• Nie Znaleziono Wyników

Iteracyjna metoda rozdziału zasobów w wielokryterialnym systemie o strukturze hierarchicznej

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Iteracyjna metoda rozdziału zasobów w wielokryterialnym systemie o strukturze hierarchicznej"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

W a l d e m a r Czuchra

Zakład Informatyki i An al iz y Sy stemów Wyższa Szkoła Morska w Gdyni

I T ER AC Y3 NA M E TO DA ROZDZIAŁU ZA S O B Ó W W WIELOKRY TE RI AL NY M SYST EM IE O ST RU KT UR ZE H I E R A R C H I C Z N E 3

S t r e s z c z e n l e . W pracy przedstawiono metodę rozdziału zasobu w hi er ar ch ic zn ym systemie obiektów. Każdy obiekt posiada funk­

cję celu, której wartość zależy od wartości funkcji celu obiek­

tów położonych na ni ższych poziomach w hierarchii. Sformułowane w pracy zadanie w i e l ok ry te ri al ne go rozdziału zasobu jest roz­

wiązywane przy użyciu iteracyjnego programowania celowego.

1. Ws tęp

Wnioskiem z twierdzenia o hi er ar ch ic zn oś ci Scholza [4^ Jest, że każdy realnie istniejący system działa ją cy w sposób efektywny posiada specjalną strukturę, której składnikami sę hierarchio typu interakcyj­

nego, agrega cy jn eg o oraz funkcjonalnego. Twierdzenie to orzeka również, że aby z b ud ow an y przez człowieka system techniczny lub społeczny był efek ty wn y i n i e z a w o d n y powinien posiadać w swej strukturze te trzy w y ­ mienione 'typy hierarchii. Przekonującej argumentacji uzasadniającej tezę, że nieodłączną cechę ludzkiej działalności Jest hi e r a r c h i c z n o ś ć , dostarczają także Sing h i Singh [7'].

W pracy rozważa się system s k ła da ją cy się z obiektów char ak te ry zo­

wanych przez pewien mier za ln y atrybut, który oznaczony będzie tn , n»l,...,N a n jest numerem obiektu. W zależności od charakteru tego at rybutu oraz powiązań między atrybu ta mi różnych poziomów hierarchii mo że my mówić o jednym z trzech typó w hierarchii [4]. Wielkość atrybutu za le ży od argumentu zwanego dalej zasobem, tzn. tn »tn (xn ), gdzie xn jest zasobem. Za kł ad a się, że tn są funkcjami ni er os nę cy mi i wypukłymi.

Decydent posiada do swej dyspozycji ograniczoną ilość zasobu, którą może dowolnie rozdzielać pomiędzy ob iekty systemu.

Dla każdego obiektu systemu określona je3t pewna funkcja celu, któ­

ra w najp ro st sz ym przypadku może być tożsama z wielkością atrybutu ale może także być uzależniona od atrybutów pozostałych obiektów sys­

temu. Funkcję celu obiektu oznaczać się będzie fn ( tj (x) ,... , tN (x)) lub w skrócie fn lx), gdzie n«l,...,N, jest numerem obiektu w systemie oraz x j'eet we kt or em alokacji z a so bó w do o b ie kt ów systemu, tzn. x = [x!,x2 ,... ,

*n] •

(2)

36 W.Czuch ra

Obiekty w systemie posiadaję zr óż ni co wa ne pr lo ry te ty -n aj wy ższ e na szczycie hierarchii, najniższe na Jej dole. Z punktu widzenia decydenta Jest to najbardziej na tu ra ln y sp osób traktowania hierarchii. Obiekty, oprócz priorytetów, posiad8ję określone poziomy aspiracji funkcji celu.

Sę one ustalane przez decydenta. Ten z d e c en tr al iz ow an y sposób po tr ak to­

wania systemu hi er ar ch ic zn eg o pozwala sformułować zadanie optymalnego rozdziału zasobu Jako zadanie programowania wielokryterialnego.

