• Nie Znaleziono Wyników

Pochodne funkcji wielu zmiennych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pochodne funkcji wielu zmiennych"

Copied!
89
0
0

Pełen tekst

(1)

Pochodne funkcji wielu zmiennych

9 maja 2017

(2)

NORMA

Definicja 320

Norma w przestrzeni wektorowej R, nnazywamy funkcje, k · k: Rn3 v −→k v k∈ R spełniajac, a warunki,

1) ∀v ∈ Rn k v k= 0 ⇒ v = 0, 2) ∀λ ∈ R ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k, 3) ∀v , w ∈ Rnk v + w k≤k v k + k w k .

(3)

NORMA

Definicja 320

Norma w przestrzeni wektorowej R, nnazywamy funkcje, k · k: Rn3 v −→k v k∈ R spełniajac, a warunki,

1) ∀v ∈ Rn k v k= 0 ⇒ v = 0, 2) ∀λ ∈ R ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k, 3) ∀v , w ∈ Rnk v + w k≤k v k + k w k .

(4)

NORMA

Definicja 320

Norma w przestrzeni wektorowej R, nnazywamy funkcje, k · k: Rn3 v −→k v k∈ R spełniajac, a warunki,

1) ∀v ∈ Rn k v k= 0 ⇒ v = 0, 2) ∀λ ∈ R ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k, 3) ∀v , w ∈ Rnk v + w k≤k v k + k w k .

(5)

NORMA

Definicja 320

Norma w przestrzeni wektorowej R, nnazywamy funkcje, k · k: Rn3 v −→k v k∈ R spełniajac, a warunki,

1) ∀v ∈ Rn k v k= 0 ⇒ v = 0, 2) ∀λ ∈ R ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k, 3) ∀v , w ∈ Rnk v + w k≤k v k + k w k .

(6)

NORMA

Definicja 320

Norma w przestrzeni wektorowej R, nnazywamy funkcje, k · k: Rn3 v −→k v k∈ R spełniajac, a warunki,

1) ∀v ∈ Rn k v k= 0 ⇒ v = 0, 2) ∀λ ∈ R ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k, 3) ∀v , w ∈ Rnk v + w k≤k v k + k w k .

(7)

NORMA

Przykład 321

Niech v = (v1, v2, . . . vn) ∈ Rn. Funkcje określone następującymi wzorami sa, normami w Rn

k v k·= s n

P

k=1

vk2,

k v kP=

n

P

k=1

|vk|, k v kmax= max

k∈{1,2,...,n}|vk|.

(8)

NORMA

Przykład 321

Niech v = (v1, v2, . . . vn) ∈ Rn. Funkcje określone następującymi wzorami sa, normami w Rn

k v k·= s n

P

k=1

vk2,

k v kP=

n

P

k=1

|vk|, k v kmax= max

k∈{1,2,...,n}|vk|.

(9)

NORMA

Przykład 321

Niech v = (v1, v2, . . . vn) ∈ Rn. Funkcje określone następującymi wzorami sa, normami w Rn

k v k·= s n

P

k=1

vk2,

k v kP=

n

P

k=1

|vk|, k v kmax= max

k∈{1,2,...,n}|vk|.

(10)

NORMA

Przykład 321

Niech v = (v1, v2, . . . vn) ∈ Rn. Funkcje określone następującymi wzorami sa, normami w Rn

k v k·= s n

P

k=1

vk2,

k v kP=

n

P

k=1

|vk|, k v kmax= max

k∈{1,2,...,n}|vk|.

(11)

METRYKA

Definicja 322

Metryka w zbiorze X nazywamy funkcj, e,

% : X × X 3 (x , y ) −→ %(x , y ) ∈ R spełniajac, a warunki, 1) %(x , y ) = 0 ⇔ x = y ,

2) %(x , y ) = %(y , x )

3) %(x , z) ≤ %(x , y ) + %(y , z).

Twierdzenie 323

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem %(x , y ) = kx − y k jest metryka.,

(12)

METRYKA

Definicja 322

Metryka w zbiorze X nazywamy funkcj, e,

% : X × X 3 (x , y ) −→ %(x , y ) ∈ R spełniajac, a warunki, 1) %(x , y ) = 0 ⇔ x = y ,

2) %(x , y ) = %(y , x )

3) %(x , z) ≤ %(x , y ) + %(y , z).

Twierdzenie 323

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem %(x , y ) = kx − y k jest metryka.,

(13)

METRYKA

Definicja 322

Metryka w zbiorze X nazywamy funkcj, e,

% : X × X 3 (x , y ) −→ %(x , y ) ∈ R spełniajac, a warunki, 1) %(x , y ) = 0 ⇔ x = y ,

2) %(x , y ) = %(y , x )

3) %(x , z) ≤ %(x , y ) + %(y , z).

