Podstawowe pojęcia i twierdzenia z teorii grafów
Uwaga: Przy zaliczeniu przedmiotu "Teoria grafów i sieci" należy wykazać się znajomością podstawowych pojęć omawianych na zajęciach. Definicje i własności można formułować
intuicyjnie, najważniejsza jest umiejętność poprawnego ich stosowania. Najważniejsze twierdzenia, których treść należy umieć sformułować (wraz z niezbędnymi założeniami) oznaczone są w spisie wytłuszczoną czcionką.
• graf skierowany, graf nieskierowany, podgraf
• stopień wierzchołka, ciąg stopni wierzchołków
• ścieżka w grafie, pętla, cykl, graf acykliczny, graf prosty
• grafy regularne, grafy dwudzielne
• wierzchołki izolowane, graf spójny, składowe spójności
• graf pełny, linia i koło o n wierzchołkach
• macierz sąsiedztwa grafu
• Lemat o uściskach dłoni
• grafy izomorficzne
• niezmienniki izomorfizmu
• twierdzenie o istnieniu ścieżki prostej
• grafy eulerowskie i półeulerowskie
• Twierdzenie Eulera o grafach eulerowskich i półeulerowskich
• algorytm Fleury'ego
• cykl Hamiltona, grafy hamiltonowskie i półhamiltonowskie
• most, zbiór rozspajający, spójność (wierzchołkowa) grafu, spójność krawędziowa
• drzewo, liść
• warunki równoważne aby graf był drzewem
• drzewa oznakowane, kod Prüfera drzewa oznakowanego
• Twierdzenie Cayleya
• drzewo ukorzenione, wysokość drzewa, potomkowie i przodkowie
• wektor poprzedników drzewa ukorzenionego
• drzewa spinające grafu spójnego, przeszukiwanie wszerz i w głąb
• grafy z wagami, minimalne drzewa spinające, algorytmy Prima i Kruskala
• drzewo najkrótszych ścieżek, algorytm Dijkstry
• problem chińskiego listonosza
• problem komiwojażera
• sieci przepływowe, funkcja przepływu, wartość przepływu
• algorytm znajdowania maksymalnego przepływu poprzez tworzenie sieci rezydualnej
• pojęcie przekroju
• Twierdzenie minimaksowe o przekrojach i przepływach
• graf planarny, przykłady grafów nieplanarnych
• kolorowanie wierzchołków grafu, twierdzenia o kolorowaniu wierzchołków
• Twierdzenie Eulera o wierzchołkach, krawędziach i ścianach
• pojęcie mapy, mapy kolorowalne (f)
• grafy geometrycznie dualne
• twierdzenia o kolorowaniu map
• problem kojarzenia małżeństw, skojarzenie całkowite w grafie dwudzielnym
• Twierdzenie Halla o kojarzeniu małżeństw
Przykładowe pytania testu zaliczeniowego
1. Co to znaczy, że graf jest spójny? Podać przykład grafu spójnego i niespójnego.
2. Sprawdzić, które z poniższych grafów są izomorficzne z grafem
a) b) c) d)
3. Sformułować twierdzenie Cayleya (w dowolnej postaci)
4. Czy graf jest grafem prostym? Uzasadnić odpowiedź.
5. Czy graf jest grafem a) pełnym, b) regularnym? Uzasadnić odpowiedź
6. Sprawdzić, czy poniższy graf jest eulerowski, półeulerowski ale nie eulerowski czy też ani eulerowski ani półeulerowski . Uzasadnić odpowiedź
a) b)
7. W drzewie G wyróżniono jako korzeń wierzchołek b.
a b c d e f g
h i
j k l m
n o p r s
Znaleźć
a) wysokość drzewa (G,b);
b) wszystkie dzieci wierzchołka k;
c) wektor poprzedników.
8. Sprawdzić, czy graf z zadania 5b jest hamiltonowski lub półhamiltonowski
9. Znaleźć najkrótszą (o najmniejszej wadze) ścieżkę z A do H. Podać przebieg tej drogi (ciąg wierzchołków) i jej wagę
A
B
C
D
E
F
G
H 2
7
6
5 7
2 1
4 5
2
4
5 3
5
4
10. Miasta A, B, C, D, E i F mają być połączone siecią energetyczną. Koszty budowy połączeń między poszczególnymi miastami przedstawia tabela. Znaleźć minimalny koszt budowy tej sieci.
Zaznaczyć w tabeli, które miasta zostaną połączone przy budowie najtańszej sieci.
B C D E F
123 165 310 263 224 A 148 238 305 274 B 239 236 359 C 184 169 D 151 E 11. Znaleźć przepływ maksymalny f w sieci przepływowej
(dodatnie wartości przepływu zapisać na rysunku obok przepustowości). Obliczyć wartość tego przepływu.
s t
a
b 5
5
2 2 8
