Rachunek prawdopodobie«stwa (2mef, lato 2012/2013)
4. Prawdopodobie«stwo geometryczne
w. 4.1 We¹my pod uwag¦ ustawion¡ poziomo tarcz¦ koªow¡ z zamocowan¡ w jej ±rodku metalow¡ strzaªk¡, mog¡c¡ obraca¢ si¦ wokóª punktu zamocowania. Jakie jest praw- dopodobie«stwo, »e wprawiona w ruch strzaªka zatrzyma si¦ ostrzem wewn¡trz ªuku AB, je»eli dªugo±¢ tego ªuku jest równa 2r, gdzie r jest promieniem tarczy?
w. 4.2 Poci¡g pospieszny z miejscowo±ci X do Y przybywa na stacj¦ Z w czasie (0, t) zatrzymuj¡c si¦ w Z na a minut. Poci¡g osobowy z Y do X przybywa do Z niezale»- nie od poci¡gu pospiesznego w czasie (0, 2t) i zatrzymuje si¦ na b minut. Zakªadamy,
»e przybycie ka»dego z poci¡gów do Z w ka»dej chwili odpowiedniego przedziaªu czasowego jest jednakowo mo»liwe. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e:
(a) poci¡g pospieszny przyb¦dzie do Z nie pó¹niej ni» osobowy, (b) poci¡gi spotkaj¡ si¦ na stacji Z?
w. 4.3 Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo trzy punkty x, y, z. Jakie jest prawdopodo- bie«stwo, »e x + x + z < 1?
4. Prawdopodobie«stwo geometryczne - zadania domowe
Zad. 4.1 Wybieramy losowo punkt z odcinka [a, b]. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wy- brany punkt znajdzie si¦ w odlegªo±ci wi¦kszej ni» b−a4 od ko«ców odcinka.
Zad. 4.2 Z odcinka o dªugo±ci 1 wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodo- bie«stwo, »e ani jedna z otrzymanych w ten sposób cz¦±ci odcinka nie b¦dzie krótsza od a, gdzie 0 ≤ a ≤ 13?
Zad. 4.3 Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo, »e pierwiastki równania kwadratowego x2+ 2ax + b = 0 s¡ rzeczywiste, je±li wspóªczynniki mog¡ przyj¡¢ z jednakowym praw- dopodobie«stwem ka»d¡ z warto±ci w prostok¡cie −k ≤ a ≤ k, −l ≤ b ≤ l.
Zad. 4.4 Pewien lekarz przychodzi do gabinetu mi¦dzy 1200 a 1230 i pracuje przez póª godziny od momentu przyj±cia. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e pacjent, który przyjdzie do lekarza mi¦dzy 1215 a 1245 zostanie od razu przyj¦ty?
Zad. 4.5 Do portu w M pªyn¡ z daleka dwa statki X i Y . Pªyn¡ one z ró»nych stron i niezale»nie jeden od drugiego wpªyn¡ do portu w oznaczonym dniu, a ka»da pora doby jest dla ka»dego z nich jednakowo mo»liwa. Czas potrzebny na wyªadowanie i zaªadowanie statku X wynosi 1 godzina, statku Y 2 godziny. Obliczy¢ prawdopo- dobie«stwo, »e jeden ze statków b¦dzie musiaª czeka¢ na redzie, a» miejsce w porcie zwolni drugi z tych statków.
1
