ĆWICZENIE 1 DWÓJNIK

ĆWICZENIE 1

DWÓJNIK ŹRÓDŁOWY PRĄDU STAŁEGO

Cel ćwiczenia: sprawdzenie zasady równoważności dla dwójnika źródłowego (twierdzenie Thevenina, twierdzenie Nortona), sprawdzenie warunku dopasowania odbiornika do źródła.

1.1. Podstawy teoretyczne ćwiczenia

1.1.1. Określenie dwójnika

Dwójnik jest to dowolnie złożony układ elektryczny o wyróżnionych i wyprowadzonych na zewnątrz dwu zaciskach. Jego stan elektryczny albo stan pracy określają wartości napięcia U między wyróżnionymi końcówkami i natężenia prądu I w obwodzie zewnętrznym. Wartości te zależą od parametrów obwodu zewnętrznego, stanowiącego obciążenie dwójnika (rys.1.1.).

R R

U A

B D

I

E

Rys.1.1. Dwójnik z dołączonym obciążeniem

Granicznymi stanami pracy dwójnika są:

a) stan jałowy, gdy do końcówek dwójnika nie jest dołączone żadne obciążenie. W tym przypadku natężenie prądu I w obwodzie zewnętrznym jest równe zeru. Natomiast napięcie między końcówkami dwójnik Uo nazywane jest napięciem stanu jałowego dwójnika (rys. 1.2.a.).

b) stan zwarcia, gdy końcówki dwójnika są połączone bezrezystancyjnym przewodem.

W tym przypadku napięcie U między końcówkami dwójnika jest równe zeru. Natomiast prąd płynący między końcówkami dwójnika Iz nazywane jest prądem zwarcia dwójnika (rys. 1.2.b).

U₀ U=0

A A

B B

D D

I=0 I_Z

Rys. 1.2. Stan jałowy i stan zwarcia dwójnika

Jeżeli:

1. Napięcie dwójnika w stanie jałowym jest różne od zera (Uo ≠ 0), 2. Natężenie prądu dwójnika w stanie zwarcia jest różne od zera (Iz ≠ 0), to taki dwójnik jest określany jako dwójnik źródłowy.

Napięcie w stanie jałowym i natężenie prądu w stanie zwarcia całkowicie charakteryzują dwójnik źródłowy. Wielkości te nazywają się parametrami zewnętrznymi dwójnika. Parametry zewnętrzne można zmierzyć lub wyznaczyć analitycznie. Do wyznaczenia parametrów zewnętrznych na drodze analitycznej trzeba znać schemat obwodu stanowiącego dwójnik.

Dwójnik bezźródłowy jednoznacznie charakteryzuje jeden parametr – rezystancja.

1.1.2. Twierdzenie Thevenina

Twierdzenie Thevenina (jak i twierdzenie Nortona, omówione w punkcie następnym), wynika z zasady równoważności, która mówi, że dwa układy n zaciskowe są sobie równoważne, gdy ich zamiana nie powoduje zmiany wielkości zaciskowych (Uk , Ik) związanych z ich końcówkami.

Niech będzie dany liniowy dwójnik źródłowy z zaciskami A-B. Na zaciskach A-B wykonuje się dwa pomiary:

- idealnym woltomierzem (o rezystancji wewnętrznej równej ∞) pomiar napięcia Uo w stanie jałowym (rys. 1.3.a.),

- idealnym amperomierzem (o rezystancji wewnętrznej równej zeru) pomiar prądu Iz w stanie zwarcia (rys. 1.3.b.).

U =0₀ U₀

A A

B B

DŹ DŹ

Iz I=0

A V

RV= RA=0

Rys 1.3. Pomiar parametrów zewnętrznych dwójnika Twierdzenia Thevenina:

Każdy liniowy dwójnik źródłowy DŹ o napięciu źródłowym U_o i prądzie zwarcia I_z, od strony swych zacisków jest równoważny układowi zastępczemu złożonemu z szeregowego połączenia źródła napięcia Uo i rezystancji Rw określonej zależnością

z w o

I R =U .

