ANNALES
U N IV
ER SIT AT
ISMARIAE CURIE-SKŁODOWSKA LUBLIN
- POLONIAVOL. IV, 1 SECTIO A 1950
Z Seminarium Matematycznego I Wydz. Mat.-Przyr. U. M. C. S.
Kierownik: prof, dr Mieczysław Biernacki.
M. BIERNACKI,
H.
PIDEKet
C.R
YLL-N
ARDZE WSKI
Sur une inégalité entre des intégrales définiesO pewnej nierówności spełnionej przez całki określone
Dans l’
article„Uber
dasMaximum
des absolutenBetrages von
b b b
—— ff
gdx — -
——tvff dx •
Ig
dx“ (Mathematische
Zeitschrift,Bd. 39,b-aJ
(b—a) Ja Je
1935, pp. 215
—226)
G. Griiss a établile
théorème suivant:Si les fonctions
f(x) et g(x)sont
intégrables(au
sensde Riemann)
dansl’intervalle
(a,b)
et sil
’on
aç></(x)<
0 ety<g(x)<T
(<p,@,f, ysont
des constantes)dans
cetintervalle alors l’on
aen
posant:b b b
D(f,g)
=
^_-affgdx~^--!
ffdx-fgdxl’
inégalité|D(/,g)|<Vi(^-<p)(r-y),
dans laquelle la
constante1/4 ne peut être diminuée.
Le démonstration
de
G. Gr üss(qui s’
appuie sur l’inégalité de
Schwarz) etassez compliquée.
Nous allonsexposer une démon
stration
nouvelle de
cette proposition;cette
démonstrationsemble très naturelle,
elle conduit en outreimmédiatement
à la généralisationsuivante:
Théorème.
Soient
f(xi,...x,f)et
g(xj,...xn
) des fonctions inté
grables (au sens de Riemann) dansun
domaine ferméD
qui pos
sède
un „volume“
V. Supposonsque l’on
ait: a<f(xl,...xn
)<A etb<g(xt
,...xn
)<Bdans D. Dans
cesconditions
ona
l’inégalité:
2 M. Biernacki, H. Pidek et C. Ryll-Nardzewski
IpJ
fgdxl
... dxn —
yff
dxt
...dx„pj
gdxp.. dxJ<74U—a)(B—6).IV D D
D
IL
’
égalitéest
atteintelorsque D
étantpartagé en
deux domaines Dx et D2 chacun
de„volume
“ 1/2
V, on af
=a
dans Dl et f
= A dans D2
, tandis que g est égalesoit à b dans
Dt età
Bdans D2
, soità
Bdans
Dl
et àb
dansD
2.Ce
théorèmerésulte
immédiatement dulemme
suivant:Lemme.
Si a1...a„
et bl...bn sont
des nombresréels
quisatis
font aux
inégalités'a<a
t
<A,
b<bt<B
(/ =1,2... n),
alorsl’
on af
—
U—
a)(B — b)E
n
<
<(X
— à)(B — b)E
i-1 “i=l i = l
n
Les signe
d’égalité
ont lieulorsque E
des nombresa,
sont égaux àA et les a,
restantségaux
à a.Dans
ces conditions,si
bt
—b lorsque a,— A
etbi =
B lorsque a,=ale
signe d'égalité a lieu dans l’
inégalitéde
gauche,tandis que si
b,=b lorsque af — a
etb,
=B lorsque a,=A le signe d’
égalitéa lieu
dansl’
inégalitéde droite.
Il
suffit évidemmentde
démontrerl’
inégalité de droite, carl
’iné
galité de gauches’obtient
alorsen remplaçant
a, par—a,.
On voit aussiaisément que la fonction
a,, b,...&n) = J£ a,&, —ij^a,- £b
t i=i n
i=i j=ine change pas
lorsqueon ajoute à
tousles a, ou
àtous
btune
même quantité, onpeut donc
supposerque a
= 6= 0*/
étantune fonction
linéairede chaque
variableséparément, elle ne peut atteindre son
maximum que
lorsquea,
=0 ou
A et b, =0ou B. Cela
posé, on peutachever la démonstration des deux
manières suivantes:Sur une inégalité entre des intégrales définies 3
I
(H. Pidek).On
voitaisément que
l’on
a:nf
= (aj— a
2) (b
t—
b2)
+(fl! — a3) (b
x—
b3) +... + (a, —
a„)(b
{— b„)
+(1) + (a
2—
af)(b2—b
3)
+...+(a2
—an
)(b2—
&„) ++...
