lim a = a ⇔∀ ε > 0 ∃ n ∈ N ∀ n > n | a − a |< ε a → a

a+ε a a-ε

n0

Wykład 1

Granica ciągu

Definicja 1. Ciągiem nieskończonym nazywamy dowolną funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.

a : N → R a(n )=a_n np .: a_n=

√

a_n czytaj.: n-ty wyraz ciągu

Określenie: Prawie wszystkie wyrazy ciągu oznacza: wszystkie z wyjątkiem ich skończonej ilości.

Definicja 2. Liczbę rzeczywistą a nazywamy granicą ciągu ^an , jeżeli dla każdego dodatniego, dowolnie małego ε istnieje taka liczba ⁿ⁰ , ze wszystkie wyrazy o numerach większych od ⁿ⁰ spełniają nierówność |a_n−a|<ε _.

Zatem można obrazowo stwierdzić, iż liczba a jest granicą ciągu ^an , gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu leżą dowolnie blisko a (czyli w odległości mniejszej niż dowolnie małe ε).

Fakt ten zapisujemy symbolicznie:

n→+∞

lim a

=a

lub

a

→ a

lim

n→+∞

a

=a ⇔ ∀ ε>0 ∃ n

∈N ∀ n>n

| a

− a|<ε

Wniosek: Granica ciągu stałego jest równa wartości jego wyrazów.

Jeże li a_n=const =s to lim

n→+∞a_n=s

Definicja 3. Mówimy, że ciąg ^an ma granicę równą ^+∞ , jeżeli dla dowolnie dużej, dodatniej liczby M, istnieje taka liczba ⁿ⁰ , ze wszystkie wyrazy o numerach większych od ⁿ⁰ spełniają nierówność ^an>M .

Zatem można obrazowo stwierdzić, iż granicą ciągu ^an jest, ^+∞ , gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od dowolnie dużej liczby rzeczywistej M.

lim

n→+∞a_n=+∞⇔ ∀ M >0 ∃ ...

Wniosek lim

n→+∞n =+ ∞

Definicja 4. Mówimy, że ciąg ^an ma równą granicę ^−∞ ,

Twierdzenie1

Niech ^{n→+∞lim an=a n→+∞lim bn}=b a , b∈ R Wówczas 1) ^{n→+∞lim (an+bn)=a+b}

2) ^{n→+∞lim an⋅bn=ab}

3) ^n→+∞lim a_n b_n=a

b o ile b≠0

Spróbujemy rozszerzyć to twierdzenie na niektóre przypadki granic: „ ^+∞ ”oraz „ ^−∞ ” 1) Jeżeli ^{n→+∞lim an=+ ∞ i limn→+∞bn=b∈ R} to ^{n→+∞lim (an+bn})=. . .. .. . ..

2) Jeżeli ^{n→+∞lim an=−∞ i limn→+∞bn=b∈R} to ^{n→+∞lim (an+bn})=. . .. .. . ..

3) Jeżeli ^{n→+∞lim an=+ ∞ i limn→+∞bn=−∞} to ^{n→+∞lim (an+bn})=. . .. .. . ..

4)Jeżeli ^{n→+∞lim an=+ ∞ i limn→+∞bn}=b∈R i b>0 to lim

n→+∞a_nb_n=+∞

5) Jeżeli ^{n→+∞lim an=+ ∞ i limn→+∞bn=}b∈R i b<0 to lim

n →+∞a_nb_n=−∞

6) Jeżeli ^{n→+∞lim an=+ ∞ i limn→+∞bn=0 to limn →+∞anbn}=. .. .. .. . .. .. .

7) ^{n→+∞lim an}=a∈R zaś lim

n→+∞b_n=±∞ to lim

n→+∞

a_n b_n=0

8) lim

n→+∞a_n=0 i a_n>0 dla prawie wszystkich wyrazów a_n to lim

n→+∞

1 a_n=+ ∞

9) lim

n→+∞a_n=0 i a_n<0... to lim

n→+∞

1 a_n=−∞

10) ^{n→+∞lim an=+ ∞ i limn→+∞bn=−∞ to limn →+∞}

a_n

b_n=...

11) ^{n→+∞lim an=0 i limn→+∞bn=0 to limn →+∞}

a_n

b_n=...

Uwaga. Przytoczone twierdzenia można „skrótowo” zamieścić w tabelach, które ułatwią szybkie dotarcie do właściwej informacji:

Poniższa tabela zawiera informacje o granicy iloczynu ciągów w przypadku różnych wariantów granic jego czynników.

an a>0 a<0 0 - +

bn

b>0

ab ab 0 - +

b<0

ab ab 0 + -

0

0 0 0 ? ?

-

- + ? + -

+

+ - ? - +

Opracuj podobne tabele dla sumy i ilorazu ciągów Symbole nieoznaczone

[+∞− ∞^]

[

] [

] ^[

^]

^[

^{] [}

^]

Twierdzenie 2 lim

n→+∞

√na=1 a∈ R₊

lim

n→+∞

√nⁿ⁼¹

Twierdzenie 3 (o trzech ciągach)

Dane są ciągi: ^an,bn,cn takie, że ^an≤bn≤cn oraz ^{n→+∞lim an=n→+∞lim cn=g}

Wówczas ^{n→+∞lim bn=g} Przykład:

Definicja 5. Ciąg ^an nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli ^{∀n∈N an+1>an} Ciąg ^an nazywamy ciągiem słabo rosnącym, jeżeli ^{∀n∈N an+1≥an}

Określenie. Ciągi: rosnące, słabo rosnące, malejące, słabo malejące określamy jako ciągi monotoniczne.

Definicja 6. Ciąg ^an nazywamy ciągiem ograniczonym od góry, jeżeli spełnia warunek

∃ M∈R ∀ n∈N a_n≤M Definicja 7

Określenie

Twierdzenie 4 (o granicy ciągu monotonicznego)

Jeżeli ciąg rosnący ^an jest ograniczony z góry, to posiada granicę skończoną.

Jeśli zaś jest nieograniczony, to zmierza do ^+∞ .

Liczba Eulera

Rozważmy ciąg: x_n=

(

)

Można udowodnić, że jest to ciąg rosnący i ograniczony, zatem na mocy tw.4 posiada granicę. Jest nią jednak liczba niewymierna (stąd oznaczenie za pomocą litery e) co również można/należałoby udowodnić.(Dowody można znaleźć np. w podręczniku Fichtenholza)

lim

n→+∞

(

)

e=2,718281828459045....

Twierdzenie 5.

Jeżeli lim

n→+∞a_n=±∞ to lim

n→+∞

(

)

Opracowanie dr Elżbieta Badach Na podstawie:

Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy PWN Warszawa 1985