U A

B I

DŹ U

U₀ R_W

A

Rys.1.4.Ilustracja twierdzenia Thevenina B

Twierdzenie Thevenina nosi również nazwę twierdzenia o zastępczym generatorze (źródle) napięcia.

Wnioski wynikające z twierdzenia Thevenina:

1. Jeżeli do zacisków danego liniowego dwójnika źródłowego (rys. 1.5), między którymi występuje napięcie stanu jałowego Uo , dołączyć gałąź bezźródłową o rezystancji Rob , to prąd w tej gałęzi jest określony zależnością (1.1).

ob w

o

R R I U

= + (1.1)

R_ob U

A

B I

DŹ U

U₀ RW

A

B I

Rys. 1.5. Dwójnik źródłowy obciążony rezystancją Rob

2. Jeżeli do zacisków danego liniowego dwójnika źródłowego (rys. 1.6.), między którymi występuje napięcie stanu jałowego Uo , dołączyć gałąź składającą się z szeregowego połączenia źródła napięciowego o wartości E i rezystancji Rob , to prąd w tej gałęzi jest określony ilorazem algebraicznej sumy napięć Uo oraz E, przez sumę rezystancji Rw i Rob .

ob w

o

R R

E I U

+

= ± (1.2)

gdzie znak + w liczniku dla układu z rysunku 1.6.a. , a znak minus dla układu z rysunku 1.6.b.

a) b)

E R_ob U

U₀ R_W

A

B I E

R_ob U

U₀ R_W

A

B I

Rys. 1.6. Dwójnik źródłowy obciążony gałęzią źródłową

1.1.3. Twierdzenie Nortona

Przekształcając równanie (1.1) do postaci:

w ob

o IR IR

U = + (1.3)

i dzieląc stronami przez Rw , otrzymujemy:

R I IR R U

w ob w

o = + (1.4)

Ponieważ _z

w

o I

U = jest prądem zwarcia dwójnika źródłowego, to wprowadzając R

oznaczenie _w

w w

ob I

R U R

IR = = , równanie (1.9) można zapisać w postaci:

I I

I_z = _w+ (1.5)

gdzie: Iw – prąd w rezystancji Rw (konduktancję

w

w R

G = 1 ) na zaciskach której występuje napięcie U,

I – prąd w rezystancji obciążenia Rob (konduktancję

ob

ob R

G = 1 ) na zaciskach której występuje napięcie U,

Równanie (1.5) opisuje układ równoległego połączenia źródła prądowego Iz i dwóch rezystancji Rw i Rob (konduktancji Gw i Gob) jak pokazano na rys. 1.7.

Układ ten jest równoważny układowi z rys. 1.5., dlatego twierdzenie Nortona można sformułować w sposób następujący:

I

I_Z U

A

B

Rys. 1.7. Układ równoległego połączenia źródła prądowego Iz i dwóch konduktancji Gw i Gob

(rezystancji Rw i Rob) Twierdzenie Nortona:

Każdy liniowy dwójnik źródłowy DŹ o napięciu źródłowym Uo i prądzie zwarcia Iz , od strony swych zacisków jest równoważny układowi zastępczemu złożonemu z równoległego połączenia źródła prądowego Iz i konduktancji Gw określonej zależnością

o z

w U

G = I .

Twierdzenie Nortona nosi również nazwę twierdzenia o zastępczym generatorze (źródle) prądu.

Wnioski:

1. Jeżeli do zacisków danego liniowego dwójnika źródłowego, o prądzie zwarcia Iz , dołączyć gałąź bezźródłową o konduktancji Gob, to napięcie na tej gałęzi jest określone ilorazem prądu Iz przez sumę konduktancji Gw i Gob .

ob w

z

G G U I

= + (1.6)

2. Jeżeli do zacisków danego liniowego dwójnika źródłowego (rys. 1.8) , o prądzie zwarcia Iz , dołączyć gałąź złożoną z równoległego połączenia źródła prądu o wartości Iz1 i konduktancji Gob , to napięcie na tej gałęzi jest określone ilorazem algebraicznej sumy prądów Iz oraz Iz1 , przez sumę konduktancji Gw i Gob.

ob w

z z

G G

I U I

+

= ± ¹ (1.7)

gdzie znak + w liczniku dla układu z rysunku 1.8.a. , a znak minus dla układu z rysunku 1.8.b.

a) b)

B B

I

IZ U

A

IZob

I

I_Z U

A

IZob

Rys. 1.8. Dwójnik źródłowy obciążony gałęzią źródłową

1.1.4. Warunek dopasowania

W układach elektrycznych, w procesie przekazywania mocy, zachodzi często potrzeba maksymalizacji mocy pobieranej przez odbiornik dołączony do dwójnika źródłowego.

