Ondelettes et poids de Muckenhoupt par P I E R R E G I L L E S L E M A R I ´E - R I E U S S E T (Orsay)

Ondelettes et poids de Muckenhoupt

par

P I E R R E G I L L E S L E M A R I ´ E - R I E U S S E T (Orsay)

Abstract. We study, for a basis of H¨ olderian compactly supported wavelets, the boundedness and convergence of the associated projectors P

j

on the space L

^p

(dµ) for some p in ]1, ∞[ and some nonnegative Borel measure µ on R. We show that the convergence properties are related to the A

p

criterion of Muckenhoupt.

Introduction. Les bases d’ondelettes sont des bases orthonorm´ ees de L

²

(R, dx) mais elles sont ´egalement des bases inconditionnelles de nombreux espaces fonctionnels. Nous nous proposons d’´ etudier dans cet article les propri´ et´ es des bases d’ondelettes dans les espaces L

^p

(dµ).

Nous consid´ erons une base d’ondelettes h¨ old´ eriennes ` a support compact telles qu’en a construites I. Daubechies. En particulier, le projecteur or- thogonal P

j

de L

²

(R, dx) sur l’espace V

j

de l’analyse multi-r´ esolution sous- jacente v´ erifie que si f est continue ` a support compact alors P

j

f est encore continue ` a support compact; de plus, lorsque j tend vers ∞, P

j

f converge uniform´ ement vers f et reste, pour j ≥ 0, ` a support dans un compact fixe, de sorte que, pour toute mesure bor´ elienne positive µ sur R et tout p ∈ [1, ∞[

on a, pour f continue ` a support compact, lim

j→∞

R |P

j

f − f |

^p

dµ = 0.

Le but de cet article est de d´ emontrer le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 1. (a) Soit (V

j

)

_j∈Z

une analyse multi-r´ esolution d’I. Daube- chies (` a ondelettes h¨ old´ eriennes ` a support compact ), µ une mesure bor´ elienne positive sur R et p ∈ ]1, ∞[. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes : (A1) les P

j

sont continus sur L

^p

(dµ) et on a, pour tout f ∈ L

^p

(dµ),

j→∞

lim kf − P

j

f k

_L^p_(dµ)

= 0 et lim

j→−∞

kP

j

f k

_L^p_(dµ)

= 0 ; (A2) dµ = v(x)dx o` u v appartient ` a la classe A

p

de Muckenhoupt ; (A3) les ondelettes (ψ

j,k

) (j ∈ Z, k ∈ Z) forment une base incondition-

nelle de L

^p

(dµ).

1991 Mathematics Subject Classification: 42C15, 42B20.

Key words and phrases: singular integrals, wavelets, weighted Lebesgue spaces.

(b) Pour p = 1, les assertions suivantes sont ´ equivalentes : (B1) les op´ erateurs P

j

, j ∈ Z, sont ´equicontinus sur L

¹

(dµ);

(B2) dµ = v(x)dx o` u v appartient ` a la classe A

1

de Muckenhoupt.

Rappelons la d´ efinition des classes A

p

de Muckenhoupt . Un poids v(x) sur R (c’est-`a-dire une fonction localement int´egrable pour la mesure de Lebesgue et positive) appartient ` a la classe A

p

de Muckenhoupt (1 ≤ p < ∞) s’il existe une constante C ≥ 1 telle que pour tout intervalle I (de longueur

|I|) on ait (1.1) 1

|I|

 R

I

v dx



1/p

 R

I

v

^−1/(p−1)

dx



(p−1)/p

≤ C si p > 1 ,

(1.2) 1

|I|

R

I

v dx ≤ C ess inf

x∈I

v(x) si p = 1 .

Notation. Pour µ mesure bor´ elienne positive sur R, p ∈ [1, ∞[ et f bor´ elienne born´ ee ` a support compact on notera

|||f |||

_p,µ

=

 R

|f |

^p

dµ



1/p

,

|||f |||

_p,µ,∗

= sup n

 

R f g dx  

 : g continue ` a support compact, |||g|||

p,µ

≤ 1 o . On remarquera que |||f |||

p,µ,∗

< ∞ si et seulement si il existe h ∈ L

^p/(p−1)

(dµ) telle que les mesures f dx et hdµ soient ´ egales. Lorsque dµ = vdx, on notera |||f |||

p,v

et |||f |||

p,v,∗

au lieu de |||f |||

p,vdx

et |||f |||

p,vdx,∗

. On a alors, si p > 1,

|||f |||

p,v,∗

=  R

|f (x)|

^p/(p−1)

v(x)

^−1/(p−1)

dx 

(p−1)/p

et

|||f |||

_1,v,∗

= ess sup |f (x)|

|v(x)| . Par cons´ equent,

(1.3) v ∈ A

p

ssi sup

I

1

|I| |||χ

_I

|||

_p,v

|||χ

_I

|||

_p,v,∗

< ∞ (o` u χ

I

d´ esigne la fonction caract´ eristique de l’intervalle I).

Le th´ eor` eme 1 repose essentiellement sur le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 2. Soit (V

^j

)

_j∈Z

une analyse multi-r´ esolution d’I. Daubechies (` a ondelettes h¨ old´ eriennes ` a support compact ), µ une mesure bor´ elienne po- sitive sur R et p ∈ [1, ∞[. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes : (C1) C

1

= sup{|||P

0

f |||

p,µ

: f continue ` a support compact , |||f |||

p,µ

≤ 1}

< ∞;

(C2) C

2

= sup

_|I|=1

|||χ

_I

|||

_p,µ

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

< ∞.

De plus, C

2

se majore en fonction seulement de C

1

, de p et du choix de (V

j

)

_j∈Z

.

Le th´ eor` eme 2 peut se paraphraser de la mani` ere suivante :

Proposition 1. Soit (V

j

) une analyse multi-r´ esolution d’I. Daubechies (` a ondelettes h¨ old´ eriennes ` a support compact ), µ une mesure bor´ elienne po- sitive sur R et p ∈ [1, ∞[. Alors :

(i) P

j

est continu sur L

^p

(dµ) pour (au moins un) j ∈ Z si et seulement si on a pour (au moins un) R > 0,

sup

|I|=R

1

|I| |||χ

_I

|||

_p,µ

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

< ∞ ;

(ii) les P

j

sont continus sur L

^p

(dµ) et pour tout f ∈ L

^p

(dµ),

j→∞

lim |||P

_j

f − f |||

p,µ

= 0 si et seulement si on a pour (au moins un) R > 0,

sup

|I|≤R

1

|I| |||χ

I

|||

p,µ

|||χ

I

|||

p,µ,∗

< ∞ .

De plus, dans ce cas, la mesure µ est absolument continue par rapport ` a la mesure de Lebesgue : dµ = vdx avec v localement int´ egrable.

(iii) Les P

j

, j ∈ Z, sont ´equicontinus sur L

^p

(dµ) si et seulement si v ∈ A

p

, ou encore,

sup

I

1

|I| |||χ

_I

|||

_p,µ

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

< ∞ .

La proposition 1 introduit donc des crit` eres de Muckenhoupt ` a une

´

echelle (cas (i)) ou local ou aux petites ´ echelles (cas (ii)) en plus du crit` ere global (1.3). Le crit` ere local peut se r´ ev´ eler tr` es utile dans la mesure o` u dans de nombreux probl` emes on ne d´ ecompose pas les fonctions ` a toutes les

´

echelles (sur tous les W

j

) mais seulement sur les petites ´ echelles (sur V

j0

et sur les W

j

, j ≥ j

0

).

