Probabilistyczne mnożenie wykresów uporządkowanych

Z ES ZY TY NAUKOWE P OL I TE C H N I K I Ś L Ą S K I E J 1978

Seria: E N E R G E T Y K A z. 68 Nr kol. 564

Doachim K OZ I OŁ

Instytut Tec hn ik i Cieplnej

PROB AB I LI ST YC Z NE MNO ŻE NI E W Y K R E S Ó W U P OR Z Ą D K O W A N Y C H

S t r e s z c z e n i e . W pr ac y p r z e d st aw i on o różnicową metodę p r o b a b i l i ­ st yc z ne go mn o że ni a w y k r e s ó w uporządkowanych. P o da no ogólną formułę służ ąc ą do o k r eś le ni a w y kr es u k o m p o z yc y jn eg o oraz a lgorytm obliczeń.

1. Ws tę p

Pr zy ana li za c h zw ią za n y c h z p r z e w i d y w a n i e m e f e kt ów gospodarki e n e r g e ­ tycznej, pl a no w a n i e m zuży ci a no śn ik ów energii i innych m at er i ał ów oraz przy p r o j ek to w an iu nowych urządzeń k o ni ec zn e jest posłu gi wa n ia się w y k r e ­ sami u po rządkowanymi. W w a r u n ka c h w za jemnej w s p ó ł p r a c y u rządzeń n i e o d z o w ­ ne jest dodawanie, o de jm o w a n i e oraz mno że n ie ich paramet r ów e k s p l o a t a c y j ­ nych. D ok on y w a n i e działań w opar c iu o w y k r e s y u p o rz ą dk ow an e tych p a r a m e ­ trów, w pr z yp ad ku gdy są one w z a j e m n i e niezależne, n al e ży przeprowadzać p o ­ przez kompo zy cj ę (splot) w y k r e s ó w w y j ś c i o w y c h [1]. P o st ęp ow a ni e takie w y ­ nika z faktu, że czas na w y k r e sa c h up or z ą d k o w a n y c h nie oznacza chwili w y ­ s tępowania konkretnej w a r t o ś c i pa r am et ru lecz informuje ó okresie w y s t ę ­ powania w a r to śc i nie mn ie js z yc h od rozpatrywanej. W y k r e s y uporządkowane, poza n ie li c z n y m i w y j ą t k a m i [5], maję pr zebieg t r udny do a n a li ty c zn eg o u j ę ­ cia, d l at eg o kompoz y cj ę w y z n ac za się najc zę ś ci ej metodami r ó ż n i c o w y m i . S p o ­ soby p o s t ęp o wa ni a prz y pr ob a b i l i s t y c z n y m do d aw an iu i o de jm ow a ni u zostały po­

dane w [l] , [

2

], [s], [

4

]. [ó], W n iniejszej pracy prz ed st aw i on o różn i co ­ wą metodę mn oż e n i a w y k r e s ó w u po rządkowanych.

2. Z a s t o s o w a n i e ko mp oz y c j i w y k r e s ó w u p or z ąd ko wa n yc h

P r o b a b i l i s t y c z n e d o d a wa ni e i o d ej m ow an ie p a ra me t r ó w e k s pl oa ta c yj ny ch w oparciu o ich w y k r e s y u p o r zą dk ow a ne prz ep ro wa d za się w przypadku w i e l k o ­ ści tego sameg o rodzaju w y s t ę p u j ą c y c h w nieza le żn ie i równolegle p r a c u j ą ­ cych dwóch lub więcej urządzeniach. P r zy kł a d e m może być wy z na c z a n i e w y ­ kresu u po r zą d k o w a n e g o łącznej w y d a j n o ś c i dwóch kotłów prac uj ą cy ch równ ol e ­ gle lub ok r eś l a n i e w y k r e s u u po rz ą d k o w a n e g o n admiaru i n ie doboru p racy w wa­

runkach jej n i e r e g u l o w a n e g o w yt wa r z a n i a i zużycia. W obu przy pa dk ac h in dy ­ w id ua l n e w y k r e s y u po rz ą d k o w a n e dotyczą s tr um i e n i a pary. L iczne pr zy k ł a d y

1C2 3. Kozioł

za s to sowania kompozycji w y k re só w u po rz ą dkowanych w przypadku dodawania i odejmowania podano w W . [2]. [6].