Twierdzenie 323

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem %(x , y ) = kx − y k jest metryka.,

(14)

METRYKA

Definicja 322

Metryka w zbiorze X nazywamy funkcj, e,

% : X × X 3 (x , y ) −→ %(x , y ) ∈ R spełniajac, a warunki, 1) %(x , y ) = 0 ⇔ x = y ,

2) %(x , y ) = %(y , x )

3) %(x , z) ≤ %(x , y ) + %(y , z).

Twierdzenie 323

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem %(x , y ) = kx − y k jest metryka.,

(15)

METRYKA

Definicja 322

Metryka w zbiorze X nazywamy funkcj, e,

% : X × X 3 (x , y ) −→ %(x , y ) ∈ R spełniajac, a warunki, 1) %(x , y ) = 0 ⇔ x = y ,

2) %(x , y ) = %(y , x )

3) %(x , z) ≤ %(x , y ) + %(y , z).

Twierdzenie 323

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem %(x , y ) = kx − y k jest metryka.,

(16)

GRANICA

Definicja 324

Niech bedzie dany ci, ag {x, k}k∈N w przestrzeni metrycznej X .

Mówimy, że a ∈ X jest granica ci, agu {x, k}k∈Nw przestrzeni metrycznej (X , %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy lim

k→∞%(xk, a) = 0.

Zapisujemy lim

k−→∞xk = a.

(17)

GRANICA

Definicja 324

Niech bedzie dany ci, ag {x, k}k∈N w przestrzeni metrycznej X .

Mówimy, że a ∈ X jest granica ci, agu {x, k}k∈Nw przestrzeni metrycznej (X , %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy lim

k→∞%(xk, a) = 0.

Zapisujemy lim

k−→∞xk = a.

(18)

GRANICA

Definicja 324

Niech bedzie dany ci, ag {x, k}k∈N w przestrzeni metrycznej X .

Mówimy, że a ∈ X jest granica ci, agu {x, k}k∈Nw przestrzeni metrycznej (X , %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy lim

k→∞%(xk, a) = 0.

Zapisujemy lim

k−→∞xk = a.

(19)

KULE

Definicja 325

W przestrzeni metrycznej (X , %) kula otwart, a o środku a i promieniu r > 0, nazywamy zbiór K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) < r }.

Kula domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór, K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) ≤ r }.¯

Definicja 326

W przestrzeni metrycznej (X , %)

punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (w , r ) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (z, r ) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli

∀r > 0 : K (b, r ) ∩ D 6= ∅ oraz K (b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

(20)

KULE

Definicja 325

W przestrzeni metrycznej (X , %) kula otwart, a o środku a i promieniu r > 0, nazywamy zbiór K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) < r }.

Kula domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór, K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) ≤ r }.¯

Definicja 326

W przestrzeni metrycznej (X , %)

punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (w , r ) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (z, r ) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli

∀r > 0 : K (b, r ) ∩ D 6= ∅ oraz K (b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

(21)

KULE

Definicja 325

W przestrzeni metrycznej (X , %) kula otwart, a o środku a i promieniu r > 0, nazywamy zbiór K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) < r }.

Kula domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór, K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) ≤ r }.¯

Definicja 326

W przestrzeni metrycznej (X , %)

punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (w , r ) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (z, r ) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli

∀r > 0 : K (b, r ) ∩ D 6= ∅ oraz K (b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

(22)

KULE

Definicja 325

W przestrzeni metrycznej (X , %) kula otwart, a o środku a i promieniu r > 0, nazywamy zbiór K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) < r }.

Kula domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór, K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) ≤ r }.¯

Definicja 326

W przestrzeni metrycznej (X , %)

punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (w , r ) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (z, r ) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli

∀r > 0 : K (b, r ) ∩ D 6= ∅ oraz K (b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

(23)

KULE

Definicja 325

W przestrzeni metrycznej (X , %) kula otwart, a o środku a i promieniu r > 0, nazywamy zbiór K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) < r }.

Kula domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór, K (a, r ) = {x ∈ X : %(x , a) ≤ r }.¯

Definicja 326

W przestrzeni metrycznej (X , %)

punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (w , r ) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ⊂ X jeżeli,

∃r > 0 : K (z, r ) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli

∀r > 0 : K (b, r ) ∩ D 6= ∅ oraz K (b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

(24)

ZBIORY OTWARTE

Definicja 327

Wnetrzem zbioru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów wewn, etrznych., Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.

Zbiór F nazywamy zbiorem domknietym jeśli X \ F jest zbiorem otwartym.,

(25)

ZBIORY OTWARTE

Definicja 327

Wnetrzem zbioru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów wewn, etrznych., Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.