1. Rappels sur les ondelettes de Daubechies. Pour tout N ≥ 2, I. Daubechies a construit dans [1] une fonction ϕ qui v´ erifie :

(2.1) ϕ est de classe C

^αN

(o` u α > 0 ne d´ epend pas de N ), ` a valeurs r´ eelles et ` a support compact dans R;

(2.2) les ϕ(x − k), k ∈ Z, forment une famille orthonorm´ee de L

²

(R, dx);

(2.3) ϕ(x/2) = P

2N −1

k=0

a

k

ϕ(x − k) avec a

0

6= 0 et a

_{2N −1}

6= 0.

La fonction ϕ est alors la fonction d’´ echelle d’une analyse multi-r´ esolution (V

j

)

_j∈Z

au sens de S. Mallat [5]. Plus pr´ ecis´ ement, on d´ efinit :

(3.1) ϕ

j,k

(x) = 2

^j/2

ϕ(2

^j

x − k) (j ∈ Z, k ∈ Z);

(3.2) V

j

est le sous-espace ferm´ e de L

²

(R, dx) engendr´e par les ϕ

j,k

, k ∈ Z;

(3.3) P

j

f (x) = P

k∈Z

hf | ϕ

_j,k

iϕ

_j,k

(x).

P

j

est le projecteur orthogonal de L

²

(R, dx) sur V

j

(hf | gi d´ esigne le produit scalaire R

∞

−∞

f (x)g(x) dx dans L

²

(R, dx)). Dire que (V

j

)

_j∈Z

est une analyse multi-r´ esolution de fonction d’´ echelle ϕ, c’est par d´ efinition dire que (V

j

) v´ erifie :

(4.1) V

j

⊂ V

j+1

, T

j∈Z

V

j

= {0}, S

j∈Z

V

j

est dense dans L

²

(R, dx), (4.2) f (x) ∈ V

j

ssi f (2x) ∈ V

j+1

,

(4.3) les ϕ(x − k), k ∈ Z, forment une base orthonorm´ee de V

0

. A la fonction d’´ echelle ϕ est associ´ ee une ondelette ψ d´ efinie par

(5) ψ(x) =

2N −1

X

k=0

(−1)

^k

a

2N −1−k

ϕ(x − k) . On d´ efinit alors ´ egalement :

(6.1) ψ

j,k

(x) = 2

^j/2

ψ(2

^j

x − k);

(6.2) W

j

est le compl´ ementaire orthogonal de V

j

dans V

j+1

; (6.3) Q

j

f (x) = P

k∈Z

hf | ψ

_j,k

iψ

_j,k

.

Alors les ψ

j,k

, k ∈ Z, forment une base orthonorm´ee de W

^j

et Q

j

= P

j+1

−P

j

est le projecteur orthogonal de L

²

(R, dx) sur W

j

. En particulier, les ψ

j,k

(j ∈ Z, k ∈ Z) forment une base d’ondelettes de L

²

(R, dx), c’est-`a-dire une base orthonorm´ ee de L

²

(R, dx) engendr´ee `a partir d’une seule fonction ψ par les translations-dilatations dyadiques (6.1).

Les principales propri´ et´ es de ces bases d’ondelettes sont d´ ecrites dans le livre de Y. Meyer [6]. Celles que nous utiliserons plus particuli` erement sont les suivantes :

(7.1) P

k∈Z

ϕ(x − k) = 1;

(7.2) R ψ dx = 0;

(7.3) Supp ϕ = Supp ψ = [0, 2N − 1];

(7.4) si P λ

k

ϕ(x − k) est nulle sur un intervalle I et si |I ∩ Supp ϕ(x − k

0

)|

> 0, alors λ

k0

= 0.

Les propri´ et´ es (7.3) et (7.4) ont ´ et´ e d´ emontr´ ees r´ ecemment par G. Mal- gouyres [3], [4].

R e m a r q u e. De (7.1) on d´ eduit effectivement la propri´ et´ e, ´ evoqu´ ee dans l’introduction, que P

j

f tend vers f uniform´ ement lorsque f est continue

`

a support compact :

|P

_j

f (x) − f (x)| ≤ X

k∈Z

|ϕ(2

^j

x − k)| · |hf (y) | 2

^j

ϕ(2

^j

y − k)i − f (x)|

≤ X

k∈Z

|ϕ(2

^j

x − k)| ·   

R (f (y) − f (x))2

^j

ϕ(2

^j

y − k) dy   

≤ (2N − 1)

²

kϕk

²_∞

sup

|x−y|≤(2N −1)/2^j

|f (x) − f (y)| .

2. D´ emonstration du th´ eor` eme 2. Avant de d´ emontrer le th´ eor` eme 2, remarquons la propri´ et´ e suivante :

Lemme 1. On note

α

0

= sup

|I|=1

|||χ

I

|||

p,µ

|||χ

I

|||

p,µ,∗

et

α

1

= sup

k∈Z

|||ϕ(x − k)|||

_p,µ

|||ϕ(x − k)|||

_p,µ,∗

. (i) Si α

0

< ∞, il existe β

0

= 4α

²₀

tel que, pour tout x ∈ R,

1 β

0

|||χ

_[x,x+1]

|||

_p,µ

≤ |||χ

_[x+1,x+2]

|||

_p,µ

≤ β

₀

|||χ

_[x,x+1]

|||

_p,µ

.

(ii) Si α

1

< ∞, il existe β

1

= β

2

(ϕ)α

1

(o` u β

2

(ϕ) ne d´ epend que de ϕ) tel que, pour tout k ∈ Z,

1 β

1

|||ϕ(x − k)|||

p,µ

≤ |||ϕ(x − k − 1)|||

p,µ

≤ β

1

|||ϕ(x − k)|||

p,µ

.

(iii) α

0

< ∞ est ´ equivalent ` a α

1

< ∞ et α

0

ne se majore qu’en fonction de α

1

, p et ϕ (et de mˆ eme α

1

en fonction de α

0

, p et ϕ) :

α

0

≤ 4N

²

β

₁^{4N −2}

α

1

et α

1

≤ (2N − 1)

²

kϕk

²_∞

β

₀^{4N −4}

α

0

. D ´ e m o n s t r a t i o n. (i) En effet, on a

R χ

[x,x+1]

(t)χ

[x+1/2,x+3/2]

(t) dt = 1 2 et donc

|||χ

_[x,x+1]

|||

_p,µ

= 4|||χ

[x,x+1]

|||

_p,µ

R

χ

[x,x+1]

χ

[x+1/2,x+3/2]

dt

× R

χ

[x+1/2,x+3/2]

χ

_[x+1,x+2]

dt

≤ 4|||χ

_[x,x+1]

|||

_p,µ

|||χ

_[x,x+1]

|||

_p,µ,∗

|||χ

[x+1/2,x+3/2]

|||

_p,µ

× |||χ

[x+1/2,x+3/2]

|||

_p,µ,∗

|||χ

_[x+1,x+2]

|||

_p,µ

≤ 4α

²₀

|||χ

_[x+1,x+2]

|||

p,µ

et de mˆ eme |||χ

[x,x+1]

|||

_p,µ

≤ 4α

²₀

|||χ

_[x−1,x]

|||

_p,µ

.

