Rozważ- my równanie różniczkowe cząstkowe liniowe, jednorodne rzędu pierwszego na zbiorze U ⊂ Rn tj

WYKŁAD II

2. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe

2.1. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe jednorodne rzędu I. Rozważ- my równanie różniczkowe cząstkowe liniowe, jednorodne rzędu pierwszego na zbiorze U ⊂ Rⁿ tj. równanie postaci:

(1)

n

X

i=1

a_i(x)∂u

∂x_i(x) = 0, gdzie ai są funkcjami ciągłymi na zbiorze U .

Niech

A(x) = [a₁(x), . . . , a_n(x)].

Wówczas równanie (1) można zapisać w postaci

hA(x), ∇u(x)i = 0 x ∈ U, gdzie h·, ·i jest standardowym iloczynem skalarnym w Rⁿ.

Uwaga 2.1. Warunek hA(x), ∇u(x)i = 0 oznacza, że pole A jest styczne do poziomic funkcji u. Zatem krzywe całkowe pola A leżą w poziomicach u.

Istotnie, niech χ : [a, b] → U , χ(t) = (x1(t), . . . , x_n(t)), t ∈ [a, b] będzie krzywą całkową pola A tzn.

˙

χ(t) = A(χ(t)) t ∈ [a, b].

Wówczas d

dt(u ◦ χ)(t) =

n

X

i=1

∂u

∂x_i(χ(t)) · x⁰_i(t) =

n

X

i=1

ai(χ(t))∂u

∂x_i(χ(t)) = 0.

Zatem funkcja u ◦ χ jest funkcja stałą.

Krzywą całkową pola A nazywamy charakterystyką równania (1). Układ

˙

χ(t) = A(χ(t)) nazywamy układem charakterystycznym równania (1).

Funkcję ϕ : D → R, D ⊂ U klasy C¹ spełniającą warunek ϕ ◦ χ = const

(stałą na charakterystyce) nazywamy całką pierwszą równania (1)

Uwaga 2.2. Z powyższych rozważań wynika, że całki pierwsze są rozwiąza- niami równia (1).

Niech φ : Rⁿ → Rⁿ⁻¹, φ = (ϕ1, ϕ₂, . . . , ϕ_n−1) będzie równaniem ogólnym opisującym krzywa całkowe pola A na zbiorze D, tzn.

φ(χ(t)) = const.

1

2

Wówczas każda współrzędna ϕi : Rⁿ → R, odwzorowania φ, jest całką pierwszą równania (1). Zatem dla funkcji

u = F ◦ φ, gdzie F : Rⁿ⁻¹ → R, F ∈ C¹(Rⁿ⁻¹) mamy

n

X

i=1

a_i(x)∂u

∂xi

(x) =

n

X

i=1

a_i(x)





n

X

j=1

∂F

∂ϕj

(φ(x))∂ϕ_j

∂xi

(x)



= 0 Zatem pokazaliśmy

Twierdzenie 2.3. Dla dowolnej funkcji F : Rⁿ⁻¹→ R, F ∈ C¹(Rⁿ⁻¹) funkcja u(x) = F (φ(x)), x ∈ D ⊂ Rⁿ

jest rozwiązaniem równania (1) dla x ∈ D ⊂ U , gdzie φ = (ϕ1, ϕ₂, . . . , ϕ_n−1) jest równaniem ogólnym opisującym krzywa całkowe pola A na zbiorze D.

W kolejnym kroku należy pokazać, że każde rozwiązanie równania (1) jest postaci u = F ◦ φ.

Niech zatem u będzie rozwiązaniem równania (1) na zbiorze D, φ : Rⁿ → Rⁿ⁻¹ równaniem ogólnym opisującym charakterystyki. Ponieważ u jest stała na charakterystyce φ⁻¹(y), y ∈ Rⁿ⁻¹ więc dla dowolnych x1, x₂ ∈ φ⁻¹(y)

u(x₁) = u(x₂).

Zatem dobrze określona jest funkcja F : Rⁿ⁻¹→ R F (y) = u(x),

gdzie x jest dowolnym elementem ze zbioru φ⁻¹(y). Wówczas (F ◦ φ)(x) = F (φ(x)) = F (y) = u(x).