Przez problem dopasowania energetycznego odbiornika do dwójnika źródłowego rozumiemy taki dobór parametrów odbiornika (przy ustalonych parametrach dwójnika źródłowego), dla których moc użyteczna odbiornika osiąga maksimum.

Dla obwodu z rys. 1.9, przy powyższym założeniu i zmianie rezystancji obciążenia od zera do nieskończoności, moc użyteczną Puż określa zależność:

( )

2 2 2

ob w

ob o

ob ob

uż R R

U R I R U G

P = = = + (1.8)

Rob

U U₀

R_W

A

B I

Rys. 1.9. Dwójnik źródłowy obciążony regulowaną rezystancją Rob.

Problem sprowadza się do znalezienia takiej wartości zmiennej rezystancji obciążenia, przy której funkcja (Puż = f (Rob) - zależność (1.8)) osiąga ekstremum. Ponieważ:

0

i 0 przy

0 oraz

0 ^{= =}

lim

≥

∞

→ uż

R ob

uż

uż P R P

P

ob

funkcja Puż = f (Rob) posiada co najmniej jedno maksimum.

W celu wyznaczenia warunków w których moc odbiornika jest największa, obliczana jest pochodna funkcji Puż = f (Rob).

( ) ( )

2 2 2 4

2

2 ( ) 2 ( )

ob w

ob w o ob

w

ob w ob ob

w o ob uż

R R

R U R

R R

R R R R

U R dR

dP

+

= − +

+

−

= + , (1.9)

Następnie wyznacza się wartość rezystancji odbiornika, przy której obliczona pochodna przyjmuje wartość zerową. Stąd:

Rob = Rw (1.10)

i jest to jedyne rozwiązanie dla Rob > 0.

Warunek (1.10) nazywany jest dopasowaniem odbiornika do źródła (dwójnika źródłowego). Wartość maksymalnej mocy użytecznej w warunkach dopasowania wynosi więc (po podstawieniu (1.10) do (1.8)):

w o

uż R

P U

4

2

max = . (1.11)

Oprócz mocy użytecznej odbiornika w układzie źródło – odbiornik, występuje również moc strat wewnątrz źródła Pw (na rezystancji wewnętrznej).

2 2

2

) ( _{w ob}

w o

w

w R R

U R I R

P = = + (1.12)

Zgodnie z zasadą Tellegena, całkowita moc źródła napięcia wynosi:

) ) (

) ( (

) (

) (

2 2

2 2

2 2

2

ob w

o ob

w ob w

o ob

ob w

o w

ob w

o uż

w

c R R

R U R R

R R U R R R U R R P U P

P + = +

= + + +

= + +

=

(1.13) Stosunek mocy użytecznej do mocy całkowitej źródła nosi nazwę sprawności η.

- dla schematu napięciowego dwójnika:

ob w

ob c

uż

R R

R P

P

= +

η = (1.14)

- dla schematu prądowego dwójnika:

ob w

ob c

uż

G G

G P

P

= +

η = (1.15)

W warunkach dopasowania, sprawność przyjmuje wartość:

5 ,

=0

= _w

ob R

ηR (1.16)

a moc całkowita źródła:

w z w o R

c R

G I R P U

w

ob 2 2

2

2 =

= = . (1.17)

1.2. Badania laboratoryjne

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI

Grupa Podgrupa Numer ćwiczenia 5

Lp. Nazwisko i imię Ocena Data wykonania

1. ćwiczenia

2. Podpis prowadzącego

3. zajęcia

4.

5.

Temat

1.2.1. Wykaz przyrządów

Tabela 1.0.