(ii) D’apr` es (7.3), Supp ϕ(x)ϕ(x − 1) = [1, 2N − 1] et donc il existe h continue ` a support compact telle que

R h(x)ϕ(x)ϕ(x − 1) dx = 1 . On a alors

|||ϕ(x − k)|||

_p,µ

= |||ϕ(x − k)|||

p,µ

R h(x − k)ϕ(x − k)ϕ(x − k − 1) dx

≤ |||ϕ(x − k)|||

_p,µ

|||ϕ(x − k)|||

_p,µ,∗

|||h(x − k)ϕ(x − k − 1)|||

_p,µ

≤ α

₁

khk

_∞

|||ϕ(x − k − 1)|||

_p,µ

et de mˆ eme |||ϕ(x − k)|||

p,µ

≤ α

₁

khk

_∞

|||ϕ(x − k + 1)|||

_p,µ

. (iii) En effet, Supp ϕ(x − k) = [k, k + 2N − 1] et donc

|||ϕ(x − k)|||

p,µ

≤ kϕk

_∞

2N −2

X

p=0

|||χ

[k+p,k+p+1]

|||

p,µ

≤ (2N − 1)β

₀^{2N −2}

kϕk

_∞

|||χ

_[k,k+1]

|||

_p,µ

et

|||ϕ(x − k)|||

_p,µ,∗

≤ kϕk

_∞

2N −2

X

p=0

|||χ

[k+p,k+p+1]

|||

_p,µ,∗

≤ α

0

kϕk

_∞

2N −2

X

p=0

1

|||χ

[k+p,k+p+1]

|||

_p,µ

≤ α

₀

(2N − 1)β

^{2N −2}₀

kϕk

_∞

1

|||χ

_[k,k+1]

|||

_p,µ

, d’o` u α

1

≤ kϕk

²_∞

α

0

(2N − 1)

²

β

^{4N −4}₀

.

Inversement, si k ≤ x < k + 1, alors χ

[x,x+1]

(t) = χ

[x,x+1]

(t)

2N −2

X

p=−1

ϕ(t − k + p) et donc

|||χ

_[x,x+1]

|||

p,µ

≤

2N −2

X

p=−1

|||ϕ(t − k + p)|||

p,µ

≤ 2N β

₁^{2N −1}

|||ϕ(t − k − 1)|||

p,µ

et

|||χ

_[x,x+1]

|||

_p,µ,∗

≤ α

₁

2N −2

X

p=−1

1

|||ϕ(t − k + p)|||

_p,µ,∗

≤ 2N α

₁

β

₁^{2N −1}

1

|||ϕ(t − k − 1)|||

_p,µ

,

d’o` u α

0

≤ α

₁

4N

²

β

₁^{4N −2}

.

D´ emontrer le th´ eor` eme 2 revient alors ` a d´ emontrer le th´ eor` eme suivant : Th´ eor` eme 2bis. Pour p ∈ [1, ∞[ et C ≥ 1 on note K

C,p

l’ensemble des mesures bor´ eliennes positives µ sur R telles que :

(i) R |ϕ(x)|

^p

dµ(x) = 1;

(ii) pour toute fonction f continue ` a support compact ,

R |P

0

f |

^p

dµ ≤ C R

|f |

^p

dµ .

Alors K

C,p

, muni de la topologie de la convergence vague, est un compact m´ etrisable et

(8) sup

µ∈KC,p

sup

|||f |||p,µ=1

  

R f ϕ dx    < ∞ .

Pour d´ emontrer ce th´ eor` eme, nous allons recourir ` a une s´ erie de lemmes interm´ ediaires. Dans ce qui suit, le lettre C

⁰

d´ esignera diverses constantes d´ ependant de C, p et ϕ mais pas de µ.

Lemme 2. |||ϕ(x − k)|||

^p,µ

≤ C

^0|k|

pour tout k ∈ Z et toute µ ∈ K

^C,p

. En effet, on peut trouver une fonction h

0

continue ` a support compact telle que

R h

0

(x)ϕ(x)ϕ(x − p) dx = δ

1,p

(o` u δ

1,p

= 1 si p = 1, et 0 si p 6= 1). Cela provient du fait que si

2N −2

X

p=−2N +2

α

p

ϕ(x)ϕ(x − p) = 0 p.p.

alors P α

p

ϕ(x − p) est nulle p.p. sur un ouvert dense de [0, 2N − 1] (puisque Supp ϕ = [0, 2N −1] et donc que ϕ(x) 6= 0 sur un ouvert dense de ]0, 2N −1]) et donc P α

_p

ϕ(x − p) est nulle sur [0, 2N − 1]; par (7.4) on obtient que tous les α

p

sont nuls. Les formes lin´ eaires h → R hϕ(x)ϕ(x − p) dx (pour

−2N +2 ≤ p ≤ 2N −2) sont donc lin´ eairement ind´ ependantes sur l’espace des fonctions continues (nulles ` a l’infini) et un lemme classique assure l’existence de h

0

(qu’on peut supposer ` a support compact puisque seules ses valeurs sur [0, 2N − 1] interviennent). Mais alors on a

ϕ(x − k − 1) = P

0

(h

0

(x − k)ϕ(x − k)) et

ϕ(x + k + 1) = P

0

(h

0

(x + k + 1)ϕ(x + k)) , d’o` u

|||ϕ(x − k − 1)|||

_p,µ

≤ Ckh

₀

k

_∞

|||ϕ(x − k)|||

_p,µ

et de mˆ eme

|||ϕ(x + k + 1)|||

_p,µ

≤ Ckh

₀

k

_∞

|||ϕ(x + k)|||

_p,µ

.

Lemme 3. ∀µ ∈ K

C,p

, ∀n ∈ N, µ([−n, n]) ≤ C

⁰ⁿ

. Cela provient directement de (7.1) et du lemme 2 :

µ([−n, n]) = R

[−n,n]

  

X

k

ϕ(x − k)   

p

dµ

≤ 

ⁿ⁻¹

X

k=−n−2N +2

|||ϕ(x − k)|||

_p,µ



p

≤ 

ⁿ⁻¹

X

k=−n−2N +2

C

^0|k|



p

≤ C

^0np

 2

∞

X

k=0

1 C

^0k



p

≤ C

⁰⁰ⁿ

.

Lemme 4. K

C,p

est un compact m´ etrisable pour la topologie de la con- vergence vague.

La topologie de la convergence vague est d´ efinie sur l’espace des mesures bor´ eliennes par les semi-normes kµk

f

= | R f dµ| o` u f d´ ecrit l’espace des fonctions continues ` a support compact. On note B

n

la boule ferm´ ee de centre 0 et de rayon C

⁰ⁿ

(o` u C

⁰

est la constante du lemme 3) dans l’espace des mesures bor´ eliennes sur [−n, n]; B

n

muni de la topologie de la convergence vague est un compact m´ etrisable d’apr` es le th´ eor` eme de Banach–Alaoglu;

or K s’identifie ` a un ferm´ e de Q

n∈N

B

n

par l’application µ → (µ|

[−n,n]

)

_n∈N

. Le lemme est donc d´ emontr´ e.

Lemme 5. ∀µ ∈ K

C,p

, Supp µ = R.