Stąd i z twierdzenia 2.3

Twierdzenie 2.4. Funkcja u : Rⁿ → R jest rozwiązaniem równania (1) na zbio- rze D ⊂ Rⁿ wtedy i tylka wtedy gdy jest postaci

u = F ◦ φ,

gdzie φ : Rⁿ→ Rⁿ⁻¹równaniem ogólnym opisującym charakterystyki równania (1) na zborze D, zaś F : Rⁿ⁻¹ → R, jest dowolną funkcją klasy C¹.

Przykład 2.5. Rozważmy równanie y∂u

∂x − x∂u

∂y = 0

3

dla (x, y) ∈ R². Wówczas A = [y, −x]. Szukamy charakterystyk czyli krzywych całkowych χ(t) = (x(t), y(t)) pola A, wobec tego układ charakterystyczny rów- nania przyjmuje postać

( x⁰(t) = y(t) y⁰(t) = −x(t).

Stąd zależność

x²(t) + y²(t) = C, C ∈ R

opisuje charakterystyki równania. Zatem φ(x, y) = x²+y², (x, y) ∈ R². Na mocy twierdzenia 2.4 funkcja

u(x, y) = F (x²+ y²), F ∈ C¹(R) jest rozwiązaniam rozważanego równania na zbiorze D = R².

2.2. Problem Cauchy’ego dla równania różniczkowego cząstkowego liniowe- go jednorodnego rzędu I.

Niech S ⊂ U będzie n − 1 wymiarową hiperpowierzchnią. Niech ω : S → R będzie ustaloną funkcją klasy C¹na S. Warunkiem początkowym dla równania (1) nazywamy warunek

(2) u(x) = ω(x) dla x ∈ S

Zagadnienie polegające na wyznaczeniu rozwiązania równania (1) spełnia- jącego warunek (2) nazywamy problemem początkowym lub problemem Cau- chy’ego.

Twierdzenie 2.6. Niech x0 będzie takim punktem hiperpowierzchni S, że w pewnym otoczeniu punktu x0 charakterystyki nie są styczne do S. Wówczas istnieje otoczenie D ⊂ U punktu x0 w przestrzeni Rⁿ takie, że problem Cau- chy,ego

( P_n

i=1ai(x)_∂x^∂u

i = 0 dla x ∈ U u(x) = ω(x) dla x ∈ S ma dokładnie jedno rozwiązanie na zbiorze D.

Dowód. Niech φ : Rⁿ → Rⁿ⁻¹ będzie równaniem ogólnym charakterystyk.

Wówczas rzDφ = n − 1 oraz KerDφ jest zbiorem wektorów stycznych do pozimic φ. Rozważmy odwzorowanie φ|S : S → Rⁿ⁻¹. Niech Ux0 będzie otocze- niem punktu x0 takim, że charakterystyki przecinają S pod niezerowym kątem.

Wówczas

rzDφ_|S∪Ux0 = n − 1.

4

Stąd i z twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowań istnieją zbiory V ⊂ Rⁿ⁻¹, D ⊂ S ∪ Ux0 oraz odwzorowanie regularne

φ⁻¹_|S∪U

x0 : V → D.

Przyjmując

F = ω ◦ φ⁻¹_|S∪U

x0 : V → R oraz

u = F ◦ Φ

na mocy twierdzenia 2.3 otrzymujemy, że u jest rozwiązaniem równania (1) na zbiorze D. Ponadto

u_|S∪D = (F ◦ φ)_|S∪D = ω.

Niech teraz ˆu będzie innym rozwiązaniem równania (1) w otoczeniu D punktu x₀ spełniającym warunek (2). Wówczas

ˆ

u = ˆF (φ), F : Rˆ ⁿ⁻¹ → R, F ∈ Cˆ ¹(Rⁿ⁻¹).

Ustalmy x ∈ D. Niech ˆx = (φ⁻¹_|S∪D(φ(x))) ∈ S ( ˆx ∈ S jest punktem leżącym na tej samej charakterystyce co x). Wówczas

u(x) = ˆˆ F (φ(x)) = ˆF (φ(ˆx)) = ˆu(ˆx) = ω(ˆx) = u(x).

Zatem u jest jednoznaczne na D.