Wi elokryterialne podejście do rozdziału zasobu w systemie typu k o m ­ pleks operacji Jest pr ze dmiotem prac Słowińskiego, ra.in. [ 8 ^ 1 [91.

Prezentowana t a m koncepcja problemu w i e l ok ry te ri al ne go różni się od przedstawionej w tej pracy tym, że funkcje celu zadania rektorowej o p ­ tymalizacji maję ch ar ak te r gl ob al ny i sę oparte na różnych miarach:

czasowej, kosztowej lub ilości przerwań operacji. W pracy Shircizu i Alyoshi [6] występuje również rozdział zasobu w systemie hierarchicznym, ale rozpatrywany Jest Jedynie s y st em d w u p oz io mo wy i jedynie rozdział zasobu pomiędzy ob iekty n i żs ze go poziomu Jest wlelokryterialny. Dest on traktowany Jako Jedno z ograni cz eń globalnej funkcji celu. Także w pra­

cy Whitforda i Davise [ lO^ wy st ęp uj e problem w i el ok ry te ri al ne go ro zd zi a­

łu zasobu i zalecane Jest rozwięzywanie tego zadania metodę opartę o me­

todę programowania celowego.

Również w niniejszej pracy programowanie celowe, a dokładniej jedna z Jego metod - iteracyjne pr ogramowanie celowe, stanowi podstawę a l g o ­ rytmu znajdujęcego optymalne rozwięzsnie zadanie rozdziału zasobu. Ma te­

matyczne sformułowanie tego zadania Jest przedmiotem rozważań w n a s t ę p ­ nym punkcie, natomiast al gorytm pr ze dstawiono w punkcie 3. Punkt 4 pracy zawiera opis przykładu za st os ow an ia prezentowanej me to dy w przypadku rozdziału zasobu dysk re tn eg o w hierarchii typu agregacyjnego.

Z. r ' ■ -mułowanle problemu

Ogólne matematyczne sf or mu ło wa ni e w i e l o k r y te ri al ne go zadania p r og ra­

mowania ma te ma ty cz ne go zaad ap to wa ne do problemu rozdziali, zasobu w s y s ­ temie'można przedstawić na st ęp uj ęc o

min [ f±{ x) .... , fN [x)j

E

*n

‘ "

n=l

xn } 0 , n ć

T

gdzie T » { 1, 2,..., n ] oraz X jest całkowitą ilościę zasobu dc ro zdzia­

łu pomiędzy obiekty systemu. W sf or mułowaniu progra mo wa ni a celowego Ch arnesa i Coopera [ l} zadanie /! / można przedstawić

(3)

m l n { W 0 a0 (d", d + ) , Y ^ a ^ d - , d + ) Wp ap (d“ . d+ ) J N

S Z Xn

n«l

♦ d0 - d0 - X /2/

fn (x)+ dń " dn ' Sn • " & T x n ^ O , n e 5“

d", d + >/ O , d ” d* x o , n £ T W / 2 / zastosowano nast ęp uj ąc e oznaczenia:

1. d” , d^ oznaczaję od po wi ed ni o ni edobór 1 na dmiar zużycia zasobu od­

niesione do X Jego Jednostek,

2. g , n » l N oznaczaję poziomy aspiracji / c e l e / dis funkcji celu obiektów^

3. d” , d*, n=»l,...,N oznaczaję odpowiednio ni ed ob ór i nadmiar w osięg- nięciu ce l ó w gn /

4. a p (d", d +) , gdzie d - =[d~, dj,. .. ,d” ] , d + x[d* , d^ , . . . , d * ] , p=l, .. ., P aę funkcjami satysfakcji^