+
(a
n_!—an
)—b
n)
.En
effet, le coefficientde ak dans le membre
gauche de l’
égalitéest
égal ànbk
—^b,, i-itandis
que le
coefficientde
akdans la
i—ème ligne (/< k) du membre droit de
l’égalité
est égalà
—(b,
—bk)
etcelui dans
lak-ième
ligne est égal àV (bk—
b,) et l’
on abien
»=/:+!
£ (b
k —
b)—
^(bl—b
k)
= nbk
—^bl
.J=k+1 i = l i = l
Il
estclair que
lorsquele
maximum def
estatteint
tousles
termesdu
membre droitdu (1) doivent être égaux
à0 ou
à AB. Supposonsque
at
= A(i= 1,2,..., p) et a,=0(i= p+l,...,n).
Onvoit que lorsque
p=l, (n—1)
termes du membre droit de(1) sont
égauxAB, tandis que les
autres termess’annulent ;
lorsque p= 2, 2(n—
2) termessont
égaux à AB; dansle cas général
p(n—
p) termes sont égaux à AB.Or,
lafonction x
(n-
x) atteintsonmaximum
dansl’intervalle 0 < x
<npour
*=
donc si n est pair ilfaut
poser p= etsi
n est impair_ -J
il
faut poser p
——y
—; l’énoncé du
lemme en résulte de suite.h
b
II
(C.
Ryll-Nardzewski)En
supposanttoujoursquea,= A (i =
1,2,..p), a
t=
0(i=p+l,...,n)posons b, =
B<5(où <J,
=1ou
0(f= l,...,n). On a
alors:/(ap.,.,3,,,
b,,...b„) =
AB+ <5p)(l
—^)— ^Op+i+--- +
^n) j
•Il
estclair que si p
est fixe ladernière expression devient
la plus grande lorsque <3j=...=<5p
=1 et<5p+
,=
...=<5„
=0,
elle devient alorségale
àAB(1 .
n4
M. Biernacki, H. Pidek et C. Ryll-NardzewskiSupposons
maintenantque p varie;
l’expression p(l—
-) atteintson
’ "
Zî ZI | J
nmaximum
lorsque p — EC^)'ou p
=E( nous avons donc
bien:• /(a,...a
n
,b,... .
ce qui établit
le lemme.
Si
l’on fait tendre dans le lemme
nvers l’
infini on obtientim
médiatement,
par un passage àla limite, l’énoncé
du théorème.*)
Streszczenie.
G.
Grüss udowodnił
(Math.Zeitschrift,
39,1935, str.
215—
226), żejeśli
funkcjef(x) i g^x)
są całkowalne (wsensie Riemanna)
w prze dziale
(a, b) i spełniajątamże
nierówności q><f(x) < $, 7 <
g(x)<r tozachodzi nierówność:
1 b b b
b—
aJ j
fdx-jgdx— —
,a '‘ a a
przy czym
stała 1
/4
nie może byćzmniejszona.
Autorzy otrzymali
nowy dowod tego
twierdzeniaprostszy od
dowodu G.Griissa;
dowód ten pozwolił uogólnić twierdzeniena
przypadek funkcyjn
zmiennych.*) Cet article a été rédigé en 1945. En 1948 J. Karamata a publié un article („Iné
galités relatives aux quotients et à la différence de f f g et f1 J g“ Acad. Serbe Sci.
Publ. Inst. Math. 2, 131—145) dans lequel il généralise l’inégalité de G. Grüss. cf. Math.
Rew. 10, 1949, 435. Une autre démonstration simple du théorème de Grüss a été publiée par E. Landau (Mat. Zeit. 39, 742—44) et une généralisation par Knopp dans le même volume.
*
