciążenia wirnika, zmianę prędkości kątowej wirnika.

(8)

Rysunek :Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

parametry elektryczne

Uz – napięcie zasilające wirnik, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika, Rw – rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika, Lw – indukcyjność

zastępcza uzwojeń wirnika, E – siła elektromotoryczna indukcji, ωs – prędkość kątowa wirnika.

(9)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek :Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

parametry mechaniczne

Ms – moment obrotowy wirnika, ωs – prędkość kątową wirnika, B – współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika, J – moment bezwładności zredukowany do wału wirnika, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika, Mobc – stały moment obciążenia silnika.

(10)

Tworząc model silnika należy zwrócić uwagę na znalezienie zależności pomiędzy napięciem zasilającym silnik (Uz) a prędkością kątową silnika s).

Rozważając osobno elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnika można napisać dwa równania modelujące jego działanie.

Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa można napisać równanie elektryczne silnika

Uz= URw + ULw + E (1)

Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania momentów przeciwstawiających się jego ruchowi można zapisać jako

Ms = Ma+ Mv+ Mobc (2)

(11)

Budowa i działanie silnika DC - zależności elektryczne

Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prądu przez niego płynącego

URw = Rwiw (3)

Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne do zmian prądu przez nią płynącego (straty w obwodzie magnetycznym zostały tutaj pominięte)

ULw = Lwdiw

dt (4)

Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji (SEM), której wartość jest

proporcjonalna do prędkości kątowej wirnika

E = keωs (5)

gdzie: ke – stała elektryczna, zależna m.in. od strumienia

magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.

Podstawiając kolejne składowe napięcia Uz do równania (??), otrzymamy Uz = Rwiw+ Lw

diw

dt + keωs (6)

(12)

obrotowy wirnika, proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik ma postać

Ms = kmiw (7)

gdzie km– stała mechaniczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.

Moment związany z przyspieszeniem kątowym wirnika ma postać Ma= Jd ωs

dt (8)

Moment związany z oporami ruchu wirnika

Mv = Bωs (9)

Podstawiając kolejne składowe momentu Ms do równania (??) kmiw= Jd ωs

dt + Bωs+ Mobc (10)

(13)

Równanie dynamiki silnika DC

Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC





Uz = Rwiw+ Lwdiw

dt + keωs kmiw = Jd ωs

dt + Bωs+ Mobc

(11)

stosując przekształcenie Laplace’a

 Uz(s) = Rwiw(s) + Lwiw(s)s + keωs(s) kmiw(s) = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc

(12) a następnie określając zmienną wiążącą jako iw(s)





iw(s) = Uz(s) − keωs(s) Rw+ Lws

iw(s) = s(s)s + Bωs(s) + Mobc

km

(13)

czyli

Uz(s) − keωs(s)

Rw+ Lws = s(s)s + Bωs(s) + Mobc

km (14)

(14)

Uz(s) − keωs(s)

Rw+ Lws = s(s)s + Bωs(s) + Mobc km

(15) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika

kmUz(s) − kmkeωs(s) = (Rw+ Lws)(Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc) (16)

Rysunek :Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

(15)

Równanie dynamiki silnika DC

Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:

Mobc= 0 (17)

co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs

Us(s)= km

LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (18) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.

(16)

Do przeprowadzenia numerycznej symulacji działania silnika należy zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe).

Załóżmy, że:

Rw = 2 Ω, J = 0.1 kg · m2

s2 , Lw= 0.1 H, B = 0.5 Nm · s

rad , ke = 0.1 V · s

rad , km = 0.1 Nm

A ,

(17)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne

Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w

przestrzeni stanów z czasem ciągłym

 X (t) = A˙ mcX (t) + BmcU(t)

y (t) = CmcX (t) + DmcU(t) (19) gdzie: X (t) ∈ Rn- wektor stanu, U(t) ∈ Rm - wektor sygnałów

sterujących, y (t) ∈ Rp - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amc ∈ Rn×n - macierz stanu Bmc∈ Rn×m - macierz sterowania, Cmc∈ Rp×m - macierz wyjścia.

Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych.

Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego,

ciągłego układu dynamicznego.