5. Wp, p« i, .. ., P oznaczaję wagi przypisane od po wladajęcym im funkcjom satysfakcji.

Notacja wp ro wadzona sformu ło wa ni em / 2 / zostanie poniżej uściślona dla systemu h i er ar ch ic zn eg o rozważanego w pracy. Zakłada się, że st ru k­

tura systemu Jest reprezentowana przez graf typu drzewo, którego wyróż­

ni on y węzeł zwany korzeniem Jest obiektem szczytowym hierarchii. Poziom obiektu Jest poziomem o d po wi ad aJ ęc eg o mu węzła i mierzony Jest ilościę w ę z ł ó w zn aj du ję cy ch się na ścieżce łęczęcej rozpatrywany węzeł z ko r z e ­ niem. Zgodnie z w c z e śn ie js zy mi za ło żeniami priorytet obiektu Jest więc za le żn y od Jego poziomu i przyjmuje się w pracy, że Jest ten sam dla o b i e k t ó w tego samego poziomu. Ponadto

a (d- , d + ) = X , d n '

ne IP p

a 0( d ‘ . d + ) a

do

/ V

d* » max(o, b n ) , n=0,l,...,N N

bo " £ Xn ~ X n=l

b » f (x ) — g , n = 0 ,1,... ,N

• n n an

oraz p - 1 P oznacza poziom grafu, P Jest ilościę poziomów w grafie, a zbió r & , p » l P oznacza zbiór wszystkich wę zł ów aajęcych ten a w

(4)

W.Czuchra

poziom.

Zgodnie z iteracyjnym p r o g ra mo wa ni em celowym Hwanga i Masuda [ 3 } wagi funkcji satysfakcji sę dobrane tak, że W p » wp+1> P “1....,P-1 oraz W Q » W 1# Oznacza to. Ze n a jw yZ sz y priorytet posiada ograniczenie z a s o ­ bowe /otrzymane rozwiązanie musi być rozwięzaniem dopuszczalnym/. Pr io­

rytet ten zmniejsza się wr az ze w z r o st em poziomu obiektu. Konsekwencję relacji » między pr io ry te ta mi jest to, że nie wszy st ki e obiekty, S z c z e ­ gólnie te o wy żs zy ch poziomach, mogę w optymalnym rozwięzaniu osięgnęć w y z n a c z o n y przez decydenta poziom aspiracji.

W metodzie Hwanga i Masuda [33 rozwięzanie n i el in io we go problemu pr ogramowania ce lowego Jest z d e k om po no wa ne i składa się z rozwięzania cięgu zadań pr ogramowania ni el in i o w e g o z jednę funkcję celu.

Z uwagi na to, że W » w p+i rozwięzanie / 2 / Jest równoważne r o zw ię za­

niu P pr ob l e m ó w typu

min a p (d” , d + ) / 4 /

N

I ] xn + - d o = X / 4a/

n=l

ai (d~, d + ) ^ a* , i =0,1,...,p-1 /4b/

fn (xl + dń - dn = 9 n < " £

T

/ 4 c /

n > o , n e T /¿¿/

x

gdzie a* Jest o p ty ma ln ym ro zw ięzaniem pr oblemu i, a pr ob le my te sę rozwięzywane w kolejności w z r a s t aJ ęc yc h n u me ró w poziomów.

Za da ni e / 4 / Jest z a d a ni em p r og ra mo wa ni a n i el in io we go i każda znana metoda może być zast os ow an a w celu znal ez ie ni a rozwięzania. Celem n a s ­ tępnego punktu pracy Jest pr ze ds ta wi en ie al te rn at yw ne go sposobu r o zw ię­

zania / 4 / , w którym dość k ł op ot li we og ra niczenie / 4 b / nie będzie bez­

pośrednio uwzg lę dn io ne podczas optymalizacji, a także dr ze wi as ta s t r u k ­ tura problemu uł at wi ać będzie z n a l ez ie ni e op ty ma ln eg o rozwięzania.