En effet, consid´ erons un intervalle I born´ e tel que |I| > 0. Fixons k

0

∈ Z tel que |[k

⁰

, k

0

+ 2N − 1] ∩ I| > 0. Le mˆ eme argument que dans la d´ emonstration du lemme 2 montre qu’il existe h

I

continue ` a support com- pact telle que R h

_I

(x)χ

I

(x)ϕ(x − k) dx = δ

k,k0

(la mesure χ

I

(x)ϕ(x − k

0

)dx

´

etant lin´ eairement ind´ ependante, d’apr` es (7.4), des χ

I

ϕ(x − k)dx avec k 6=

k

0

). On a alors

|||ϕ(x − k

₀

)|||

p,µ

≤ Ckh

_I

k

_∞

µ(I)

^1/p

. Or la d´ emonstration du lemme 2 montre que

|||ϕ(x − k

0

)|||

p,µ

≥ C

^0−|k0|

> 0 et donc µ(I) > 0.

Lemme 6. On note K = {(ε

k

)

−2N +2≤k≤2N −2

: P |ε

_k

|

^p

= 1}. Alors

ε∈K

inf inf

µ∈KC,p

R

[0,2N −1]

  

2N −2

X

k=−2N +2

ε

k

ϕ(x − k)   

p

dµ(x) > 0 .

Remarquons d’abord que l’application F qui ` a (ε, µ) ∈ K × K

C,p

associe F (ε, µ) = R

[0,2N −1]

  

X

k

ε

k

ϕ(x − k)   

p

dµ

est continue : en effet, si (ε

n

, µ

n

) converge vers (ε, µ) (µ

n

convergeant vers µ au sens de la convergence vague) alors

2N −2

X

k=−2N +2

ε

k,n

ϕ(x − k) converge uniform´ ement vers

2N −2

X

k=−2N +2

ε

k

ϕ(x − k);

comme, d’apr` es le lemme 3, sup

_n

µ

n

([0, 2N − 1]) < ∞ il est clair que

n→∞

lim F (ε

n

, µ

n

) − F (ε, µ

n

) = 0;

par ailleurs F (ε, µ

n

) converge vers F (ε, µ). F est donc continue; comme K et K

C,p

sont compacts, la borne inf´ erieure de F sur K × K

C,p

est atteinte.

Il reste ` a montrer qu’elle est non nulle.

Supposons que F (ε, µ) soit nul; cela implique que χ

_{[0,2N −1]}

(x) 

^{2N −2}

X

k=−2N +2

ε

k

ϕ(x − k) 

soit nulle µ-presque partout; or la fonction P ε

_k

ϕ(x − k) est continue; si elle

´

etait non nulle en un point de ]0, 2N − 1[, elle serait non nulle sur un (petit) intervalle I autour de ce point; or d’apr` es le lemme 5, µ(I) > 0; on obtient donc que P ε

_k

ϕ(x − k) doit ˆ etre nulle sur [0, 2N − 1] et (7.4) entraˆıne alors que les ε

k

sont nuls pour −2N + 2 ≤ k ≤ 2N − 2; ce dernier r´ esultat est absurde puisque P ε

^p_k

= 1. F (ε, µ) est donc non nul. Le lemme 6 est alors d´ emontr´ e.

Le th´ eor` eme 2bis est alors imm´ ediat. Appelons α la borne inf´ erieure de F (ε, µ) sur K × K

C,p

. Alors on a

|hf | ϕi| ≤ 

^{2N −2}

X

k=−2N +2

|hf | ϕ(x − k)i|

^p



1/p

≤  1 α

R

[0,2N −1]

  

X hf | ϕ(x − k)iϕ(x − k)   

p

dµ



1/p

≤ α

^−1/p

|||P

0

f |||

p,µ

≤ Cα

^−1/p

|||f |||

p,µ

.

Le th´ eor` eme 2bis est donc d´ emontr´ e.

Nous pouvons maintenant d´ emontrer le th´ eor` eme 2. Supposons que C

1

= sup

|||f |||p,µ=1

|||P

₀

f |||

p,µ

< ∞ .

Remarquons qu’alors tous les |||ϕ(x − k)|||

p,µ

, k ∈ Z, sont non nuls (si µ est non nulle) : il suffit de reprendre les d´ emonstrations des lemmes 2 et 3 pour voir que si ϕ = 0 dans L

^p

(dµ) et si P

0

est continu sur L

^p

(dµ) alors tous les ϕ(x − k), k ∈ Z, sont nuls et pour finir µ est nulle. On remarque alors que µ

k

d´ efinie par

R f (x) dµ

k

= R

f (x − k) dµ

|||ϕ(x − k)|||

^p_p,µ

v´ erifie que µ

k

∈ K

_C1,p

et donc |||ϕ|||

p,µk,∗

≤ C

⁰

d’apr` es le th´ eor` eme 2bis; or

|||ϕ|||

_p,µk,∗

= |||ϕ(x − k)|||

p,µ

|||ϕ(x − k)|||

_p,µ,∗

. On utilise alors le lemme 1 pour conclure que

C

2

= sup

|I|=1

|||χ

_I

|||

_p,µ

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

est fini et se majore en fonction de C

1

, p et ϕ, mais ind´ ependamment de µ.

R´ eciproquement, si C

2

< ∞, alors C

3

= sup |||ϕ(x − k)|||

p,µ

×

|||ϕ(x − k)|||

_p,µ,∗

est fini (toujours d’apr` es le lemme 1). On a alors

|||P

0

f |||

p,µ

≤

2N −1

X

r=1

        

X

k∈Z

hf | ϕ(x − k(2N − 1) − r)i

× ϕ(x − k(2N − 1) − r)         

p,µ

≤

2N −1

X

r=1

 X

k∈Z

|hf | ϕ(x − k(2N − 1) − r)i|

^p

× |||ϕ(x − k(2N − 1) − r)|||

^p_p,µ



1/p

(car ϕ(x) et ϕ(x − k(2N − 1)) sont ` a supports disjoints) et donc

|||P

₀

f |||

p,µ

≤ (2N − 1)

^(p−1)/p

 X

k∈Z

|hf | ϕ(x − k)i|

^p

|||ϕ(x − k)|||

^p_p,µ



1/p

≤ (2N − 1)

^(p−1)/p

×  X

k∈Z

|||f χ

[k,k+2N −1]

|||

^p_p,µ

|||ϕ(x − k)|||

^p_p,µ,∗

|||ϕ(x − k)|||

^p_p,µ



1/p

≤ (2N − 1)

^(p−1)/p

C

3

(2N − 1)

^1/p

|||f |||

_p,µ

et donc C

1

≤ (2N − 1)C

₃

.

Le th´ eor` eme 2 est donc d´ emontr´ e.

3. D´ emonstration de la proposition 1. Commen¸ cons par noter pour R > 0, p ∈ [1, ∞] et µ mesure bor´ elienne positive

(9) α(R) = sup

|I|=R

1

|I| |||χ

_I

|||

_p,µ

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

. On a le r´ esultat simple suivant:

Lemme 7. Si R ≤ R

⁰

≤ 2R alors

¹₂

α(R) ≤ α(R

⁰

) ≤ 16α(R)

³

.