Zbiór F nazywamy zbiorem domknietym jeśli X \ F jest zbiorem otwartym.,

(26)

ZBIORY OTWARTE

Definicja 327

Wnetrzem zbioru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów wewn, etrznych., Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.

Zbiór F nazywamy zbiorem domknietym jeśli X \ F jest zbiorem otwartym.,

(27)

ZBIORY OTWARTE

Twierdzenie 328

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X , %).

1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór Ua jest zbiorem otwartym to S

a∈A

Ua= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ Ua} jest zbiorem otwartym.

3) Jeżeli dla k ∈ ZnUk jest otwarty to

n

T

k=1

Uk = {x ∈ X : ∀k ∈ Zn, x ∈ Uk} jest otwarty.

(28)

ZBIORY OTWARTE

Twierdzenie 328

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X , %).

1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór Ua jest zbiorem otwartym to S

a∈A

Ua= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ Ua} jest zbiorem otwartym.

3) Jeżeli dla k ∈ ZnUk jest otwarty to

n

T

k=1

Uk = {x ∈ X : ∀k ∈ Zn, x ∈ Uk} jest otwarty.

(29)

ZBIORY OTWARTE

Twierdzenie 328

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X , %).

1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór Ua jest zbiorem otwartym to S

a∈A

Ua= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ Ua} jest zbiorem otwartym.

3) Jeżeli dla k ∈ ZnUk jest otwarty to

n

T

k=1

Uk = {x ∈ X : ∀k ∈ Zn, x ∈ Uk} jest otwarty.

(30)

ZBIORY OTWARTE

Twierdzenie 329

Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X , %).

1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór Fa jest zbiorem domkniętym to T

a∈A

Fa= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ Fa} jest zbiorem domkniętym.

3) Jeżeli dla k ∈ Zn Fk jest domknięty to

n

S

k=1

Uk = {x ∈ X : ∃k ∈ Zn, x ∈ Fk} jest domknięty.

Definicja 330

Domknieciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni, ety B zawieraj, acy B.,

(31)

ZBIORY OTWARTE

Twierdzenie 329

Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X , %).

1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór Fa jest zbiorem domkniętym to T

a∈A

Fa= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ Fa} jest zbiorem domkniętym.

3) Jeżeli dla k ∈ Zn Fk jest domknięty to

n

S

k=1

Uk = {x ∈ X : ∃k ∈ Zn, x ∈ Fk} jest domknięty.

Definicja 330

Domknieciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni, ety B zawieraj, acy B.,

(32)

ZBIORY OTWARTE

Twierdzenie 329

Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X , %).

1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór Fa jest zbiorem domkniętym to T

a∈A

Fa= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ Fa} jest zbiorem domkniętym.

3) Jeżeli dla k ∈ Zn Fk jest domknięty to

n

S

k=1

Uk = {x ∈ X : ∃k ∈ Zn, x ∈ Fk} jest domknięty.

Definicja 330

Domknieciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni, ety B zawieraj, acy B.,

(33)

ZBIORY OTWARTE

Twierdzenie 329

Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X , %).

1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór Fa jest zbiorem domkniętym to T

a∈A

Fa= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ Fa} jest zbiorem domkniętym.

3) Jeżeli dla k ∈ Zn Fk jest domknięty to

n

S

k=1

Uk = {x ∈ X : ∃k ∈ Zn, x ∈ Fk} jest domknięty.

Definicja 330

Domknieciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni, ety B zawieraj, acy B.,

(34)

OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO

Twierdzenie 331

W przestrzeni metrycznej (X , %) kula K (a, r ) jest zbiorem otwartym.

Definicja 332

Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem punktu a,

zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.

Definicja 333

Mówimy, że dwie normy k · k1oraz k · k2są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K , k takie, że kk · k1≤ k · k2≤ K k · k1.

(35)

OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO

Twierdzenie 331

W przestrzeni metrycznej (X , %) kula K (a, r ) jest zbiorem otwartym.

Definicja 332

Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem punktu a,

zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.

Definicja 333

Mówimy, że dwie normy k · k1oraz k · k2są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K , k takie, że kk · k1≤ k · k2≤ K k · k1.

(36)

OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO

Twierdzenie 331

W przestrzeni metrycznej (X , %) kula K (a, r ) jest zbiorem otwartym.

Definicja 332

Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem punktu a,

zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.

Definicja 333

Mówimy, że dwie normy k · k1oraz k · k2są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K , k takie, że kk · k1≤ k · k2≤ K k · k1.

(37)

OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO

Twierdzenie 331

W przestrzeni metrycznej (X , %) kula K (a, r ) jest zbiorem otwartym.

Definicja 332

Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem punktu a,

zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.

Definicja 333

Mówimy, że dwie normy k · k1oraz k · k2są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K , k takie, że kk · k1≤ k · k2≤ K k · k1.