3. Algo ry tm

Za kłada się, że istnieje a l g o r y t m A z n aj du ję cy rozwięzanie następuję- cego problemu

Q ■ min fn (x)

xn ^ 0 , n £ 1

(5)

gdzie Tn jest poddrzewem grafu T z węzłem n jako jago korzeniem. W y w o ­ łania tego algorytmu oznaczać się będzie A(n, x, f, X n) — «(y, Q) gdzie n - numer obiektu korzenia, x= [x1 xN] , f = [f 1 fN ] i Xn - zasób, parametrami wejściowymi oraz y= [y1 , . . . ,yN] i Q - wartość funkcji celu.

sę parametrami wyjściowymi. Zakłada się, że y ± = xi Jeśli i i- Wobec tego al gorytm B rozwlęzujęcy zadanie /2/ jest następujęcy:

Krok 1. Znajdź dowolne rozwiązanie x spełniajęce ograniczenie zasobowe.

Jeśli ono istnieje, to a* = 0, p=l, q=l i przejdź do kroku 2.

Jeśli ono nie istnieje to STOP.

Krok 2. A(l, x, f,

x ) - r

(x, F^) . Jeśli Fj^ z wówczas podstaw aj = 0, q=2 i przejdź do kroku 3. W przeciwnym wypadku STOP.

Krok 3. Po d s t a w p=p+l. Jeśli p > P wówczas przejdź do kroku 8. Jeśli F ± (f. x) 4 g^, i e jP , gdzie jest wartościę funkcji celu f^

dla w e k t o r ó w f i x , wówczas podstaw a p=0 i przejdź do kroku 3.

W przeci wn ym wypadku q=p, y=x, h=f.

Krok 4. Ob li cz i: F^ih, y) > . Podstaw y°0.

Krok 5. Zn aj dź takie, że

S i°o min^ j[ S: Fi ^ 9 i ' A ^1, y ' h ‘ S )~ł' ^y ' F i)}

dla i.e'p". Jeśli S, nie istnieje lub cięg obliczeń prowadzi do

p N

sytuacji, że Y* > * wówczas przejdź do kroku 8. W pr zeciw­

nym wypadku zmodyfikuj h następujęco

= Const^ , i £ $.p

gdzie C o n s t 1 = f ^ Y j ) oraz £ p «= ^ - > L - ^ <

Krok 6. A (1 , y, h, X)-*- ( z, Fj) . Jeśli F.Jh.z)^. g i , i 6 j=l,...,q wówczas podstaw x=z, p=q, a p = O, q=q+l i przejdź do kroku 3.

Krok 7. Jeśli F^ > g^ wówczas przejdź do kroku 8. W przeciwnym wypadku oblicz

p = max f r : 'S>~ / 0 } l i r i q r i przejdź do kroku 5.

Krok 8. Ro zw ięzaniem jest x*= x, F* = F(f, x*) oraz ap =|^Jj m a x [ o , F k - gk] ,

P=q ....,P. P

W proponowanym algorytmie q oznacza poziom taki, że a* =a£=.. . “aq _ i " 0 oraz a* > O. Dl at eg o cele g p , p=l,...,P sę osięgnięte do poziomu q-l włęcznie.

Twierdzenie. Algo ry tm B znajduje rozwięzanie problemu /2/.

Dowód, Wa rt oś ć q podczas obliczeń algorytmu nie ulega zmniejszeniu. Li cz­

ba po ziomów w grafie Jest skończona więc algorytm zatrzymuje się po skoń-

(6)

W.Czuchra

czonej ilości obliczeń.

Problem / 2 / Jest rozwiązywany Jako ciąg p r ob le mó w /4/. Przejście od problemu p do problemu p+1 może się odbyć Jedynie gdy ^ g i , i e ,

J = l . . . q

co oznacza, że spełnienie ograniczenia /4 b/ bada się a post e­

riori /krok 6 algorytmu/. Podczas rozwięzywanla /A/ og ra niczenie to Jest więc zaniedbywane. Problem sprowadza się wó wczas do zadania / 5 / ponieważ minimalnę wartością Je6t zero, które osiąga się gdy F^ ^ 9^ dla l e i Tak więc w kroku 3 stuka się alokacji, która przy zadanym X minimalizuj F^. Oeśli ograniczenie / 4 b / nie Jest spełnione to w kroku 5 sprawdza się czy istnieje taka modyfikacja wyznaczonej alokacji by og ra niczenie to mogło być spełnione poprzez wyznaczenie takich p r z y dz ia łó w zasobu, aby F t - g i dla 1 6 3 ^ . Dla wszyst ki ch tych obiektów, dla których w ten "wy­

