Wykaż, że: (a) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych

Lista 8. Zadania różne

1. Pokaż, że niewymierne są liczby:

x₁=√

2, x₂=√³

3, x₃=√ 2 +√

3, x₄=√ 2 +√³

3.

2. Udowodnij, że liczba x = √³

2 nie jest pierwiastkiem żadnego równania typu: ax²+ bx + c = 0 z wymiernymi współczynnikami a, b, c.

3. Wiemy, że a⁵ i a⁷ są calkowite. Pokaż, że również a ∈ Z.

4. Wykaż, że:

(a) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

(b) Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych dających resztę 3 z dzie- lenia przez 4.

5. Niech pn oznacza n-tą z kolei liczbę pierwszą. Wykaż, że:

pn+1< p1p2. . . pn dla n ­ 2.

6. Niech a1, a2, . . . , an będą liczbami dodatnimi. Wykaż, że:

(a₁+ a₂+ . . . + a_n) 1 a1

+ 1 a2

+ . . . + 1 an



­ n².

7. Pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność:

2 1· 4

3· 6

5· . . . · 2n

2n − 1 ¬ 2√ n.

8. Wiedząc, że t +¹_t = 4 oblicz t⁵+_t¹5. 9. Wiedząc, że t⁷+_t¹7 = 11 oblicz t²¹+_t¹21. 10. Wiedząc, że t²+_t¹2 = 3 oblicz t²⁰+_t20¹ . 11. Wyznacz wszystkie funkcje f : Z → Z takie, że:

a)f (1) = 2f (n + k) = f (n) + f (k) + 2nk dla n, k ∈ Z.

12. Wykaż, że równanie

x

x + 1+ y

y + 1 = z z + 1 nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych x, y, z.

13. Rozwiąż równanie

[x] + [1 − x] = 1, gdzie [y] oznacza część całkowitą y ∈ R.

14. Niech p będzie taką liczbą naturalną, że 3^p− 2^p jest liczbą pierwszą. Udo- wodnij, że wtedy również p jest liczbą pierwszą.

15. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że liczby p+10 i p+20 są również liczbami pierwszymi.

1

Mini-Wskazówki

1. Zapisz xi jako ^p_q dla p, q naturalnych, względnie pierwszych i dla x1, x2

rozpatruj podzielności. Pozostałe dwie poprzez podnoszenie równania do 2, 3 potęg sprowadź do czegoś podobnego.

2. Przyjmij, że takie równania mają rozwiązania typu x = t + s√

∆ dla t, s, ∆ ∈ Q.

3. Zacznij od pokazania, że a jest wymierna. Potem zapisz jako ^p_q.

4. (a) Załóż nie wprost, że jest ich skończenie wiele: p1, p2, . . . , pn i rozważ liczbę: p1· p2· . . . · pn− 1 i jej dowolny dzielnik.

(b) Postępuj podobnie jak wyżej, tylko rozważaj wszystkie liczby z resztą 3 (mod 4) i inaczej napisz iloczyn.

5. Rozważaj taką samą liczbę, jak w podpunkcie a) poprzedniego zadania, jej dowolny dzielnik i nierówności między tymi wyrażeniami.

6. Wymnóż nawiasy Podnieś do kwadratu i rozważ wielkość wyrażenia x +¹_x. 7. Skorzystaj z zadsady indukcji matematycznej.

8. Policz: (t + _t¹) · (t +¹_t), potem (t +¹_t) · (t²+_t¹2), dalej (t +¹_t) · (tⁿ+_t¹n).

9. Oznacz s = t⁷ i policz jak w poprzednim zadaniu.

10. Skorzystaj z doświadczenia z 2 poprzednich zadań.

11. Zauważ, że funkcja f (n) = n² spełnia to równanie. Zatem szukajmy roz- wiązania postaci f (n) = n²+ g(n) i napisz jaki warunek ma spełniać g(n).

12. Jak duże mogą być wyrażenia typu _x+1^x dla x ∈ N.

13. Rozważ przypadki x ∈ Z i x ∈ R\Z.

14. Zaprzyjaźnij się ze wzorem na wyrażenie a^k− b^k.

15. Rozważ przypadki w zależności od reszty z dzielenia przez 4 liczby p.

Marcin Preisner [email protected]

2