En effet, soit I = [x

0

− R/2, x

0

+ R/2] un intervalle de longueur R et I

⁰

= [x

0

− R

⁰

/2, x

0

+ R

⁰

/2]. Alors il est clair que |||χ

I

|||

_p,µ

≤ |||χ

_I0

|||

_p,µ

et que |||χ

I

|||

_p,µ,∗

≤ |||χ

_I⁰

|||

_p,µ,∗

, et donc

1

R |||χ

_I

|||

_p,µ

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

≤ R

⁰

R

1

R

⁰

|||χ

_I⁰

|||

_p,µ

|||χ

_I⁰

|||

_p,µ,∗

≤ 2α(R

⁰

) , d’o` u α(R) ≤ 2α(R

⁰

).

D´ ecomposons maintenant I

⁰

en I

1

∪ I

₂

avec

I

1

= [x

0

− R

⁰

/2, x

0

+ R − R

⁰

/2] et I

2

= [x

0

+ R

⁰

/2 − R, x

0

+ R

⁰

/2] . On a

|||χ

_I

|||

_p,µ

≤ |||χ

_I1

|||

_p,µ

+ |||χ

I2

|||

_p,µ

et

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

≤ |||χ

_I1

|||

_p,µ,∗

+ |||χ

I2

|||

_p,µ,∗

. Or

R

2 ≤ 3R − R

⁰

2 = |I

1

∩ I|

≤ |||χ

_I1

|||

_p,µ

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

≤ Rα(R)

|||χ

I1

|||

p,µ,∗

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

, d’o` u

|||χ

_I1

|||

_p,µ,∗

≤ 2α(R)|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

. On obtient de mˆ eme

|||χ

_I1

|||

_p,µ

≤ 2α(R)|||χ

_I

|||

_p,µ

, |||χ

_I2

|||

_p,µ

≤ 2α(R)|||χ

_I

|||

_p,µ

et

|||χ

_I2

|||

_p,µ,∗

≤ 2α(R)|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

, et en fin de compte

1

R

⁰

|||χ

_I0

|||

_p,µ

|||χ

_I0

|||

_p,µ,∗

≤ R

R

⁰

16α(R)

²

1

R |||χ

_I

|||

_p,µ

|||χ

_I

|||

_p,µ,∗

≤ 16α(R)

³

. Le lemme 7 est donc d´ emontr´ e.

Lemme 8. |||P

j

f |||

p,µ

≤ (2N − 1)

²

kϕk

²_∞

α((2N − 1)/2

^j

)|||f |||

p,µ

.

En effet, la d´ emonstration du th´ eor` eme 2 donne

|||P

j

f |||

p,µ

≤ (2N − 1)(sup

k∈Z

|||ϕ

j,k

|||

p,µ

|||ϕ

j,k

|||

p,µ,∗

)|||f |||

p,µ

. Or on a

|ϕ

j,k

(x)| ≤ 2

^j/2

kϕk

_∞

χ

_[k/2^j,(k+2N −1)/2^j]

(x) et donc

|||ϕ

j,k

|||

p,µ

|||ϕ

j,k

|||

p,µ,∗

≤ (2N − 1)α  2N − 1 2

^j

 kϕk

²_∞

.

De ce lemme 8 on tire les conclusions suivantes. Si les α(R) sont finis (crit` ere de Muckenhoupt ` a une ´ echelle), les projecteurs P

j

sont continus sur L

^p

(dµ) (et r´ eciproquement d’apr` es le th´ eor` eme 2). Si les α(R) restent born´ es quand R tend vers 0 (crit` ere de Muckenhoupt aux petites ´ echelles), les projecteurs P

j

sont ´ equicontinus pour j ≥ 0 (et r´ eciproquement, en appli- quant le th´ eor` eme 2 aux mesures µ

j

(x) d´ efinies par R f dµ

_j

= R f (2

^j

x) dµ).

De mˆ eme, les P

j

, j ∈ Z, sont ´equicontinus sur L

^p

(dµ) si et seulement si sup

_R

α(R) < ∞ (crit` ere de Muckenhoupt global).

De plus, si les P

j

sont ´ equicontinus sur L

^p

(dµ) pour j ≥ 0, comme P

j

f converge vers f dans L

^p

(dµ) pour f continue ` a support compact, on a lim

j→∞

|||P

_j

f − f |||

p,µ

= 0 pour tout f ∈ L

^p

(dµ). La r´ eciproque est

´

egalement vraie d’apr` es le th´ eor` eme de Banach–Steinhaus. De plus, si E est un bor´ elien born´ e tel que |E| = 0, alors P

j

(χ

E

) = 0 pour tout j et donc, si sup

_R≤1

α(R) < ∞, on a |||χ

E

|||

_p,µ

= 0 et donc µ(E) = 0, ce qui montre que µ est absolument continue par rapport ` a la mesure de Lebesgue.

La proposition 1 est donc d´ emontr´ ee. L’´ equivalence (B1)⇔(B2) du th´ eo- r` eme 1 a ´ et´ e ´ egalement d´ emontr´ ee. L’´ equivalence (A1)⇔(A2) est imm´ ediate : si (A1) est v´ erifi´ ee, alors les P

j

sont ´ equicontinus (par Banach–Steinhaus) et donc v ∈ A

p

; inversement, si v ∈ A

p

, les P

j

sont ´ equicontinus et pour tout f ∈ L

^p

(dµ), lim

j→∞

|||P

_j

f − f |||

p,µ

= 0. Il reste ` a v´ erifier que pour f ∈ D, D dense dans L

^p

(dµ), lim

j→−∞

|||P

j

f |||

p,µ

= 0. Consid´ erons le cas de f born´ ee ` a support dans [−M, M ]; alors on a

|P

_j

f (x)| ≤ X

k∈Z

2

^j

|hf | ϕ(2

^j

x − k)i| |ϕ(2

^j

x − k)|

≤ 2M kf k

_∞

kϕk

²_∞

× 2

^j

X

[k/2^j,(k+2N −1)/2^j]∩[−M,M ]6=∅

χ

[k/2^j,(k+2N −1)/2^j]

(x)

≤ 2M kf k

_∞

kϕk

²_∞

2

^j

(2N − 1)χ

[−M −(2N −1)/2^j,M +(2N −1)/2^j]

et donc

|||P

_j

f |||

p,µ

≤ C 2

^j

|||χ

[−M −(2N −1)/2^j,M +(2N −1)/2^j]

|||

_p,µ

≤ C

⁰

1

|||χ

[−M −(2N −1)/2^j,M +(2N −1)/2^j]

|||

_p,µ,∗

. Or on a dµ = vdx et

|||χ

[−M −(2N −1)/2^j,M +(2N −1)/2^j]

|||

_p,µ,∗

=

 R

[−M −(2N −1)/2^j,M +(2N −1)/2^j]

v

^−1/(p−1)

dx



(p−1)/p

et il suffit donc de v´ erifier que si v ∈ A

p

,

∞

R

−∞

v

^−1/(p−1)

dx = ∞ . Or



²

N +1

R

0

v

^−1/(p−1)

dx



(p−1)/p

=



²

N +1

R

0

v

^−1/(p−1)

dx



(p−1)/p

1 2

^N

R χ

[0,2^{N +1}]

χ

[2^N,2^{N +1}]

dx

≤ 1 2

^N



²

N +1

R

0

v

^−1/(p−1)

dx



(p−1)/p

× 

²

N +1

R

0

v dx 

1/p



²

N +1

R

2^N

v

^−1/(p−1)

dx 

(p−1)/p

≤ C 

²

N +1

R

2^N

v

^−1/(p−1)

dx 

(p−1)/p

et on voit que

N →∞

lim

2^{N +1}

R

0

v

^−1/(p−1)

dx = ∞ .

