Matematyka 1. EiTI PW 2020/21 - A.Pilitowska ZAKRES MATERIA LU
• Liczby zespolone.
Interpretacje geometryczne. Posta´c algebraiczna, trygonometryczna, wyk ladnicza. Pierwiastkowanie liczb ze- spolonych, wz´or Moivre’a.
• Funkcje wymierne i u lamki proste.
Metoda wsp´o lczynnik´ow nieoznaczonych.
• Logika.
Operatory logiczne, prawa rachunku zda´n, tautologie, posta´c normalna formu l logicznych. Dowody. Rachunek kwantyfikator´ow.
• Elementy teorii mnogo´sci.
Zbiory, antynomia Russella. Dzia lania na zbiorach. R´o˙zne rodzaje niesko´nczono´sci. Hipoteza continuum.
• Funkcje i relacje.
Relacja r´ownowa˙zno´sci, podzia ly zbioru. Relacje porza,dkuja,ce. Lemat Kuratowskiego - Zorna.
• Indukcja i rekurencja.
Zasada indukcji matematycznej jako metoda dowodzenia twierdze´n. Rekursja jako metoda definiowania obiekt´ow.
• Elementy kombinatoryki.
Permutacje i kombinacje. Rozk lad permutacji na cykle, parzysto´s´c permutacji. Najwa˙zniejsze to˙zsamo´sci kombi- natoryczne. Wsp´o lczynniki dwumianowe, tr´ojka,t Pascala. Problemy upakowania. Zasada szufladkowa Dirichleta.
• Elementarna teoria liczb.
Liczby pierwsze. Zasadnicze Twierdzenie Arytmetyki. Algorytm Euklidesa. Twierdzenie Wilsona i Ma le Twierdze- nie Fermata. Funkcja Eulera. Rozmieszczenie liczb pierwszych.
• Funkcje tworza,ce.
Problemy zliczania. Zasada dzia lania funkcji tworza,cych. Wyprowadzenie wzoru na liczby Catalana.
• Metody teorii graf´ow.
Podstawowe poje,cia. Problem most´ow kr´olewieckich. Grafy Eulera i Hamiltona. Grafy dwudzielne i pla- narne. Wz´or Eulera. Twierdzenie o czterech barwach i kolorowanie graf´ow. Skojarzenia i twierdzenie Halla o ma l˙ze´nstwach.
• Automaty sko´nczone.
Niesprzeczno´s´c, zupe lno´s´c. Twierdzenie Godla. Z lo˙zono´s´c algorytm´ow, zagadnienia P-NP. Automaty determin- istyczne i niedeterministyczne. Wyra˙zenia regularne. Model maszyny Turinga.
1