Mnożenie proba bi li st y cz ne wykr e só w up o rz ądkowanych w y zn ac z an e jest w oparciu o w y k r es y in d ywidualne w ie lkości różniących się między sobą pod w z g l ęd e m fizycznym, ale w y s t ę pu ją c yc h w jednym ur z ąd zeniu.Wyznaczyć można na przykład wykres upo r zą dk ow a ny strumienia energii chemicznej paliwa przy znanych wy k re s a c h uporządkowanych strumi en ia tego paliwa i wa r to śc i opa­

łowej. T w o r z en ie iloczynu p r o b a bi li st y cz ne go może znaleźć zastosowanie przy rozwiązywaniu następujących s ze rszych problemów:

1. Ana li za e fe kt ywności ekonomicznej inwestycji usprawniającej g os po ­ darkę energetyczną,

2. Opt y ma li za c ja parametrów k o ns tr ukcyjnych urządzeń pracujących przy zmiennych parametrach eksploatacyjnych.

3. Ro zw ią z yw an ie problemów z zakresu pr ogramowania probabilistycznego.

3. Różnicowa metoda pr ob ab il i st yc zn e go mnożenia wy kresów uporządkowanych

Istotnym założe ni e m przy w y z n ac za ni u kompozycji w y kr e s ó w u p o rz ąd ko w a­

nych jest traktowanie wys t ęp ow an i a poszcz e gó ln yc h p arametrów e k sp lo at a cy j­

nych na w y kr es ac h indywi du al n yc h jako zdarzeń wz aj em n ie niezależnych. Na­

leży w o b e c tego w y od rę bn i ć przypadki nie s pe łn ia j ąc e tego założenia. O d ­ dzielnie należy więc wy zn a cz ać kompozycję wy kr es ó w dotyczących okresów re­

montu oraz w niektórych p rz ypadkach dni św ią t ecznych i roboczych [

2

^{], [}

3

^],

W .

O kr es y wys tę po w an ia dodatnich wa rt oś c i na mnożonych probabilistycznie wy k resach u po rz ą dkowanych są jednakowe, gdyż w y k r e s y te dotyczą parametrów wy s tę pu ją c yc h w tym samym urządzeniu. Można w ię c w rozważaniach pominąć o- kres postoju.

S tosując różnicową metodę pro ba b il is ty c zn eg o mnożenia w yk re s ó w upor zą d ­ kowanych przyjmuje się na w y kr es ac h in dy widualnych X i Y (rys. 1/ umow­

ne jednostki parame t ró w A X i A Y. N as t ępnie a pr oksymuje się po s zc ze gó l ­ ne wykresy, cechujące się ciągłą zm i ennością parametrów za pomocą w y k r e ­ sów o z mienności skokowej, w taki sposób aby na wy kr es i e X' zmia ny para­

metrów w y s t ę p o w a ł y co A X , zaś na w y kr e s i e Y' c o A Y . Uzyskane w ten s p o ­ sób w y k r e s y sc h od ko we X' i Y' (linia przerywana na rys. 1) cechują się w y s t ęp ow a ni em parametrów, które są całkowitymi wiel ok r ot no śc i am i przyjętych jednostek na wyk re s ac h wyjściowych.

P rz y po prawnie przeprowadzonej ap ro skymacji pola nad i pod krzywą w obrębie s ze r ok oś ci po sz czególnych scho dk ó w powinny być sobie rów ne .D ot r zy ­ manie tego w a r un ku nie jest jednak możliwe w przypadku dowolnego p r z y j ę ­ cia wart oś c i A X i AY.

S zerok oś c i s c h o d kó w określają ok resy czasu A t (i) (i=l,...m) i A t (j)

x y

(j=l,...n), w których na w yk re s ac h s ch odkowych w ys tę p uj ą parametry eks-

P r o b a b i l is ty cz n e mn oż e ni e w y k r e s ó w uporz ąd ko w an yc h

103

ploatacyjne, równe o d p ow ie dn i o X 1 = i oraz Y' = j. O k r e s y te od p owiadają w p r z yb li ż en iu w y s t ę p o w a n i u na w y k r e s i e X wa rt o ś c i £i - i + zaś na w y k r e s i e Y wa r to śc i Jj - j + ¿J.

O eżeli na wyk re sa c h X' i Y' w y s t ąp i ą odcinki pionowe w zak re si e zmien­

ności pa r am et ru w iększej od przyjętej j e d n o s t k i , n a l e ż y tym w a r t o ś c i o m p a ­ ra m et ró w e ks pl o a t a c y j n y c h p r zy po rz ą dk ow ać o kr e sy A t = 0 (np. na w y k r e s i e X,' At (1) = 0).

P r a w d o p o d o b i e ń s t w o P x (i) w ys t ąp ie ni a pa ra metru X 1 = i oraz p r a w d o p o ­ d ob ie ńs t wo Pv (j) wy s tą p i e n i a parametru y'= j określa się z z ależności

[

¹

],

Px (i)

¿ t x fi) t d ’ A X V ( J )

Py(j) ^

'1 )

g d z i e :

t ^ - a n a l i z o w a n y okres pracy urządzenia.

W przypadku r ó w n o cz e sn eg o wy s tą p i e n i a X 1 = i oraz Y 1 = J u z y s k u ­ je się jako ilocz yn w a r t o ś c i tych p a ra me tr ó w XY' = k . p r z y czym k = ij.