On a bien (A1)⇔(A2). Lorsque p = 1, (A1) n’est pas v´ erifi´ e pour v ∈ A

1

en g´ en´ eral : par exemple pour v = 1 on a R P

j

f dx = R f dx pour tout f ∈ L

¹

(dx) (car

R P

j

f dx = R X

hf | ϕ

_j,k

iϕ

_j,k

dx = X

hf | ϕ

_j,k

i2

^−j/2

= R

f (x) X

ϕ(2

^j

x − k) dx = R

f dx

par (7.1)) et donc si R f dx 6= 0 on ne peut avoir lim

j→−∞

|||P

_j

f |||

1,1

= 0.

4. Bases inconditionnelles et op´ erateurs de Calder´ on–Zygmund.

Nous allons montrer que les ondelettes (ψ

j,k

) forment une base incondition- nelle de L

^p

(vdx) lorsque v ∈ A

p

et 1 < p < ∞ (nous excluons le cas p = 1 car les espaces L

¹

(vdx) n’admettent pas de bases inconditionnelles). De mˆ eme, la famille (ϕ

j0,k

)

_k∈Z

∪ (ψ

_j,k

)

j≥j0,k∈Z

forme une base inconditionnelle de L

^p

(vdx) si et seulement si v satisfait le crit` ere local (ou aux petites

´

echelles) de Muckenhoupt.

Proposition 2. Soit (V

j

) une analyse multi-r´ esolution d’I. Daubechies (` a ondelettes h¨ old´ eriennes ` a support compact ), v une fonction de poids sur R (v ≥ 0 p.p., v localement int´ egrable) et p ∈ ]1, ∞[. Alors :

(i) Les assertions suivantes sont ´ equivalentes :

(D1) les ψ

j,k

, j ∈ Z, k ∈ Z, forment une base inconditionnelle de L

^p

(vdx);

(D2) la norme |||f |||

p,v

est ´ equivalente ` a la norme N

p,v

(f ) =

        

 X

j∈Z

X

k∈Z

|hf | ψ

_j,k

i|

²

χ

j,k

(x)

²



1/2

        

p,v

o` u χ

0

= χ

_[0,1]

et χ

j,k

(x) = 2

^j/2

χ(2

^j

x − k);

(D3) v ∈ A

p

.

(ii) Les assertions suivantes sont ´ equivalentes :

(E1) les (ϕ

j0,k

), k ∈ Z, et les (ψ

j,k

), j ≥ j

0

, k ∈ Z, forment une base inconditionnelle de L

^p

(vdx);

(E2) la norme |||f |||

p,v

est ´ equivalente ` a la norme M

p,v,j0

(f ) =  X

k∈Z

|hf | ϕ

_j0,k

i|

^p

|||ϕ

_j0,k

|||

^p_p,v



1/p

+         

 X

j≥j0

X

k

|hf | ψ

_j,k

i|

²

χ

j,k

(x)

²



1/2

        

p,v

; (E3) sup

_|I|≤1

|I|

⁻¹

|||χ

I

|||

p,v

|||χ

I

|||

p,v,∗

< ∞.

Rappelons qu’une suite (b

n

)

_n∈N

est une base inconditionnelle d’un espace de Banach B si :

(i) tout ´ el´ ement b de B s’´ ecrit b = lim

N →∞

P

N

k=0

β

k

(b)b

k

, la conver- gence ayant lieu dans B et les coefficients β

k

(b) ´ etant uniques;

(ii) il existe une constante C telle que

∀b ∈ B, ∀ε ∈ {−1, 1}

^N

,

X

n∈N

ε(n)β

n

(b)b

n

B

≤ Ckbk

B

.

Les familles (ε(n)β

n

(b)b

n

)

_n∈N

sont alors sommables dans B et les s´ eries sont commutativement convergentes, de sorte que la fa¸ con d’indexer la famille (b

n

) est indiff´ erente.

Si (b

n

)

_n∈N

est une base inconditionnelle de B et si A ⊂ N, l’op´erateur de somme partielle b → P

A

(b) = P

n∈A

β

n

(b)b

n

est continu et sa norme d’op´ erateur se majore ind´ ependamment de A, puisque 2P

A

(b) − b = P

n∈N

ε

A

(n)β

n

(b)b

n

avec ε

A

(n) = 1 si n ∈ A et ε

A

(n) = −1 si n 6∈ A.

On en conclut imm´ ediatement que (D2)⇒(D1), que (D1) implique que les op´ erateurs P

j

sont ´ equicontinus (car on a

P

j

f = X

l<j

X

k

hf | ψ

_l,k

iψ

_l,k

et donc P

j

est un op´ erateur de somme partielle) et donc que (D1)⇒(D3).

De mˆ eme (E2)⇒(E1) et (E1)⇒(E3).

On est donc ramen´ e ` a montrer (D3)⇒(D2) et (E3)⇒(E2). En fait, il suffit de montrer que v ∈ A

p

implique

(9)

        

 X

j∈Z

X

k∈Z

|hf | ψ

_j,k

i|

²

χ

j,k

(x)

²



1/2

        

p,v

≤ C

_p,v

|||f |||

_p,v

et, de mˆ eme, que sup

_|I|≤1

|I|

⁻¹

|||χ

I

|||

p,v

|||χ

I

|||

p,v,∗

< ∞ implique que

(10.1)  X

k∈Z

|hf | ϕ

_j0,k

i|

^p

|||ϕ

_j0,k

|||

^p_p,v



1/p

≤ C

_j0,p,v

|||f |||

_p,v

,

(10.2)         

 X

j≥j0

X

k∈Z

|hf | ψ

_j,k

i|

²

χ

j,k

(x)

²



1/2

        

p,v

≤ C

_j0,p,v

|||f |||

_p,v

.

Les in´ egalit´ es r´ eciproques s’obtiennent par dualit´ e, car h | i identifie le dual de L

^p

(vdx) ` a L

^p∗

(v

^∗

dx) avec p

^∗

= p/(p − 1) et v

^∗

= v

^−1/(p−1)

; de plus,

|||χ

_I

|||

_p,v

= |||χ

I

|||

_p∗,v^∗,∗

et |||χ

_I

|||

_p,v,∗

= |||χ

I

|||

_p,v

de sorte que (9) (ou (10)) est ´ egalement v´ erifi´ ee pour p

^∗

, v

^∗

, et donc

|||f |||

_p,v

= sup{|hf | gi| : g ∈ L

^p∗

(v

^∗

dx), |||g|||

p^∗,v^∗

≤ 1}

= sup n  

X

j,k

|hf | ψ

_j,k

ihψ

_j,k

| gi  

 : g ∈ L

^p∗

(v

^∗

dx), |||g|||

p^∗,v^∗

≤ 1 o

≤ sup n X

j,k

|hf | ψ

_j,k

i||hψ

_j,k

| gi| R

χ

²_j,k

dx : g ∈ L

^p∗

(v

^∗

dx), |||g|||

p^∗,v^∗

≤ 1 o

≤ sup n R  X

j,k

|hf | ψ

j,k

i|

²

χ

j,k

(x)

²



1/2

×  X

j,k

|hg | ψ

_j,k

i|

²

χ

j,k

(x)

²



1/2

dx : |||g|||

p^∗,v^∗

≤ 1 o

≤ N

_p,v

(f ) sup{N

p^∗,v^∗

(g) : |||g|||

p^∗,v^∗

≤ 1} ≤ C

_p∗,v^∗

N

p,v

(f )

(et de mˆ eme on contrˆ ole |||f |||

p,v

par M

p,v

(f ) grˆ ace ` a (10) appliqu´ ee ` a p

^∗

, v

^∗

).