(38)

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

Twierdzenie 334

Każde dwie normy na Rnsą równoważne.

Twierdzenie 335

Warunki lim

k→∞k a − xk kmax= 0, lim

k→∞k a − xk kP= 0, lim

k→∞k a − xk k·= 0, sa równoważne.,

(39)

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

Twierdzenie 334

Każde dwie normy na Rnsą równoważne.

Twierdzenie 335

Warunki lim

k→∞k a − xk kmax= 0, lim

k→∞k a − xk kP= 0, lim

k→∞k a − xk k·= 0, sa równoważne.,

(40)

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

Twierdzenie 334

Każde dwie normy na Rnsą równoważne.

Twierdzenie 335

Warunki lim

k→∞k a − xk kmax= 0, lim

k→∞k a − xk kP= 0, lim

k→∞k a − xk k·= 0, sa równoważne.,

(41)

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

Twierdzenie 334

Każde dwie normy na Rnsą równoważne.

Twierdzenie 335

Warunki lim

k→∞k a − xk kmax= 0, lim

k→∞k a − xk kP= 0, lim

k→∞k a − xk k·= 0, sa równoważne.,

(42)

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

Twierdzenie 334

Każde dwie normy na Rnsą równoważne.

Twierdzenie 335

Warunki lim

k→∞k a − xk kmax= 0, lim

k→∞k a − xk kP= 0, lim

k→∞k a − xk k·= 0, sa równoważne.,

(43)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 336

Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących granicą pewnego ciągu elementów różnych od tego punktu należacych do tego zbioru.

Twierdzenie 337

Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty skupienia.

(44)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 336

Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących granicą pewnego ciągu elementów różnych od tego punktu należacych do tego zbioru.

Twierdzenie 337

Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty skupienia.

(45)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 336

Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących granicą pewnego ciągu elementów różnych od tego punktu należacych do tego zbioru.

Twierdzenie 337

Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty skupienia.

(46)

ZWARTOŚĆ

Definicja 338

Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego zbioru.

Twierdzenie 339

W przestrzeni Rn zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

(47)

ZWARTOŚĆ

Definicja 338

Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego zbioru.

Twierdzenie 339

W przestrzeni Rn zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

(48)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 340

Niech bedzie dana funkcja f : D −→ R, m, określona w sąsiedztwie punktu a = (a1, a2, . . . , an).

Mówimy, że funkcja f ma granice g = (g, 1, g2, . . . , gm) przy x = (x1, x2, . . . , xn) zmierzajacym do a = (a, 1, a2, . . . , an) jeżeli dla każdego ciagu {x, (k)}k∈N zawartego w D takiego, że lim

k→∞x(k)= a lim

k−→∞f (x(k)) = g . Zapisujemy lim

x →af (x ) = g .

(49)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 340

Niech bedzie dana funkcja f : D −→ R, m, określona w sąsiedztwie punktu a = (a1, a2, . . . , an).

Mówimy, że funkcja f ma granice g = (g, 1, g2, . . . , gm) przy x = (x1, x2, . . . , xn) zmierzajacym do a = (a, 1, a2, . . . , an) jeżeli dla każdego ciagu {x, (k)}k∈N zawartego w D takiego, że lim

k→∞x(k)= a lim

k−→∞f (x(k)) = g . Zapisujemy lim

x →af (x ) = g .

(50)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 340

Niech bedzie dana funkcja f : D −→ R, m, określona w sąsiedztwie punktu a = (a1, a2, . . . , an).

Mówimy, że funkcja f ma granice g = (g, 1, g2, . . . , gm) przy x = (x1, x2, . . . , xn) zmierzajacym do a = (a, 1, a2, . . . , an) jeżeli dla każdego ciagu {x, (k)}k∈N zawartego w D takiego, że lim

k→∞x(k)= a lim

k−→∞f (x(k)) = g . Zapisujemy lim

x →af (x ) = g .

(51)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 340

Niech bedzie dana funkcja f : D −→ R, m, określona w sąsiedztwie punktu a = (a1, a2, . . . , an).

Mówimy, że funkcja f ma granice g = (g, 1, g2, . . . , gm) przy x = (x1, x2, . . . , xn) zmierzajacym do a = (a, 1, a2, . . . , an) jeżeli dla każdego ciagu {x, (k)}k∈N zawartego w D takiego, że lim

k→∞x(k)= a lim

k−→∞f (x(k)) = g . Zapisujemy lim

x →af (x ) = g .

(52)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 341

Mówimy, że funkcja f : D −→ Rm, gdzie D ⊂ Rn jest ciagła w punkcie, a = (a1, a2, . . . , an) ∈ D jeżelif (a) = lim

x →af (x ).

