Bajery
1. Wykaż, że pole 14-kata wypukłego o wierzchołkach w punktach kratowych jest nie mniej-, sze niż 10.
2. Dana jest prosta y = 0. Rysujemy okregi o środkach w punktach (0,, 12) i (1,12) i promie- niach 12. Nastepnie w każdym kolejnym kroku rysujemy wszystkie okr, egi styczne zewn, etrznie, do dwóch sasiednich okr, egów i do prostej. Wykaż, że w ten sposób uzyskamy w każdej liczbie, wymiernej z przedziału [0, 1] okrag styczny.,
3. Wyznacz najwieksz, a możliw, a wartość wyrażenia, xq(1 − y2) + yq(1 − x2) dla x, y ∈ [−1, 1].
4. Udowodnij, że dla liczb dodatnich a, b, c, a > c, b > c, zachodzi nierówność c
a +c
b ¬r1 + c a
(1 + c b
+r1 − c a
(1 − c b
¬ 2.
5. Rozwi aż w liczbach rzeczywistych x, y, z ∈ R nast, epuj, acy układ równań:,
y = x2y + 2x z = y2z + 2y x = z2x + 2z.
6. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbe rozwi, azań (x, 1, x2, . . . , xn) układu równań:
x2+ x21 = 4x1 x3+ x22 = 4x2 x4+ x23 = 4x3 ...
xn+ x2n−1 = 4xn−1 x1+ x2n= 4xn.
w liczbach rzeczywistych nieujemnych.
7. Wykaż, że dla αi ∈ R zachodzi Pni=1√
1 − cos αi
r
1 − cos Pni=1αi).
8. Znajdź najmniejsza wartość wyrażenia, Pni=1qai2+ (2i − 1)2 dla a1, a2, . . . , an takich, że
Pn
i=1= n.
9. Rozstrzygnij, czy w zbiorze liczb postaci 2x2+10x+13, gdzie x ∈ N istnieje nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych.
10. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele trójkatów prostok, atnych o bokach całkowitych, takich, że długości przyprostokatnych przystaj, a do 1002 i 1003 modulo 2004.,
1