Oznaczenia Nazwa i typ elementu Dane Nr fabr. Uwagi

1 2 3 4 5

1.2.1. Pomiar parametrów dwójnika źródłowego

W układzie pomiarowym przedstawionym na rys. 1.10, wykonać pomiary napięcia Uo

(przełącznik P w położeniu 1) i prądu Iz (przełącznik P w położeniu 2), dla dwóch wartości rezystancji R3. Wyniki pomiarów wpisać do tabeli 1.1.

E1

R1 V

P 2 A 1 R₃₍₂₎ R₃₍₁₎

R₅

R₄ R₂ I₅

Rys. 1.10. Układ do pomiaru parametrów zewnętrznych badanego dwójnika (przełącznik P w położeniu 1 – pomiar Uo, przełącznik w położeniu 2 – pomiar Iz)

Tab. 1.1 E1 = ... [V]; I5 = ... [A]; R1 = ... [Ω]; R2 = ... [Ω];

R3(1) = ... [Ω]; R3(2) = ... [Ω]; R4 = ... [Ω]; R5 = ... [Ω];

Pomiary Obliczenia R3 Uo Iz Rw

(z pom.)

Gw (z pom.)

Uo (z oblicz.)

Iz (z oblicz.)

Rw (z oblicz.)

Gw (z oblicz.) Lp

.

Ω V A Ω S V A Ω S 1.

2.

...

Opracowanie wyników pomiarów:

• na podstawie wykonanych pomiarów obliczyć Rw i Gw , wyniki wpisać do tabeli 1.1.

• na podstawie danych wartości elementów tworzących badany dwójnik źródłowy z rys.

1.10, obliczyć parametry równoważnego dwójnika źródłowego (napięciowego i prądowego), wyniki obliczeń wpisać do tabeli 1.1.

1.2.2. Pomiar prądu w odbiorniku

W układzie pomiarowym przedstawionym na rys. 1.11 dokonać pomiaru prądu w odbiorniku (Rob) przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej.

Pomiaru dokonać dla dwóch wartości rezystancji R3. Wyniki pomiarów prądu wpisać do tabeli 1.2 i tabeli 1.3.

E1

R1 V

P 2 A 1 R₃₍₂₎ R₃₍₁₎

R₅

R₄ R₂

R_ob

Rys. 1.11. Układ do pomiaru prądu płynącego przez odbiornik (przełącznik P w położeniu 2) przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej

Tab. 1.2 E1 = ... V; I5 = ... A; R1 = ... Ω; R2 = ... Ω;

R3(1) = ... Ω; R4 = ... Ω; R5 = ... Ω;

Pomiary Obliczenia

Rob I(1) Gob U(1) Puż(1)

Lp.

Ω A S V W 1

... 2

Tab. 1.3 E1 = ... V; I5 = ... A; R1 = ... Ω; R2 = ... Ω;

R3(2) = ... Ω; R4 = ... Ω; R5 = ... Ω;

Pomiary Obliczenia

Rob I(2) Gob U(2) Puż(2)

Lp.

Ω A S V W 1

... 2

Opracowanie wyników pomiarów:

• na podstawie pomiaru prądu obliczyć napięcie U(1) i U(2) na rezystancji odbiornika Rob

i moc użyteczną Puż odbiornika, wyniki obliczonych wartości napięcia i mocy użytecznej wpisać do tabeli 1.2 i tabeli 1.3.

• w oparciu o wyniki pomiarów i obliczeń zamieszczonych w tabelach 1.2 i 1.3 (dla dwóch wartości rezystancji R3) wykonać wykresy następujących zależności:

- I= f (Rob), U = f (Rob) , Puż = f (Rob), - U = f(I)

1.2.3. Pomiar prądu płynącego w odbiorniku dla dwójnika równoważnego o schemacie napięciowym (dwójnik Thevenina)

W układzie pomiarowym przedstawionym na rys. 1.12 dokonać pomiaru prądu w odbiorniku (Rob) przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej.

Pomiaru dokonać dla dwóch dwójników równoważnych (odpowiadających wartościom rezystancji R3). Wyniki pomiarów prądu wpisać do tabel 1.4 i 1.5.

