 ma + kx = 0 → md + kx = 0 xdt

Numer ćwiczenia:

1

Drgania harmoniczne sprężyny Ocena z teorii Numer zespołu:

7

Paweł Zajdel Ocena z zaliczenia

ćwiczenia:

Data:

27.04.2010r.

Wydział Rok Grupa Uwagi:

EAIiE I 2

Konspekt:

ruch harmoniczny prosty – ruch drgający, odbywa się pod wpływem siły zwróconej zawsze w stronę położenia równowagi i posiadającej wartość wprost proporcjonalną do wychylenia z położenia równowagi, np. taką siła jest siła sprężystości sprężyny

wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła sprężynowego z uwzględnieniem masy sprężyny – gdy mamy do czynienia z nieważką sprężyną na której zawieszono ciało m to siła sprężystości przyjmuje postać F=-kx a siła grawitacji F=ma. Mamy więc

ma+kx=0 →m d

²

x

dt

²

+kx=0

Rozwiązaniem tego równiania jest

x(t )= A sin(ωt +θ

₀

)

Porównując F=-kx i F=ma otrzymujemy wyrażenie na okres drgań wahadła sprężynowego bez

uwzględnienia masy sprężyny:

T =2π √ ^{m k}

. W rzeczywistości ta zależność ma postać

T =2 π √ ^{m 3 +M k}

^. Tę zależność można otrzymać porównując energię kinetyczną ciężarka M równą

Mv2

E = 2 i energię kinetyczną sprężyny m, której koniec ruchomy porusza się z tą samą prędkością v, natomiast punkt zaczepienia spoczywa. Rozpatrzmy element sprężyny o długości dx o masie równej dm = m (dx/l0). Jego prędkość wynosi v(x) = v (x/l0). Zatem energia kinetyczna elementu sprężyny dm wynosi:

 

 

 

2 2

0 0

1 1 dx x

dE = dmv (x) = m v

2 2 l l

. Całkowita energia kinetyczna sprężyny wynosi:



⁰

2l

2 2

3 0 0

mv 1m

E = x dx = v

2 3

2l .

Całkowita energia kinetyczna układu ciężarka i sprężyny wynosi:

 

 

 

m 2

M + v

E = 3 2

prawo Hooke’a – opisuje zależność siły od odkształcenia, wyraża się wzorem

Δl= Fl

sE

_gdzie

l-długość pręta, s – pole przekroju poprzecznego pręta, E – moduł Younga, F –siła działająca równolegle do osi długiej pręta

moduł Younga – współczynnik sprężystości wzdłużnej, charakteryzuje sprężystość danego ciała:

E= σ

ε

gdzie ε – wydłużenie ciała, σ – naprężenie normalne

Odwrotność modułu Younga nazywa się współczynnikiem wydłużenia.

moduł sztywności - nazywamy stosunek naprężenia stycznego  do wywołanego przez nie odkształcenia postaci .

G= τ

γ

Moduł sztywności sprężyny można inaczej wyrazić jako

G= 4 knR

³

r

⁴

gdzie k – współczynnik sprężystości, n- liczba zwojów sprężyny, R – promień zwoju sprężyny, r – promień drutu sprężyny.