On est donc ramen´ e ` a ´ etablir (9) et (10). (10.1) est imm´ ediat puisque

|hf | ϕ

_j0,k

i|

^p

≤ |||ϕ

_j0,k

|||

^p_p,v,∗

R

[k/2^j0,(k+2N −1)/2^j0]

|f |

^p

v dx

et qu’on a vu que sup

_k

|||ϕ

j0,k

|||

p,v

|||ϕ

j0,k

|||

p,v,∗

´ etait born´ e en fonction de sup

|I|≤1

1

|I| |||χ

_I

|||

_p,v

|||χ

_I

|||

_p,v,∗

.

Par ailleurs on note ω une fonction C

^∞

` a support dans [−1, 2] et valant sur [0, 1]. On va montrer que

(9bis) sup

ε

        

X

j

X

k

ε(j, k)hf | ψ

j,k

iω

j,k

       



p,v

≤ C

p,v

|||f |||

p,v

o` u ε ∈ {−1, 1}

^Z2

, ω

j,k

(x) = 2

^j/2

ω(2

^j

x − k) et v ∈ A

p

, et de mˆ eme,

(10bis) sup

ε

        

X

j≥j0

X

k

ε(j, k)hf | ψ

j,k

iω

j,k

       



p,v

≤ C

p,v

|||f |||

p,v

lorsque sup

_|I|≤1

|I|

⁻¹

|||χ

_I

|||

_p,v

|||χ

_I

|||

_p,v,∗

< ∞. Si on moyenne (9bis) sur tous les choix possibles de ε, on obtient, par l’in´ egalit´ e de Khintchine,

R

{−1,1}^Z2

  

X

j

X

k

ε(j, k)hf | ψ

j,k

iω

_j,k

(x)   

p

dε

≥ γ

_p

 X

j

X

k

|hf | ψ

_j,k

i|

²

ω

j,k

(x)

²



p/2

et donc γ

p

R  X

j

X

k

|hf | ψ

_j,k

i|

²

ω

j,k

(x)

²



p/2

v dx ≤ C

_p,v^p

|||f |||

^p_p,v

;

comme |ω

j,k

(x)| ≥ χ

j,k

(x), (9) se d´ eduit de (9bis) et de mˆ eme (10) se d´ eduit de (10bis).

On conclut alors grˆ ace ` a la th´ eorie des op´ erateurs de Calder´ on–Zygmund [7]. Si T est un op´ erateur lin´ eaire continu de L

²

(R, dx) dans L

²

(R, dx) tel que le noyau-distribution K(x, y) de T co¨ıncide en dehors de la diagonale x = y avec une fonction continue localement h¨ old´ erienne (d’exposant α > 0) telle que

(11.1) |K(x, y)| ≤ C

₁

1

|x − y| ,

(11.2) |K(x, y) − K(x + z, y)| + |K(x, y) − K(x, y + z)| ≤ C

₂

|z|

^α

|x − y|

^1+α

pour z <

¹₂

|x − y|,

(11.3) kT f k

₂

≤ C

₃

kf k

₂

et si v ∈ A

p

,

(11.4) ∀I 1

|I| |||χ

_I

|||

_p,v

|||χ

_I

|||

_p,v,∗

≤ C

₄

pour un p ∈ ]1, ∞[, alors on a

(11.5) |||T f |||

_p,v

≤ C

₅

|||f |||

_p,v

o` u C

5

ne d´ epend que de α, C

1

, C

2

, C

3

, C

4

et p.

(9bis) est alors imm´ ediat. On note T

ε

l’op´ erateur

f → X

ε

(j,k)

hf | ψ

_j,k

iω

_j,k

et K

ε

son noyau. En dehors de la diagonale, on a

K

ε

(x, y) = X

ε

_(j,k)

ψ

j,k

(y)ω

j,k

(x) et donc

|K

_ε

(x, y)| ≤ X

j

X

k

2

^j

|ψ(2

^j

y − k)| · |ω(2

^j

x − k)| .

Or ψ(2

^j

y − k) est non nul seulement si 2

^j

y − 2N + 1 < k < 2

^j

y et de mˆ eme ω(2

^j

x − k) est non nul seulement si 2

^j

x − 2 < k < 2

^j

x + 1; le produit est non nul seulement si −2 < 2

^j

(y − x) < 2N et donc 2

^j

|y − x| ≤ 2N . On a alors

|K

_ε

(x, y)| ≤ X

2^j|y−x|≤2N

2

^j

kψk

_∞

kωk

_∞

· 3 ≤ C

|x − y| . De mˆ eme on a

|K

ε

(x, y) − K

ε

(x, z + y)|

≤ X

j

X

k

2

^j

|ω(2

^j

x − k)| · |ψ(2

^j

y − k) − ψ(2

^j

(z + y) − k)| . Or ψ est h¨ old´ erienne d’exposant β > 0, de sorte qu’on a

|ψ(2

^j

y − k) − ψ(2

^j

(y + z) − k)| ≤ C2

^jβ

|z|

^β

.

La somme court ` a nouveau pour 2

^j

|y − x| ≤ 4N si |z| ≤

¹₂

|x − y| et on obtient

|K

_ε

(x, y) − K

ε

(x, y + z)| ≤ X

2^j|y−x|≤4N

2

^j

C2

^jβ

|z|

^β

kωk

_∞

· 3

≤ C

⁰

|z|

^β

|x − y|

^1+β

pour |z| <

¹₂

|x − y| .

On obtient de mˆ eme

|K

_ε

(x, y) − K

ε

(x + z, y)| ≤ C

⁰

|z|

^β

|x − y|

^1+β

pour |z| <

¹₂

|x − y| . Enfin, il suffit de v´ erifier que

X

j,k

λ

j,k

ω

j,k

2 2

≤ C X

j,k

|λ

_j,k

|

²

pour obtenir

kT

_ε

f k

²₂

≤ C X

j,k

|hf | ψ

_j,k

i|

²

≤ Ckf k

²₂

. Or cette in´ egalit´ e est ´ el´ ementaire (voir [2] par exemple).

Les T

ε

, ε ∈ {−1, 1}

^Z2

, v´ erifient donc (11.1) ` a (11.4) uniform´ ement;

ils sont donc ´ equicontinus sur L

^p

(vdx) lorsque v ∈ A

p

et (9bis) est donc d´ emontr´ e.

Pour d´ emontrer (10bis), posons S

ε

= T

ε

◦ (Id −P

j0

) : S

ε

f = X

j≥j0

X

k

ε(j, k)hf | ψ

j,k

iω

_j,k

.