Twierdzenie 342

Funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy.

(53)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 341

Mówimy, że funkcja f : D −→ Rm, gdzie D ⊂ Rn jest ciagła w punkcie, a = (a1, a2, . . . , an) ∈ D jeżelif (a) = lim

x →af (x ).

Twierdzenie 342

Funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy.

(54)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 341

Mówimy, że funkcja f : D −→ Rm, gdzie D ⊂ Rn jest ciagła w punkcie, a = (a1, a2, . . . , an) ∈ D jeżelif (a) = lim

x →af (x ).

Twierdzenie 342

Funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy.

(55)

GRANICE FUNKCJI

Twierdzenie 343

Jeżeli istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) to istnieja granice,

x →alim(f (x ) + g (x )), lim

x →a(f (x ) − g (x )) jeżeli f : D −→ R to także istnieje limx →a(f (x ) · g (x )).

Ponadto zachodza wzory,

x →alim(f (x ) + g (x )) = lim

x →af (x ) + lim

x →ag (x ) lim

x →a(f (x ) − g (x )) = lim

x →af (x ) − lim

x →ag (x )

x →alim(f (x ) · g (x )) = lim

x →af (x ) · lim

x →ag (x ) Jeżeli f , g : D −→ R, i istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) 6= 0 to istnieje granica lim

x →a

f (x )

g (x ) oraz lim

x →a

f (x ) g (x ) =

x →alimf (x )

x →alimg (x ).

(56)

GRANICE FUNKCJI

Twierdzenie 343

Jeżeli istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) to istnieja granice,

x →alim(f (x ) + g (x )), lim

x →a(f (x ) − g (x )) jeżeli f : D −→ R to także istnieje limx →a(f (x ) · g (x )).

Ponadto zachodza wzory,

x →alim(f (x ) + g (x )) = lim

x →af (x ) + lim

x →ag (x ) lim

x →a(f (x ) − g (x )) = lim

x →af (x ) − lim

x →ag (x )

x →alim(f (x ) · g (x )) = lim

x →af (x ) · lim

x →ag (x ) Jeżeli f , g : D −→ R, i istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) 6= 0 to istnieje granica lim

x →a

f (x )

g (x ) oraz lim

x →a

f (x ) g (x ) =

x →alimf (x )

x →alimg (x ).

(57)

GRANICE FUNKCJI

Twierdzenie 343

Jeżeli istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) to istnieja granice,

x →alim(f (x ) + g (x )), lim

x →a(f (x ) − g (x )) jeżeli f : D −→ R to także istnieje limx →a(f (x ) · g (x )).

Ponadto zachodza wzory,

x →alim(f (x ) + g (x )) = lim

x →af (x ) + lim

x →ag (x ) lim

x →a(f (x ) − g (x )) = lim

x →af (x ) − lim

x →ag (x )

x →alim(f (x ) · g (x )) = lim

x →af (x ) · lim

x →ag (x ) Jeżeli f , g : D −→ R, i istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) 6= 0 to istnieje granica lim

x →a

f (x )

g (x ) oraz lim

x →a

f (x ) g (x ) =

x →alimf (x )

x →alimg (x ).

(58)

GRANICE FUNKCJI

Twierdzenie 343

Jeżeli istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) to istnieja granice,

x →alim(f (x ) + g (x )), lim

x →a(f (x ) − g (x )) jeżeli f : D −→ R to także istnieje limx →a(f (x ) · g (x )).

Ponadto zachodza wzory,

x →alim(f (x ) + g (x )) = lim

x →af (x ) + lim

x →ag (x ) lim

x →a(f (x ) − g (x )) = lim

x →af (x ) − lim

x →ag (x )

x →alim(f (x ) · g (x )) = lim

x →af (x ) · lim

x →ag (x ) Jeżeli f , g : D −→ R, i istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) 6= 0 to istnieje granica lim

x →a

f (x )

g (x ) oraz lim

x →a

f (x ) g (x ) =

x →alimf (x )

x →alimg (x ).

(59)

GRANICE FUNKCJI

Twierdzenie 343

Jeżeli istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) to istnieja granice,

x →alim(f (x ) + g (x )), lim

x →a(f (x ) − g (x )) jeżeli f : D −→ R to także istnieje limx →a(f (x ) · g (x )).

Ponadto zachodza wzory,

x →alim(f (x ) + g (x )) = lim

x →af (x ) + lim

x →ag (x ) lim

x →a(f (x ) − g (x )) = lim

x →af (x ) − lim

x →ag (x )

x →alim(f (x ) · g (x )) = lim

x →af (x ) · lim

x →ag (x ) Jeżeli f , g : D −→ R, i istnieja granice lim,

x →af (x ) oraz lim

x →ag (x ) 6= 0 to istnieje granica lim

x →a

f (x )

g (x ) oraz lim

x →a

f (x ) g (x ) =

x →alimf (x )

x →alimg (x ).

