• Nie Znaleziono Wyników

Wykaż, że: (a) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wykaż, że: (a) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Lista 8. Zadania różne

1. Pokaż, że niewymierne są liczby:

x1=

2, x2=3

3, x3= 2 +

3, x4= 2 +3

3.

2. Udowodnij, że liczba x = 3

2 nie jest pierwiastkiem żadnego równania typu: ax2+ bx + c = 0 z wymiernymi współczynnikami a, b, c.

3. Wiemy, że a5 i a7 są calkowite. Pokaż, że również a ∈ Z.

4. Wykaż, że:

(a) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

(b) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych dających resztę 3 z dzie- lenia przez 4.

5. Niech pn oznacza n-tą z kolei liczbę pierwszą. Wykaż, że:

pn+1< p1p2. . . pn dla n ­ 2.

6. Niech a1, a2, . . . , an będą liczbami dodatnimi. Wykaż, że:

(a1+ a2+ . . . + an) 1 a1

+ 1 a2

+ . . . + 1 an



­ n2.

7. Pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność:

2 1· 4

3· 6

5· . . . · 2n

2n − 1 ¬ 2√ n.

8. Wiedząc, że t +1t = 4 oblicz t5+t15. 9. Wiedząc, że t7+t17 = 11 oblicz t21+t121. 10. Wiedząc, że t2+t12 = 3 oblicz t20+t201 . 11. Wyznacz wszystkie funkcje f : Z → Z takie, że:

a)f (1) = 2f (n + k) = f (n) + f (k) + 2nk dla n, k ∈ Z.

12. Wykaż, że równanie

x

x + 1+ y

y + 1 = z z + 1 nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych x, y, z.

13. Rozwiąż równanie

[x] + [1 − x] = 1, gdzie [y] oznacza część całkowitą y ∈ R.

14. Niech p będzie taką liczbą naturalną, że 3p− 2p jest liczbą pierwszą. Udo- wodnij, że wtedy również p jest liczbą pierwszą.

15. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że liczby p+10 i p+20 są również liczbami pierwszymi.

1

(2)

Mini-Wskazówki

1. Zapisz xi jako pq dla p, q naturalnych, względnie pierwszych i dla x1, x2

rozpatruj podzielności. Pozostałe dwie poprzez podnoszenie równania do 2, 3 potęg sprowadź do czegoś podobnego.

2. Przyjmij, że takie równania mają rozwiązania typu x = t + s√

∆ dla t, s, ∆ ∈ Q.

3. Zacznij od pokazania, że a jest wymierna. Potem zapisz jako pq.

4. (a) Załóż nie wprost, że jest ich skończenie wiele: p1, p2, . . . , pn i rozważ liczbę: p1· p2· . . . · pn− 1 i jej dowolny dzielnik.

(b) Postępuj podobnie jak wyżej, tylko rozważaj wszystkie liczby z resztą 3 (mod 4) i inaczej napisz iloczyn.

5. Rozważaj taką samą liczbę, jak w podpunkcie a) poprzedniego zadania, jej dowolny dzielnik i nierówności między tymi wyrażeniami.

6. Wymnóż nawiasy Podnieś do kwadratu i rozważ wielkość wyrażenia x +1x. 7. Skorzystaj z zadsady indukcji matematycznej.

8. Policz: (t + t1) · (t +1t), potem (t +1t) · (t2+t12), dalej (t +1t) · (tn+t1n).

9. Oznacz s = t7 i policz jak w poprzednim zadaniu.

10. Skorzystaj z doświadczenia z 2 poprzednich zadań.

11. Zauważ, że funkcja f (n) = n2 spełnia to równanie. Zatem szukajmy roz- wiązania postaci f (n) = n2+ g(n) i napisz jaki warunek ma spełniać g(n).

12. Jak duże mogą być wyrażenia typu x+1x dla x ∈ N.

13. Rozważ przypadki x ∈ Z i x ∈ R\Z.

14. Zaprzyjaźnij się ze wzorem na wyrażenie ak− bk.

15. Rozważ przypadki w zależności od reszty z dzielenia przez 4 liczby p.

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

W dowolnym n-wyrazowym postępie arytmetycznym o sumie wyrazów równej n, k-ty wyraz jest równy 1.. Dla podanego n wskazać takie k, aby powyższe zdanie

Wykaż, korzystając z definicji granicy ciągu, że... Jakie są granice

Rzucamy 10 razy

(a) 101 jest dzielnikiem liczby hki wtedy i tylko wtedy, gdy k jest liczbą parzystą.. (b) Wyznacz te liczby naturalne k, dla

[r]

Udowodnić, że istnieje taki gracz A, który każdego innego gracza B pokonał bezpośrednio lub pośrednio, to znaczy gracz A wygrał z B lub gracz A pokonał pewnego zawodnika C,

Zaczyna Joasia i gracze na przemian zabieraj a , ze zbioru narysowanych wektorów po jednym wektorze, aż do

Ile jest tych