Il est clair qu’` a nouveau les S

ε

, ε ∈ {−1, 1}

^Z2

, v´ erifient (11.1) ` a (11.4) uniform´ ement. De plus le noyau G

ε

(x, y) de S

ε

v´ erifie

G

ε

(x, y) = 0 si |x − y| ≥ 2N · (1/2)

^j0

.

Supposons maintenant que v satisfasse le crit` ere de Muckenhoupt aux petites ´ echelles :

sup

|I|≤1

1

|I| |||χ

_I

|||

_p,v

|||χ

_I

|||

_p,v,∗

< ∞ .

On consid` ere f ∈ L

^p

(vdx) et on pose f

k

= f χ

[k/2j0,(k+1)/2j0]

. On va montrer que

|||S

_ε

f

k

|||

_p,v

≤ C|||f

_k

|||

_p,v

o` u C est ind´ ependante de ε et de k. Comme Supp S

ε

f

k

⊂ [(k − 2N )/2

^j0

, (k + 2N + 1)/2

^j0

], on obtient alors :

|||S

_ε

f |||

p,v

≤

4N

X

r=0

        

X

k∈Z

S

ε

f

r+(4N +1)k

        

p,v

≤ (4N + 1)

^(p−1)/p

 X

k∈Z

|||S

_ε

f

k

|||

^p_p,v



1/p

≤ C(4N + 1)

^(p−1)/p

|||f |||

_p,v

et (10bis) sera d´ emontr´ e.

Pour estimer |||S

ε

f

k

|||

_p,v

on d´ efinit le poids v

k

par :

(i) v

k

= v sur  k − 2N

2

^j0

, k + 2N + 1 2

^j0

 , (ii) v

k

(x) = v



2 k + 2N + 1 2

^j0

− x



sur  k + 2N + 1

2

^j0

, k + 6N + 2 2

^j0

 , (iii) v

k

est ´ etendu en dehors de [(k − 2N )/2

^j0

, (k + 6N + 2)/2

^j0

] par p´ eriodicit´ e de p´ eriode (8N + 2)/2

^j0

.

Alors :

(j) |||S

ε

f

k

|||

_p,vk

= |||S

ε

f

k

|||

_p,v

et |||f

k

|||

_p,vk

= |||f

k

|||

_p,v

, (jj) sup

_k

sup

_I

|I|

⁻¹

|||χ

_I

|||

_p,vk

|||χ

_I

|||

_p,vk,∗

< ∞.

En effet, si |I| ≥ (8N + 2)/2

^j0

, alors si 2

^q

8N + 2

2

^j0

≤ |I| ≤ 2

^q+1

8N + 2 2

^j0

, on a

2

^q/p

|||χ

[0,(8N +2)/2^j0]

|||

_p,vk

≤ |||χ

_I

|||

_p,vk

≤ 2

^(q+1)/p

|||χ

[0,(8N +2)/2^j0]

|||

_p,vk

, 2

^q(p−1)/p

|||χ

[0,(8N +2)/2^j0]

|||

_p,vk,∗

≤ |||χ

_I

|||

_p,vk,∗

≤ 2

(q+1)(p−1)/p

|||χ

[0,(8N +2)/2j0]

|||

_p,vk,∗

et

|||χ

[0,(8N +2)/2j0]

|||

_p,vk

= 2

^1/p

|||χ

_{[(k−2N )/2j0},(k+2N +1)/2j0]

|||

_p,v

,

|||χ

[0,(8N +2)/2j0]

|||

_p,vk,∗

= 2

^(p−1)/p

|||χ

_{[(k−2N )/2j0},(k+2N +1)/2j0]

|||

_p,v,∗

et enfin, 1

|I| |||χ

_I

|||

_p,vk

|||χ

_I

|||

_p,vk,∗

≤ 2

^j0+2

8N + 2 |||χ

_{[(k−2N )/2j0},(k+2N +1)/2j0]

|||

_p,v

× |||χ

_{[(k−2N )/2j0},(k+2N +1)/2j0]

|||

_p,v,∗

≤ 2α  4N + 1 2

^j0

 .

Supposons maintenant |I| ≤ (8N + 2)/2

^j0

. Trois cas sont alors possi- bles :

(i) I est enti` erement contenu dans un translat´ e de

 k − 2N

2

^j0

, k + 2N + 1 2

^j0



ou  k + 2N + 1

2

^j0

, k + 6N + 2 2

^j0

 . Alors |I|

⁻¹

|||χ

_I

|||

_p,vk

|||χ

_I

|||

_p,vk,∗

se contrˆ ole imm´ ediatement par α(|I|).

(ii) I contient un translat´ e de

 k − 2N

2

^j0

, k + 2N + 1 2

^j0



ou  k + 2N + 1

2

^j0

, k + 6N + 2 2

^j0



.

Alors |I| ≥ (4N + 1)/2

^j0

tandis que

|||χ

_I

|||

_p,vk

≤ |||χ

[0,(8N +2)/2j0]

|||

_p,vk

et

|||χ

_I

|||

_p,vk,∗

≤ |||χ

[0,(8N +2)/2^j0]

|||

_p,vk,∗

. On obtient alors

1

|I| |||χ

_I

|||

_p,vk

|||χ

_I

|||

_p,vk,∗

≤ 2 1

|[0, (8N + 2)/2

^j0

]| |||χ

[0,(8N +2)/2^j0]

|||

p,vk

|||χ

[0,(8N +2)/2^j0]

|||

p,vk,∗

≤ 4α  4N + 1 2

^j0

 .

(iii) Dans le cas contraire, on a I = ˜ I ∪ ˜ I o` ˜ u ˜ I et ˜ I ont une extr´ ˜ emit´ e commune et sont contenus dans des translat´ es de

 k − 2N

2

^j0

, k + 2N + 1 2

^j0



et  k + 2N + 1

2

^j0

, k + 6N + 2 2

^j0

 . Si | ˜ I| ≥ | ˜ I|, on a ˜

|||χ

I˜˜

|||

_p,vk

≤ |||χ

I˜

|||

_p,vk

, |||χ

I˜˜

|||

_p,vk,∗

≤ |||χ

I˜

|||

_p,vk,∗

, et donc

1

|I| |||χ

_I

|||

_p,vk

|||χ

_I

|||

_p,vk,∗

≤ 2

|I| |||χ

_I˜

|||

_p,vk

|||χ

_I˜

|||

_p,vk,∗

≤ 4α(| ˜ I|) . Au total,

sup

I

1

|I| |||χ

I

|||

p,vk

|||χ

I

|||

p,vk,∗

≤ 4 sup

|I|≤(4N +1)/2j0

1

|I| |||χ

I

|||

p,v

|||χ

I

|||

p,v,∗

. Les v

k

sont donc uniform´ ement dans la classe A

p

et on a bien

|||S

_ε

f

k

|||

_p,vk

≤ C|||f |||

_p,vk

uniform´ ement par rapport ` a ε et ` a k.

La proposition 2 est donc d´ emontr´ ee.

Bibliographie

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[7] —, Ondelettes et op´ erateurs, tome II, Hermann, Paris, 1991.

UA CNRS 757

UNIVERSIT ´E DE PARIS-SUD MATH ´EMATIQUES

B ˆATIMENT 425

91405 ORSAY CEDEX, FRANCE

Received March 3, 1992 (2914)

Revised version July 6, 1993