(60)

POCHODNA KIERUNKOWA

Definicja 344

Niech dana bedzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym w R, ni niech (a1, a2, . . . an) ∈ D bedzie ustalonym punktem zaś ¯, v = [v1, v2, . . . , vn] wektorem w Rn.

Jeżeli istnieje granica lim

h−→0

1

h(f (a + h ¯v ) − f (a)) to nazywamy ja pochodn, a, kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯v . Oznaczamy ją (Dv¯f )(a).

Pochodna funkcji wzgl, edem osi l, ~nazywamy pochodna w kierunku wersora tej osi.,

(61)

POCHODNA KIERUNKOWA

Definicja 344

Niech dana bedzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym w R, ni niech (a1, a2, . . . an) ∈ D bedzie ustalonym punktem zaś ¯, v = [v1, v2, . . . , vn] wektorem w Rn.

Jeżeli istnieje granica lim

h−→0

1

h(f (a + h ¯v ) − f (a)) to nazywamy ja pochodn, a, kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯v . Oznaczamy ją (Dv¯f )(a).

Pochodna funkcji wzgl, edem osi l, ~nazywamy pochodna w kierunku wersora tej osi.,

(62)

POCHODNA KIERUNKOWA

Definicja 344

Niech dana bedzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym w R, ni niech (a1, a2, . . . an) ∈ D bedzie ustalonym punktem zaś ¯, v = [v1, v2, . . . , vn] wektorem w Rn.

Jeżeli istnieje granica lim

h−→0

1

h(f (a + h ¯v ) − f (a)) to nazywamy ja pochodn, a, kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯v . Oznaczamy ją (Dv¯f )(a).

Pochodna funkcji wzgl, edem osi l, ~nazywamy pochodna w kierunku wersora tej osi.,

(63)

POCHODNA

Definicja 345

Niech ek będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w Rn.

Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w Rnnazywamy (Dekf )(a).

Oznaczamy ją ∂f

∂xk

(a).

(64)

POCHODNA

Definicja 345

Niech ek będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w Rn.

Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w Rnnazywamy (Dekf )(a).

Oznaczamy ją ∂f

∂xk

(a).

(65)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 346

Niech dana bedzie funkcja,

f : D 3 (x1, x2, . . . , xn) −→ (f1(x ), f2(x ), . . . , fm(x )) ∈ Rm, gdzie D ⊂ Rn i niech (a1, a2, . . . , an) ∈ D bedzie ustalony., Jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe

daf : Rn−→ Rmtakie, że lim

khk→0

k f (a + h) − f (a) − (daf )(h) k

k h k = 0

to nazywamy go pochodą odwzorowania f w punkcie a.

(66)

GRANICE FUNKCJI

Definicja 346

Niech dana bedzie funkcja,

f : D 3 (x1, x2, . . . , xn) −→ (f1(x ), f2(x ), . . . , fm(x )) ∈ Rm, gdzie D ⊂ Rn i niech (a1, a2, . . . , an) ∈ D bedzie ustalony., Jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe

daf : Rn−→ Rmtakie, że lim

khk→0

k f (a + h) − f (a) − (daf )(h) k

k h k = 0

to nazywamy go pochodą odwzorowania f w punkcie a.

(67)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 347

Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie a to jest w tym punkcie ciagła i istniej, a, pochodne czastkowe w punkcie a.,

Twierdzenie 348

Jeżeli funkcja ma pochodne czastkowe w otoczeniu punktu a i s, a one ci, agłe w, tym punkcie to w tym punkcie istnieje pochodna funkcji f i

daf ((h1, h2, . . . hn) =

n

P

l =1

∂f

∂xl(a) · hl.

Definicja 349

Funkcje, która ma pochodną w każdym punkcie obszaru D nazywamy, różniczkowalna w obszarze D.,

(68)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 347

Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie a to jest w tym punkcie ciagła i istniej, a, pochodne czastkowe w punkcie a.,

Twierdzenie 348

Jeżeli funkcja ma pochodne czastkowe w otoczeniu punktu a i s, a one ci, agłe w, tym punkcie to w tym punkcie istnieje pochodna funkcji f i

daf ((h1, h2, . . . hn) =

n

P

l =1

∂f

∂xl(a) · hl.

Definicja 349

Funkcje, która ma pochodną w każdym punkcie obszaru D nazywamy, różniczkowalna w obszarze D.,

(69)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 347

Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie a to jest w tym punkcie ciagła i istniej, a, pochodne czastkowe w punkcie a.,

Twierdzenie 348

Jeżeli funkcja ma pochodne czastkowe w otoczeniu punktu a i s, a one ci, agłe w, tym punkcie to w tym punkcie istnieje pochodna funkcji f i

daf ((h1, h2, . . . hn) =

n

P

l =1

∂f

∂xl(a) · hl.