(18)

Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC





Uz = Rwiw+ Lwdiw dt + keωs kmiw = Jd ωs

dt + Bωs+ Mobc

(20)

po przekształceniu



 diw

dt = −ke Lw

ωsRw Lw

iw+ 1 Lw

Uz

d ωs dt = −B

Jωs+km J iw1

JMobc

(21)

można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań Xfiz =

 iw ωs

 , Ufiz=

 Uz Mobc



(22)

(19)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne

Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fizykalnych, z wykorzystaniem wektora stanu i sterowań:

Xfiz =

 iw

ωs

 , Ufiz=

 Uz

Mobc



(23) jest następujący







 X˙fiz=

Rw

Lw

ke

Lw

km

J B

J

Xfiz+

 1 Lw

0 0 1

J

Ufiz

Y =

0 1  Xfiz+

0 0  Ufiz

(24)

 X˙fiz= AfizXfiz+ BfizUfiz

Y = CfizXfiz+ DfizUfiz (25)

(20)

Mając transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs

Us(s)= km

LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (26) stosując następujące podstawienia

20= km

LwJ, 2ξω0= RwJ + LwB

LwJ , ω20=kmke+ RwB

LwJ (27)

można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G (s) = Y (s)

U(s) = k

T2s2+ 2ξTs + 1 (28) G (s) = Y (s)

U(s) = 02

s2+ 2ξω0s + ω02 (29) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0- pulsacja drgań

nietłumionych.

(21)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe

Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = 20

s2+ 2ξω0s + ω20 (30) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.

Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x2(t) = −ω20x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (31) równanie wyjścia

y (t) = kω0x1(t) (32)

(22)

Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych:

Xfaz=

 x1 x2



, Ufaz = Uz (33) jest następujący

 X˙faz =

 0 1

−ω20 −2ξω02

 Xfaz+

 0 1

 Ufaz Y =

02 0  Xfaz+ [0] Ufaz

(34)

 Xfaz˙ = Afaz(t)Xfaz+ Bfaz(t)Ufaz(t) Y = CfazXfaz+ DfazUfaz

(35)

(23)

Człon oscylacyjny - właściwości

Transmitancja operatorowa G (s) = Y (s)

U(s) = k

T2s2+ 2ξTs + 1 (36)

G (s) = Y (s)

U(s) = 02

s2+ 2ξω0s + ω02 (37) Odpowiedź skokowa

y (t) = L−1

 ust

1 s

20 s2+ 2ξω0s + ω0



= kust

"

1 − 1

p1 − ξ2e−ξω0tsin ω0

p1 − ξ2t + φ

# (38)

φ = arctg

p1 − ξ2

ξ (39)

(24)

Rysunek :Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego

(25)

Człon oscylacyjny - właściwości

Transmitancja widmowa

G (j ω) = 20[(ω20− ω2) − j 2ξω0ω]

02− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (40)

Rysunek :Charakterystyka amplitudowo-fazowa

(26)

Transmitancja widmowa

G (j ω) =20[(ω20− ω2) − j 2ξω0ω]

20− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (41)

P(j ω) = 20[(ω02− ω2)]

02− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (42) Q(j ω) = − k[2ξω30ω]

20− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (43)

Rysunek :Logarytmiczne

charakterystyki amplitudowa i fazowa

(27)

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2017

Cytaty

Powiązane dokumenty

W trakcie normalnej pracy układu napędowego są identyfikowane charakterystyczne dla napędów przebiegi zależności parametrów zachowań modelu oscylacyjnego od parametrów ruchu

4 przekłada się w implementacyjnie prosty sposób w algorytm wyboru macierzy sprzężeń zwrotnych, uwzględniając założone właściwości statyczne i dynamiczne układu

W trakcie normalnej pracy układu napędowego są identyfikowane charakterystyczne dla napędów przebiegi zależności parametrów zachowań modelu oscylacyjnego od parametrów ruchu

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów.. Dobór nastaw na podstawie poszukiwania minimalnych wartości wskaźników oceny jakości sterowania i optymalnych

Główne problemy sterowania samostrojonego układów napędowych Dla zapobieżenia fatalnym skutkom błędów identyfikacji - przez eliminację nierealnych wartości parametrów

Temat 4: Modelowanie i sterowanie manipulatora o 3 stopniach swobody - dobór napędu, kinematyka, dynamika.

Krok 1: Informacje o kinematyce maszyny Krok 2: Wymagania dotyczące parametrów ruchu Krok 3: Definicje podstawowych parametrów.?. Dobór napędu: dane

Rysunek: Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetyczne wy- twarzane jest zazwyczaj przez