Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym
dr inż. Jakub Możaryn
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2017
Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi w układach regulacji.
Zalety:
duży moment obrotowy, dobra sprawność, małe wymiary.
Wady:
iskrzenie (zakłócenia przemysłowe), zużywanie się szczotek komutatora.
W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szereg silników prądu stałego o specjalnej konstrukcji, charakteryzujących się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutek oddziaływania między zewnętrznym polem magnetycznym, a polem magnetycznym powstającym wokół przewodnika, przez który płynie prąd.
Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetyczne wytwarzane jest zazwyczaj przez magnesy trwałe, umieszczone w nieruchomej obudowie silnika zwanej stojanem.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Znajdujący się w polu magnetycznym stojana wirnik zawiera uzwojenia składające się z wielu ramek przewodów połączonych z komutatorem.
Zazwyczaj uzwojenia te nawinięte są na rdzeniu z materiału
ferromagnetycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prądu przepływającego w uzwojeniach wirnika powstaje moment obrotowy.
Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Aby moment obrotowy działający na wirnik był maksymalny, wektory strumienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebie prostopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramki uzwojenia wirnika, powodując odpowiednie zmiany kierunku
przepływającego prądu.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek :Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest przez szczotki, wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typu obwodem sterowania jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięcia zasilającego obwód sterowania wywołują zmiany momentu obrotowego a tym samym, przy określonym momencie obciążenia wirnika, zmianę prędkości kątowej wirnika.
Rysunek :Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
parametry elektryczne
Uz – napięcie zasilające wirnik, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika, Rw – rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika, Lw – indukcyjność
zastępcza uzwojeń wirnika, E – siła elektromotoryczna indukcji, ωs – prędkość kątowa wirnika.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek :Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
parametry mechaniczne
Ms – moment obrotowy wirnika, ωs – prędkość kątową wirnika, B – współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika, J – moment bezwładności zredukowany do wału wirnika, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika, Mobc – stały moment obciążenia silnika.
Tworząc model silnika należy zwrócić uwagę na znalezienie zależności pomiędzy napięciem zasilającym silnik (Uz) a prędkością kątową silnika (ωs).
Rozważając osobno elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnika można napisać dwa równania modelujące jego działanie.
Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa można napisać równanie elektryczne silnika
Uz= URw + ULw + E (1)
Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania momentów przeciwstawiających się jego ruchowi można zapisać jako
Ms = Ma+ Mv+ Mobc (2)
Budowa i działanie silnika DC - zależności elektryczne
Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prądu przez niego płynącego
URw = Rwiw (3)
Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne do zmian prądu przez nią płynącego (straty w obwodzie magnetycznym zostały tutaj pominięte)
ULw = Lwdiw
dt (4)
Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji (SEM), której wartość jest
proporcjonalna do prędkości kątowej wirnika
E = keωs (5)
gdzie: ke – stała elektryczna, zależna m.in. od strumienia
magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.
Podstawiając kolejne składowe napięcia Uz do równania (??), otrzymamy Uz = Rwiw+ Lw
diw
dt + keωs (6)
obrotowy wirnika, proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik ma postać
Ms = kmiw (7)
gdzie km– stała mechaniczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.
Moment związany z przyspieszeniem kątowym wirnika ma postać Ma= Jd ωs
dt (8)
Moment związany z oporami ruchu wirnika
Mv = Bωs (9)
Podstawiając kolejne składowe momentu Ms do równania (??) kmiw= Jd ωs
dt + Bωs+ Mobc (10)
Równanie dynamiki silnika DC
Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC
Uz = Rwiw+ Lwdiw
dt + keωs kmiw = Jd ωs
dt + Bωs+ Mobc
(11)
stosując przekształcenie Laplace’a
Uz(s) = Rwiw(s) + Lwiw(s)s + keωs(s) kmiw(s) = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc
(12) a następnie określając zmienną wiążącą jako iw(s)
iw(s) = Uz(s) − keωs(s) Rw+ Lws
iw(s) = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc
km
(13)
czyli
Uz(s) − keωs(s)
Rw+ Lws = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc
km (14)
Uz(s) − keωs(s)
Rw+ Lws = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc km
(15) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika
kmUz(s) − kmkeωs(s) = (Rw+ Lws)(Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc) (16)
Rysunek :Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
Równanie dynamiki silnika DC
Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:
Mobc= 0 (17)
co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (18) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.