Definicja 349

Funkcje, która ma pochodną w każdym punkcie obszaru D nazywamy, różniczkowalna w obszarze D.,

(70)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 350

Jeżeli f : Df −→ Rm, i g : Dg −→ Rp, gdzie f (Df) ⊂ Dg ⊂ Rm sa różniczkowalne, to istnieje d (g ◦ f ) oraz zachodzi wzór da(g ◦ f ) = df (a)g ◦ daf .

Twierdzenie 351

Jeżeli f : Df −→ Rm, jest różniczkowalna to Dv¯f (a) = (daf )¯v =

n

P

k=1

∂f

∂xk(a)vk.

(71)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 350

Jeżeli f : Df −→ Rm, i g : Dg −→ Rp, gdzie f (Df) ⊂ Dg ⊂ Rm sa różniczkowalne, to istnieje d (g ◦ f ) oraz zachodzi wzór da(g ◦ f ) = df (a)g ◦ daf .

Twierdzenie 351

Jeżeli f : Df −→ Rm, jest różniczkowalna to Dv¯f (a) = (daf )¯v =

n

P

k=1

∂f

∂xk(a)vk.

(72)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Definicja 352

Załóżmy, że funkcja f : D 3 (x1, x2, . . . , xn) −→ f (x ) ∈ R, gdzie D ⊂ Rnma pochodna cz, astkow, a f, x0

l(x ) = ∂f

∂xl

(x ). Definiujemy

2f

∂xp∂xl

=∂fx0l

∂xp

.

(73)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 353

Jeżeli istnieja pochodne cz, astkowe,2f

∂xp∂xl

, ∂2f

∂xl∂xp

i sa ci, agłe w jakimś punkcie, to sa w tym punkcie równe.,

(74)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 353

Jeżeli istnieja pochodne cz, astkowe,2f

∂xp∂xl

, ∂2f

∂xl∂xp

i sa ci, agłe w jakimś punkcie, to sa w tym punkcie równe.,

(75)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Definicja 354

Niech dana bedzie funkcja f : D, f −→ R, gdzie Df ⊂ R. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S sasiedztwo punktu a, takie,że ∀x ∈ S f (x ) < f (a) (f (x ) > f (a)).

Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że ma ona w tym punkcie ekstremum.

(76)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Definicja 353

Niech dana bedzie funkcja f : D, f −→ R, gdzie Df ⊂ R. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S sasiedztwo punktu a, takie,że ∀x ∈ S f (x ) < f (a) (f (x ) > f (a)).

Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że ma ona w tym punkcie ekstremum.

(77)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Definicja 352

Niech dana bedzie funkcja f : D, f −→ R, gdzie Df ⊂ R. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie a maksimum (minimum) lokalne jeżeli istnieje S sasiedztwo punktu a, takie,że ∀x ∈ S f (x ) < f (a) (f (x ) > f (a)).

Jeżeli funkcja f ma w punkcie a maksimum lub minimum to mówimy że ma ona w tym punkcie ekstremum.

(78)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 353

Niech dana bedzie funkcja różniczkowalna f : D, f −→ R. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest zerowanie sie w tym punkcie, wszystkich pochodnych czastkowych.,

(79)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 354

Niech dana bedzie funkcja f : R, 2⊃ Df −→ R klasy C2w otoczeniu punktu a.

Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest, zerowanie sie w tym punkcie wszystkich pochodnych cz, astkowych pierwszego, rzedu i to aby W = det,

2f

∂x2(a) ∂x ∂y2f (a)

2f

∂y ∂x(a) ∂y2f2(a)

!

był wiekszy od zera,

przy czym jeśli ∂x2f2(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli ∂x2f2(a) < 0 to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

(80)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 354

Niech dana bedzie funkcja f : R, 2⊃ Df −→ R klasy C2w otoczeniu punktu a.

Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest, zerowanie sie w tym punkcie wszystkich pochodnych cz, astkowych pierwszego, rzedu i to aby W = det,

2f

∂x2(a) ∂x ∂y2f (a)

2f

∂y ∂x(a) ∂y2f2(a)

!

był wiekszy od zera,

przy czym jeśli ∂x2f2(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli ∂x2f2(a) < 0 to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

(81)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 354

Niech dana bedzie funkcja f : R, 2⊃ Df −→ R klasy C2w otoczeniu punktu a.

Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest, zerowanie sie w tym punkcie wszystkich pochodnych cz, astkowych pierwszego, rzedu i to aby W = det,

2f

∂x2(a) ∂x ∂y2f (a)

2f

∂y ∂x(a) ∂y2f2(a)

!

był wiekszy od zera,

przy czym jeśli ∂x2f2(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli ∂x2f2(a) < 0 to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

(82)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 354

Niech dana bedzie funkcja f : R, 2⊃ Df −→ R klasy C2w otoczeniu punktu a.

Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest, zerowanie sie w tym punkcie wszystkich pochodnych cz, astkowych pierwszego, rzedu i to aby W = det,

2f

∂x2(a) ∂x ∂y2f (a)

2f

∂y ∂x(a) ∂y2f2(a)

!

był wiekszy od zera,

przy czym jeśli ∂x2f2(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli ∂x2f2(a) < 0 to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

(83)

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

Twierdzenie 354

Niech dana bedzie funkcja f : R, 2⊃ Df −→ R klasy C2w otoczeniu punktu a.

Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum funkcji f w punkcie a jest, zerowanie sie w tym punkcie wszystkich pochodnych cz, astkowych pierwszego, rzedu i to aby W = det,

2f

∂x2(a) ∂x ∂y2f (a)

2f

∂y ∂x(a) ∂y2f2(a)

!

był wiekszy od zera,

przy czym jeśli ∂x2f2(a) > 0 to w punkcie a jest minimum, jeśli ∂x2f2(a) < 0 to w punkcie a jest maksimum.

Jeżeli W < 0 to w punkcie a nie ma ekstremum.

Jeżeli W = 0 to w punkcie a może być ekstremum lub może go nie być.

(84)

FUNKCJA UWIKŁANA

Twierdzenie 355

Niech dana bedzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R, 2majaca ci, agłe pochodne, czastkowe pierwszego rz, edu.,

Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz ∂F

∂y(x0, y0) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu x0i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x , y (x )) = 0 ma pochodna,

y0= −Fx0 Fy0.

(85)

FUNKCJA UWIKŁANA

Twierdzenie 355

Niech dana bedzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R, 2majaca ci, agłe pochodne, czastkowe pierwszego rz, edu.,

Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz ∂F

∂y(x0, y0) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu x0i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x , y (x )) = 0 ma pochodna,

y0= −Fx0 Fy0.

(86)

FUNKCJA UWIKŁANA

Twierdzenie 355

Niech dana bedzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R, 2majaca ci, agłe pochodne, czastkowe pierwszego rz, edu.,

Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz ∂F

∂y(x0, y0) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu x0i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x , y (x )) = 0 ma pochodna,

y0= −Fx0 Fy0.

(87)

FUNKCJA UWIKŁANA

Twierdzenie 356

Niech dana bedzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R, 2majaca ci, agłe pochodne, czastkowe drugiego rz, edu.,

Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz ∂F

∂y(x0, y0) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu x0i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x , y (x )) = 0 ma druga, pochodna,

y00= −Fxx00(Fy0)2− 2Fxy00Fx0Fy0+ Fyy00(Fx0)2

(Fy0)3 .

(88)

FUNKCJA UWIKŁANA

Twierdzenie 356

Niech dana bedzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R, 2majaca ci, agłe pochodne, czastkowe drugiego rz, edu.,

Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz ∂F

∂y(x0, y0) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu x0i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x , y (x )) = 0 ma druga, pochodna,

y00= −Fxx00(Fy0)2− 2Fxy00Fx0Fy0+ Fyy00(Fx0)2

(Fy0)3 .

(89)

FUNKCJA UWIKŁANA

Twierdzenie 356

Niech dana bedzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R, 2majaca ci, agłe pochodne, czastkowe drugiego rz, edu.,

Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz ∂F

∂y(x0, y0) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu x0i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.

Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x , y (x )) = 0 ma druga, pochodna,

y00= −Fxx00(Fy0)2− 2Fxy00Fx0Fy0+ Fyy00(Fx0)2

(Fy0)3 .

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

Półstyczna (albo styczna) do tej krzywej jest nachylona do płaszczyzny O xy pod pewnym

Kilka uwag o sumach nieskończonych Literatura: Łojasiewicz, Stasica, Analiza formalna i funkcje analityczne.. Niech X będzie nieskończonym

(2).Ta własność jest najważniejsza, bo z niej wynika wiele pozostałych.. Jej dowód

Zastanów si¦, jak wygl¡da twierdzenie o arytmetyce granic, gdy s¡ one niewªa±ciwe.. Jego granica

Utrata zwi¸ azk´ ow fazowych (tzw. koherencji) zredukowanego opera- tora stanu w wyniku ewolucji uk ladu rozszerzonego jest nazywana dekoherencj¸

Pokazać, że wtedy całą przestrzeń można zapisać w postaci sumy mnogościowej dwu rozłącznych, gęstych i wypukłych

Udowodnić, że średnia arytmetyczna tych liczb jest równa n+1 r