muszony" sposób os ią gn ię to cele, chwilowo ustala się funkcje celu na po­

ziomie wy zn aczonym przez przydzielony zasób. Przy tak dobranych funkcjach celu ponownie mi ni ma li zu je się F^/krok 6/. Oeśli ograniczenie / 4 b / Jest spełnione to można przejść do rozwiązywania problemu / 4 / dla następnego poziomu. Oeśli sytuacja ta nie wystąpiła to kończy się obliczenia. Tym samym maksym al iz uj e się liczbę funkcji satysfakcji 8p, które osiągają wa rtość 0, czyli rozwiązuje się problem /2/, gdyż wp ły w wartości ¡i 0 z uwaqi na dobó r W można z a n i e d b a ć . B

3 P

Metoda rozwiązywania problemu / 2 / za pomocą prze ds ta wi on eg o a l g o ­ rytmu Jest szczególnie efektywna dla pewnych typów funkcji celu, dla których opraco wa no pros te i szybkie a l go ry tm y rozwiązywania zadań /5/.

Z an alizy działania algorytmu wynika, że zadanie / 5 / może być rozwięzy- wane dla zasobu d y s k re tn eg o co najwyżej X M P razy, gdzie M jest i l o ś ­ cią gałęzi wych od zą cy ch z jednego wi er zchołka w przypadku drzewa regu­

larnego. Na dm ia ro wo ść tego oszacowania rośnie bardzo szybko wraz ze wz r o st em M. Tak więc dla płaskich struktur /P małe / pr op on ow an a metoda przy starannym wyborze algorytmu dla / 5 / Jest efektywna gdyż P rośnie znacznie wolniej n i ż N.

4. Przykład

Rozw aż my system sk ła d a j ą c y się z N=8 obie kt ów r e p r ez en to wa ny przez graf na rys.i. Zale żn oś ć atrybutu od zasobu Jest postaci tn =an+ b n exp

C - c x_). W przypadku hierarchii typu a g r e g a cy jn eg o f £ t,. Przyjęto,

n n iC-Tn

że b»[3, 2, 4, 4. 2. 5, 3, 1. 5,2 ] , b = [l ,2,1,0. 5 ,1,1. 5 ,2 ,2] , c = [0.2 , 0. 3, 0. 4 ,0.1, 0. 5. 0. 3, 0. 2, 0, 6] , oraz g » [ 3 0 , 12 ,15,4. 4,3. 5 ,4.0,3. 5 ,3. 5] i X=6. Ponadto założono, żo zasób Jest po d z i e l n y dyskretnie, co wiąże się z u z u p e ł n i e ­ niem zbioru ograniczeń we w s z y s t k i c h p r ze ds ta wi on yc h rozważaniach w w a ­ runek xn e C, gdzie C Jest z b io re m liczb ca łk owitych dodatnich. Do roz-

o. a>

(7)

wi ązania zadania / 5 / zastosowano algorytm Shiha [53. Otrzymano następu­

jące rozwiązanie x K =[0, 1, 0, 0, 1, 1, 1. 2] oraz F*=»[29.93, 11.08, 14.85, 4.5, 3.1, 4.11, 3.13, 2.6].

Inny przykład za st osowania algorytmu B dla systemu hierarchicznego typu iteracyjnego przedstawiono w pracy Czuchra [2].

Rys.i. Graf przykładowego systemu Fig.l. The graph of exemplary system.

L I TE RA TU RA

[1] Charnes A., Cooper VV.W. : Management models and industrial applications of linear programming, vol I. 0.Wiley, New Yourk. 1961.

[2] Czuchra W. : Iterative goal programming approach to sharing resour' among dependent operations. Found, of Control Engng. vol 10, nr , / 1 98 5/ w druku.

