1. Rachunek zdań
Ćw. 1.1 Zanotuj używając symboli ∼, ∧, ∨, =⇒, ⇐⇒:
1. negację alternatywy zdań p i q,
2. koniunkcję negacji zdania p i zdania q,
3. równoważność zbudowaną z alternatywy zdań p oraz q oraz koniunkcji negacji tych zdań,
4. implikację, której poprzednikiem jest koniunkcja zdań p i q, a następnikiem negacja zdania p,
5. alternatywę, której jednym członem jest koniunkcja zdań p i q, drugim członem jest negacja zdania p, a trzecim negacja zdania q.
Ćw. 1.2 Oblicz v(z) dla podanego wartościowania zdań prostych:
1. z = (p ∧ q) ∨ (q ∧ (p ∨ q)), v(p) = 0, v(q) = 1;
2. z = p ⇒ (p ⇒ (p ⇒ q)), v(p) = 1, v(q) = 0;
3. z = ((p ∨ (∼ p)) ∧ (q ∨ (∼ q))) ⇒ ((∼ p) ∨ (∼ q)), v(p) = 1, v(q) = 0;
4. z = ((∼ (∼ p)) ∧ (∼ (∼ (∼ q))) ∨ (∼ (∼ (∼ (∼ r)))), v(p) = 1, v(q) = 0, v(r) = 1.
Ćw. 1.3 Dany jest pewien konkretny wielokąt oraz zdania:
p = wielokąt jest foremny,
q = wszystkie boki wielokąta są równej długości, r = wszystkie kąty wielokąta są równe.
Zapisz przy użyciu powyższych oznaczeń i symboli logicznych zdania:
1. Wszystkie boki wielokąta są równej długości i wszystkie jego kąty są równe.
2. Jeśli wielokąt jest foremny, to ma boki równej długości.
3. Wielokąt jest foremny wtedy i tylko wtedy, gdy ma wszystkie boki równej dłu- gości i wszystkie jego kąty są równe.
4. Wielokąt jest foremny i nie wszystkie jego boki są równej długości.
5. Jeśli nie wszystkie boki wielokąta są równej długości lub nie wszystkie kąty są równe, to wielokąt nie jest foremny.
Ćw. 1.4 Dana jest pewna konkretna liczba oraz zdania:
p = liczba jest pierwsza, q = liczba jest parzysta, r = liczba jest równa 2.
1
Odczytaj zdania zapisane poniżej z użyciem symboli logicznych:
1. p ∧ q, 2. q∨ ∼ r, 3. p ∧ q ⇒ r, 4. p∧ ∼ r ⇒ q, 5. p∧ ∼ q ⇔ p∧ ∼ r, 6. [(p ⇒∼ q) ∧ q] ⇒∼ p.
Ćw. 1.5 Oznaczmy literami p i q następujące zdania:
p = każdy prostokąt jest równoległobokiem, q = każdy równoległobok jest prostokątem.
Odczytaj i oceń wartość logiczną zdań:
p∧ q, p ∨ q, ∼ p, ∼ q, p ⇒ q, q ⇒ p, ∼ p ⇒ q, p ⇔∼ q, ∼ (p ⇒ q), p ∧ q ⇒∼ (p ∨ q).
Ćw. 1.6 Załóżmy, że ktoś stwierdza: „Kocham Barbarę lub Joannę” oraz „Jeśli kocham Barbarę, to kocham Joannę”. Czy wynika z tego, ze kocha Joannę?
Ćw. 1.7 Matka, będąca z zawodu logikiem, powiedziała swemu synowi: „Jeśli nie dokoń- czysz kolacji, nie będziesz mógł oglądać dłużej telewizji dziś wieczorem”. Syn zjadł kolację, ale wtedy został natychmiast wysłany do łóżka. Przedyskutuj tę sytuację.
