IV Konkurs Matematyczny Politechniki Biaªostockiej
etap korespondencyjny gimnazjum 31.03.2012 14.05.2012
Zadanie 1
W przestrzeni trójwymiarowej punkt M jest ±rodkiem ka»dego z odcinków AD, BE, CF . Uzasadni¢, »e trójk¡ty 4ABC i 4DEF s¡ przystaj¡ce.
Zadanie 2
Wykaza¢, »e je±li liczby a, b s¡ nieujemne to
(a + b)(a4+b4) ≥ (a2+b2)(a3+b3).
Zadanie 3
Która z liczb: 6789, 9876 jest wi¦ksza? Odpowied¹ uzasadni¢.
Uwaga: pot¦gi s¡ bez nawiasów: 223 = 28 6= 26 = (22)3, podobnie 2222 = 224 = 216. Rozwi¡zanie tego zadania (jak i pozostaªych zada«) nie mo»e korzysta¢ z oblicze« na komputerze, kalkulatorze itp.
Zadanie 4
Wyznaczy¢ wszystkie przedstawienia liczby 2012 w postaci sumy kolejnych liczb caª- kowitych.
Zadanie 5
Czy na pªaszczy¹nie mo»na wybra¢ 7 punktów tak, aby w±ród dowolnych trzech spo±ród nich istniaªy dwa punkty odlegªe od siebie o 1?
Zadanie 6
Pole kwadratu ABCD wynosi 5. Punkty K, L, M, N s¡ ±rodkami boków AB, BC, CD, DA odpowiednio. Obliczy¢, ile wynosi pole kwadratu XY ZT ograniczonego prostymi CK, DL, AM i BN (patrz rysunek).
A B
C D
K
L M
N
X Y
Z
T