[3] Hwang C. L. , Masud A.: Multiple objective decision making - methods and applications, S p r i n g e r - V e r l a g , Berlin-Heidelberg-New York 1979.

[4] Scholz C. : The architecture of hierarchy, Kybernetes, vol 11, 3.175- 181 /1982/.

[5] Shih W. : A now application of incremental analysis in resource a l l o ­ cations, O p l . R e s . Q . , vol 25, s . 587-597 /1974/.

[6] Shimizu K. , Aiyoshi E. : Hierarchical multi-objective decision systems for general resource allocation problems, OOTA, vol 35, s.517-533 / 1 9 8 1 / .

[7] Singh C.M. , Singh M.G. : An exploratory analysis of organizational hierarchies from on engineering point of view, IEEE Trans., vol SMC-8, no 3, s.205-208 /1 978/

[8] Słowiński R. : Al go ry tm y sterowania rozdziałem zasobów różnych k a te go­

rii w kompleksie operacji, Rozprawy nr 114, Politechnika Poznańsko, 1980

[9] Słowiński R. : Multiobjective network scheduling with efficient use of renewable and nonrenewable resources, EOOR, vol 7, nr 3, s.265-273 /1 98 1/

[10]'Whit ford D.T. , Oavis W.3. : A generalized hierarchical model of resource allocation, Omega, vol 11, 9.279-291 /1983/

Recenzent: Dr hab.lnż.Mirosław Zaborowski Wp ły nę ło do Re da kc ji do '1936.04-,30

(8)

WL W.Czuchra

HTEPAQHOHHLlfl AJDTOPMM PACIIPEHEJEHHS PECTPCOB B MHOrOKPHTEPÜAJDb- H02

h e p a p x m e c k o

M

ch c tek e

P e s d m e

B paôoTe paccuaTpKBaexcH axropEiM pacnpeneJieH M pecypcoB

b

H epapxm ieo- KOË CBCT6M0. Boe OÛBeKTH CECTeiiH BM6DT KpHTeDZH KaHeCTBa, KOTOpue aSMeHHBT- QH Korjoa H3M6HSDTCH KpKTepEH KaVeCTBa OÔteKTOB paCHOJIOHeHHHX Ha HH3E2X ypOB- Hffit CTpyKTypa . DpodJieiia MHorDKpiiTepaajiiHoro pacnpeneneHUH pecypooB pem eaa

b

8

to

2 paôoT e npa

iiomoise

ETepaixaoHHoro HHCureHHoro nporpaMMHpo B8

hhh

..

RESOURCE ALLOCATION IN A MULTICRITERIA HI ER ARCHICAL SYSTEM BY ITERATIVE METHOD

S u m m a r y

The paper presents the method of resource allocation in a hierarchical system of object.Each of the system object has its own objective function.

Its value depends on values of objective functions of objects placed on lower level of the hierarchy .The problem of multicriteria resource allo­

cation formuled in the paper is solved by Iterative goal programming method.

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

wą wyko ny wa ni e operacji w funkcji natężenia dopływu zasobów. Pewną klasę zadań sprowadzono do z a ­ gadnienia liniowego, dla którego istnieje algorytm

Harmonogram operacji ciągnięć definiuje się jako odwzorowanie zbioru wszystkich operacji Z w zbiór czasów gotowości obsługi do wykonania tych nologiczne oraz ograniczenia

Po uzyskaniu wy ników rozdziału wydobycia w analizowanej grupie kopalń według kryteriów optymalizacji, konieczny Jest wybór najważniejszego kry­3. terium lub

-Algpr?tm plnimaksowego rozdzlaiu

1 Raapiisdialenija resursów kak zadafia optimalnogo bystrodbjatw ija,

rystyczne dla optymalnego algorytmu podziału i ograniczeń. Zasoby odnawialne, dla których tylko liczba jedn os te k w każdej chwili wykonywania czynności jest

Erneuerunggsressourcen des Systems modelliert man auf vereinheitliche Weise alB so genannte verallgemeinerte