U0

RW

V P 2 A

1

Rob

Rys. 1.12. Układ do pomiaru prądu w odbiorniku (przełącznik P w położeniu 2) przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej

Tab. 1.4 Uo1 = ... V; Rw(1) = ... Ω;

Pomiary Obliczenia

Rob I(1) Gob U(1) Pc(1) Pw(1) Puż(1) η (1)

Lp.

Ω A S V W W W - 1

... 2

Tab. 1.5

Uo2 = ... V; Rw(2) = ... Ω;

Pomiary Obliczenia

Rob I(2) Gob U(2) Pc(2) Pw(2) Puż(2) η (2)

Lp.

Ω A S V W W W - 1

... 2

Opracowanie wyników pomiarów:

• na podstawie pomiaru prądu obliczyć napięcie na rezystancji odbiornika Rob , moc użyteczną Puż odbiornika, moc na rezystancji wewnętrznej Pw , moc całkowitą Pc i sprawność η układu; wyniki obliczonych wartości napięcia i mocy użytecznej wpisać do tabel 1.4 oraz 1.5., ponadto wykonać wykresy:

- I= f (Rob), U = f (Rob) , Puż = f (Rob), - U = f(I)

• porównać otrzymane wykresy z uzyskanymi w pkt. 1.2.2, opracować wnioski.

• w oparciu o wyniki pomiarów i obliczeń zamieszczonych w tabelach 1.4 i 1.5 wykonać wykresy następujących zależności:

- Pc = f (Rob), Pw = f(Rob) - η = f(Rob)

1.2.4. Pomiar prądu w odbiorniku dla dwójnika równoważnego o schemacie prądowym (dwójnik Nortona)

W układzie pomiarowym przedstawionym na rys. 1.13. dokonać pomiaru prądu w odbiorniku (Rob) przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej.

Pomiaru dokonać dla dwóch dwójników równoważnych (odpowiadających wartościom rezystancji R3). Wyniki pomiarów prądu wpisać do tabeli 1.6. i tabeli 1.7.

I_Z

V P 2 A

1

Rob

Gob

R_W

Rys. 1.13. Układ do pomiaru prądu płynącego przez odbiornik (przełącznik P w położeniu 2) przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej

Tab. 1.6 Iz1 = ... V; Gw(1) = ... Ω;

Pomiary Obliczenia

Rob I(1) Gob U(1) Pc(1) Pw(1) Puż(1) η (1)

Lp.

Ω A S V W W W - 1

... 2

Tab. 1.7 Iz2 = ... V; Gw(2) = ... Ω;

Pomiary Obliczenia

Rob I(2) Gob U(2) Pc(2) Pw(2) Puż(2) η (2)

Lp.

Ω A S V W W W - 1

... 2

Opracowanie wyników pomiarów:

• na podstawie pomiaru prądu obliczyć napięcie na rezystancji odbiornika Rob , moc użyteczną Puż odbiornika, moc na rezystancji wewnętrznej Pw , moc całkowitą Pc i sprawność η układu; wyniki obliczonych wartości napięcia i mocy użytecznej wpisać do tabel 1.6 i 1.7, ponadto wykonać wykresy:

- I= f (Rob), U = f (Rob) , Puż = f (Rob), - I= f (Gob), U = f (Gob) , Puż = f (Gob), - U = f(I)

• porównać otrzymane wykresy z uzyskanymi w pkt. 1.2.2 i w pkt. 1.2.3, opracować wnioski,

• w oparciu o wyniki pomiarów i obliczeń zamieszczonych w tabelach 1.6 i 1.7 wykonać wykresy następujących zależności:

- Pc = f (Rob), Pw = f(Rob) - η = f(Rob)

• porównać otrzymane wykresy z uzyskanymi w pkt. 1.2.3.

1.2.5. Opracowanie wniosków z ćwiczenia

Uzasadnić otrzymane wyniki pomiarów i obliczeń oraz sporządzone wykresy.

Porównać wyniki pomiarów z wynikami obliczeń. Opracować wnioski z wykonanego ćwiczenia.