Wykresy funkcji rysujemy w układzie współrzędnych

Temat: Wykres funkcji

Jednym ze znanych ci sposobów opisywania funkcji jest jej wykres, czyli zbiór punktów postaci (x,y). Wykresy funkcji rysujemy w układzie współrzędnych. Jednak czy każdy zbiór punktów w układzie współrzędnych jest wykresem pewnej funkcji? Oczywiście, że nie.

Przykład1. Poniżej przedstawione są zbiory punktów, które nie są wykresami funkcji. Zastanówmy się dlaczego.

a) b) c)

Rysunek a) nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ iksowi 2 przyporządkowane są dwa igreki: 1 oraz 4.

Rysunek b) nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ iksowi 3 przyporządkowane są trzy igreki: -3, 1, 4.

Rysunek c) nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ iksowi -2 przyporządkowano nieskończenie wiele różnych liczb rzeczywistych.

Przykład2. Poniżej naszkicowane są wykresu różnych funkcji

a) b) c)

W każdym przypadku zawsze każdemu iksowi jest przyporządkowany dokładnie jeden igrek (na rys. b) iksowi -2

przyporządkowany jest igrek równy 4 – bo tam jest kropka pełna; kropka pusta mówi ze tego punktu nie ma na wykresie, tylko jego „sąsiad”)

Wykres w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji, jeśli każda prosta równoległa do osi OY ma z danym wykresem nie więcej niż jeden punkt wspólny.

Zad. 8.205

Dziedziną funkcji jest zbiór X={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}. Każdej liczbie należącej do tego zbioru funkcja f przyporządkowuje

wartość bezwzględną tej liczby. Możemy zapisać ją wzorem:

f(x)=| -4|

Żeby narysować wykres funkcji tworzymy tabelę. Umieszczamy w niej wszystkie elementy zbioru X.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)=| -4|

Dolny wiersz tabeli uzupełniamy licząc wartość funkcji f dla każdego iksa z tabeli.

f(-4)= |-4|=4 f(-3)=|-3|=3 f(-2)=|-2|=2 f(-1)=|-1|=1 f(0)=|0|=0 f(1)=|1|=1 f(2)=|2|=2 f(3)=|3|=3 f(4)=|4|=4

Wyniki wpisujemy do tabeli

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)=| -4| 4 3 2 1 0 1 2 3 4

Z tabeli czytamy współrzędne punktów, które musimy zaznaczyć w układzie współrzędnych: (-4,4), (-3,3),(-2,2),(-1,1), (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)

Zadanie 8.28/206

a) f(x)=x² , gdzie xϵ{1, 2, 3}

x 1 2 3

f(x)=x² 1 4 9

f(1)=1²=1 f(2)=2²=4 f(3)=3²=9

b) f(x)=x² , gdzie xϵ<-2,2>

Tworzymy tabelę częściową, tzn. dla kilku wybranych iksów z podanego przedziału, dlatego że w podanym przedziale jest nieskończenie wiele liczb.

x -2 -1 0 1 2

f(x)=x² 4 1 0 1 4

Do tabeli jako pierwszego iksa i ostatniego podajemy liczbę początkową i końcowa podanego przedziału f(-2)=(-2)²=4

f(-1)=(-1)²=1 f(0)=0²=0 f(1)=1²=1 f(2)=2²=4

Dlaczego punkty połączyliśmy? Bo tabela była tylko częściowa. Nie jesteśmy w stanie uwzględnić w niej wszystkich liczb między -2 a 2. Gdybyśmy w naszej tabeli umieścili więcej liczb z przedziału <-2,2> to na wykresie byłoby więcej punktów, które tak bardzo by się zagęszczały, że w końcu stworzyłyby linię ciągłą. Ale pamiętajcie! Nie wolno nam przedłużyć wykresu poza zakres <-2,2> na osi x.

c) f(x)=x² , gdzie xϵ<0,+>

Tworzymy tabelę częściową, tzn. dla kilku wybranych iksów z podanego przedziału, dlatego że w podanym przedziale jest nieskończenie wiele liczb.

x 0 1 2 3

f(x)=x² 0 1 4 9

f(0)=0²=0 f(1)=1²=1 f(2)=2²=4 f(3)=3²=9

Dlaczego punkty połączyliśmy? Bo tabela była tylko częściowa. Nie jesteśmy w stanie uwzględnić w niej wszystkich liczb między 0 a +. Dlaczego wykres przeciągnęliśmy poza punkt (3,9) ?bo przedział z prawej strony nie ma ograniczenia – do tabeli moglibyśmy wpisać liczby jeszcze większe od x=3. Tabela powiększałaby się w prawo, więc i w prawo przeciągamy wykres.

Praca domowa zad 8.28 c/206

zad 8.25/206 , cztery pierwsze kolumny,do wzoru f(x)=-x² (za x lub za y )podkładaj to, co masz dane w tabeli; f(x) to inaczej y zad 8.35/207 a, b Punkt wspólny wykresu funkcji z osią OX ma współrzędne (0,y)-tzn do wzory funkcji zamiast iksa

podstawiamy zero