Ćw. 1.8 Wykaż, że następujące zdania są logicznie równoważne:
1. (p ∨ q) ∧ r i (p ∧ r) ∨ (q ∧ r), 2. (p ∧ q) ∨ r i (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), 3. (p ∧ q) ⇒ r i p ⇒ (q ⇒ r).
Ćw. 1.9 Sprawdź, czy następujące wyrażenia są tautologiami:
1. (p ∨ q) ∧ (∼ p∧ ∼ q), 2. (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p), 3. (p ⇒ q) ∧ (p ⇒∼ q),
4. ((p ∧ q) ∨ (q ∧ r)) ⇒∼ (p ∧ r), 5. [(p ∨ q) ∧ (p ⇒ q)] ⇒ (q ⇒ p), 6. p ∨ [(∼ p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)], 7. [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ (p ∨ q), 8. (p ∧ q ⇒ r) ⇒ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)].
2
Ćw. 1.10 Zapisz zaprzeczenia podanych niżej zdań na co najmniej dwa sposoby.
1. Liczba 15 jest nieparzysta i jest liczbą pierwszą.
2. Kwadrat jest równoległobokiem lub trapezem.
3. Funkcja y = |x| jest ciągła i różniczkowalna.
4. Jeśli trójkąt o bokach a, b, c jest prostokątny, to a2+ b2 = c2. 5. Jeśli funkcja jest ciągła, to jest różniczkowalna i rosnąca.
6. Jeśli funkcja liniowa ma współczynnik kierunkowy ujemny, to jest rosnąca lub stała.
Ćw. 1.11 Weźmy pod uwagę zbiór studentów naszego wydziału oraz zbiór klubów w To- runiu. Niech p(x, y) oznacza formę zdaniową student x bywa w klubie y. Poniższe zdania wypowiedz w języku potocznym. Jakie implikacje zachodzą między nimi?
a) ∀x∃y p(x, y), b) ∃x∀y p(x, y), c) ∃y∀x p(x, y), d) ∀y∃x p(x, y), e) ∀x∀y p(x, y), f) ∃x∃y p(x, y).
Ćw. 1.12 Podane poniżej funkcje zdaniowe zapisz symbolicznie, używając kwantyfikato- rów, symboli logicznych, symboli działań arytmetycznych, nierówności i podzielności.
1. x jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych.
2. x jest liczbą pierwszą.
3. x z dzielenia przez 4 daje resztę 1 lub 2.
4. Każda liczba z dzielenia przez 2 daje resztę 0 lub 1.
5. Nie istnieje największa liczba naturalna.
6. Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
7. f jest funkcją malejącą.
8. Ciąg {an} przyjmuje wartości dodatnie.
Ćw. 1.13 Podaj zaprzeczenia poniższych zdań na co najmniej dwa sposoby.
1. Każdy kwadrat jest rombem.
2. Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła.
3. Istnieje trójkąt równoramienny, który jest prostokątny lub rozwartokątny.
4. Istnieje czworokąt, którego nie można wpisać w okrąg.
5. Istnieje liczba naturalna mniejsza od wszystkich pozostałych.
6. Każda liczba naturalna ma przynajmniej jeden dzielnik, który jest liczbą pierw- szą.
3
Ćw. 1.14 W oparciu o rysunek oceń prawdziwość zdań. Dla zdań fałszywych napisz ich zaprzeczenia.
1. Istnieje co najmniej jeden biały trójkąt.
2. Istnieje co najwyżej jeden biały trójkąt.
3. Istnieją co najmniej dwa białe trójkąty.
4. Istnieje dokładnie jeden czworokąt.
5. Każdy czworokąt jest czarny.
6. Wśród białych figur nie ma czworokątów.
7. Jeśli figura jest biała, to jest trójkątem.
8. Jeśli figura jest czworokątem, to jest czarna.
9. Każda figura jest biała lub jest wielokątem.
10. Nie istnieje biały czworokąt.
11. Każde koło jest białe i każdy czworokąt jest czarny.
4