Do przeprowadzenia numerycznej symulacji działania silnika należy zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe).
Załóżmy, że:
Rw = 2 Ω, J = 0.1 kg · m2
s2 , Lw= 0.1 H, B = 0.5 Nm · s
rad , ke = 0.1 V · s
rad , km = 0.1 Nm
A ,
Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne
Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w
przestrzeni stanów z czasem ciągłym
X (t) = A˙ mcX (t) + BmcU(t)
y (t) = CmcX (t) + DmcU(t) (19) gdzie: X (t) ∈ Rn- wektor stanu, U(t) ∈ Rm - wektor sygnałów
sterujących, y (t) ∈ Rp - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amc ∈ Rn×n - macierz stanu Bmc∈ Rn×m - macierz sterowania, Cmc∈ Rp×m - macierz wyjścia.
Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych.
Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego,
ciągłego układu dynamicznego.
Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC
Uz = Rwiw+ Lwdiw dt + keωs kmiw = Jd ωs
dt + Bωs+ Mobc
(20)
po przekształceniu
diw
dt = −ke Lw
ωs−Rw Lw
iw+ 1 Lw
Uz
d ωs dt = −B
Jωs+km J iw−1
JMobc
(21)
można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań Xfiz =
iw ωs
, Ufiz=
Uz Mobc
(22)
Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne
Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fizykalnych, z wykorzystaniem wektora stanu i sterowań:
Xfiz =
iw
ωs
, Ufiz=
Uz
Mobc
(23) jest następujący
X˙fiz=
−Rw
Lw
−ke
Lw
km
J −B
J
Xfiz+
1 Lw
0 0 −1
J
Ufiz
Y =
0 1 Xfiz+
0 0 Ufiz
(24)
X˙fiz= AfizXfiz+ BfizUfiz
Y = CfizXfiz+ DfizUfiz (25)
Mając transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (26) stosując następujące podstawienia
kω20= km
LwJ, 2ξω0= RwJ + LwB
LwJ , ω20=kmke+ RwB
LwJ (27)
można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G (s) = Y (s)
U(s) = k
T2s2+ 2ξTs + 1 (28) G (s) = Y (s)
U(s) = kω02
s2+ 2ξω0s + ω02 (29) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0- pulsacja drgań
nietłumionych.
Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe
Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω20
s2+ 2ξω0s + ω20 (30) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.
Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu
˙
x1(t) = x2(t)
˙
x2(t) = −ω20x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (31) równanie wyjścia
y (t) = kω0x1(t) (32)
Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych:
Xfaz=
x1 x2
, Ufaz = Uz (33) jest następujący
X˙faz =
0 1
−ω20 −2ξω02
Xfaz+
0 1
Ufaz Y =
kω02 0 Xfaz+ [0] Ufaz
(34)
Xfaz˙ = Afaz(t)Xfaz+ Bfaz(t)Ufaz(t) Y = CfazXfaz+ DfazUfaz
(35)
Człon oscylacyjny - właściwości
Transmitancja operatorowa G (s) = Y (s)
U(s) = k
T2s2+ 2ξTs + 1 (36)
G (s) = Y (s)
U(s) = kω02
s2+ 2ξω0s + ω02 (37) Odpowiedź skokowa
y (t) = L−1
ust
1 s
kω20 s2+ 2ξω0s + ω0
= kust
"
1 − 1
p1 − ξ2e−ξω0tsin ω0
p1 − ξ2t + φ
# (38)
φ = arctg
p1 − ξ2
ξ (39)
Rysunek :Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego
Człon oscylacyjny - właściwości
Transmitancja widmowa
G (j ω) = kω20[(ω20− ω2) − j 2ξω0ω]
(ω02− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (40)
Rysunek :Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Transmitancja widmowa
G (j ω) =kω20[(ω20− ω2) − j 2ξω0ω]
(ω20− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (41)
P(j ω) = kω20[(ω02− ω2)]
(ω02− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (42) Q(j ω) = − k[2ξω30ω]
(ω20− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (43)
Rysunek :Logarytmiczne
charakterystyki amplitudowa i fazowa
Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym
dr inż. Jakub Możaryn
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2017