Fbnametr eksploatacyjnyXY'

104 0. K ozioł

Rys. 2. W y n i k o w y wykre s u p o r z ą d k o w a n y pr ob ab i li st yc z ne go mnożenia w y k re só w i nd ywidualnych

P r o b a b i l i s t y c z n e mnożenie w y k r es ów uporz ąd ko w an yc h 105

P r a w d o p o d o b i e ń s t w o p x^(ij ) w ys t ąp ie ni a po wy ż sz eg o p rz ypadku w yn ik a ze w z o r u [l]

, ¿ l x ( i ) M v (j)

p xy ^ } --- t d " • (2)

Na up or zą d k o w a n y m w y k r e s i e kom po zy cy j ny m (rys. 2) temu pr a wd o p o d o b i e ń s t w u o dp owiada okres czasu [l]

4 t x y a j ) = p x y (ij) t d (3)

Zauw a ża się r ó w no c ze śn ie w y s t ę p o w a n i e w i ę k sz e liczb y k om bi n ac ji w a r to ś ci p ar am e t r ó w X r i Y 1, których iloczyn równy jest XY* = k (k=l....mn) (je­

żeli np. ro = 5, n = 4, zaś k = 4 to w a r t o ś ć tę uzys ka ć można jako i l o ­ czyn X ' = 4, Y ' = 1, x ' = 2. y ' = 2 oraz X 1 = 1, y ' = 4 ) .Okres czasu (k)

7 x y

w y s t ę p o w a n i a w a r to śc i X Y ' = k na w y k r es ie k o m p o zy cy jn y m p owinien w i ę c w y ­ n ikać z s u m y w s z y s t k i c h p r aw do p o d o b i e ń s t w r ó w n o cz es n eg o w y s t ą p i e n i a p a r a ­ m e t r ó w x ' i Y ' któr y ch iloczyn jest równy k.

Ł ą c z n y okres czasu

(rys-

2) wy s tą p i e n i a na w y k r e s i e k o m p o z y c y j ­ nym w a r t o ś c i p ar ametru X Y '^ k określa się jako

't x y (k) A t x y (1) " X AV J) ¿ V 1 ■ (4)

1-k j = l 1=R,'j

g dzie :

pfzl = I Z gdy Z e n ,5 -

1 entier (z) + 1, gdy z j. N ,

N - zbiór liczb naturalnych.

K o r z y s t a n i e z równania (5) przy w yz n a c z a n i u iloczynowej k om p oz yc ji w y ­ kres ów up or zą d k o w a n y c h jest niewygodne. Po daną z al eżność p ro ponuje się ra­

czej w y k o r z y s t y w a ć w przypadku w i e l o k r o t n i e powt ar za n yc h obliczeń. W y s t ę ­ puje to n aj częściej prz y rozwiązy wa n iu sz e rszych p r o b le mó w p r z e p r o w a d z a ­ nych przy użyciu e le kt ro n ic zn yc h maszyn cyfrowych,np. przy o p t y m al i za cj i t e c h n i c zn o- ek o no mi cz n ej . Pr zy j e d no k ro tn ym w y z n a c z a n i u omawianej k o m p o z y ­ cji w s k a z a n e jest postęp ow ać we dług a lg or yt m u pr ze ds t a w i o n e g o w tablicy 1, W a r t o ś c i podane w tab li cy o dp owiadają o dcinkom c zasów A l , & % oraz para- m et ro m X i Y ; prz ed st a wi on ym na rys. 1. W w y n ik u p r z e p r ow a dz on yc h obli*

czeń uz yskuje się s c h o d k o w y w ykres up or z ą d k o w a n y XY' p ro ba b i l i s t y c z n e g o iloc z yn u w y k r e s ó w indywidu a ln yc h (linia przer yw an a na rys. 2). O stateczną postać w y z n a c z a n e g o w y k re su XY u z ys k uj em y w w y ni ku a p r o ks ym ac j i (linia ciągła na rys. 2) w s p o m n i a n e g o w y k r e s u schodkowego.

106 0. Kozioł

JOco

-Co

>•

cco 5o

"O-M

ay

Nu o o.

3 O5 0) o

Ł_

J*>S z aj

•H CO

•NO c

E

O

CDO c

NO 4-t>

0) H•H

•H JO CO JO

oŁ.

O.

E +-»

>Ł-

O tHCD

<

V. Ć> Ci

0,00

1

cm

V

%

S i '

ó £

*o rc

Vi i '

«v>

S-

!fc/

ó

V

<D

$ c '■y

r

t

¡o

G( «5

$ &

$

W

%

<o /

ó 1

*

$ §

i ? "

Oo

o cv> 3

tyj « Cff

VO

u f

$

tfe / er.

£ 8} KT

K. fci

W

00 »o /

ifc i

$

cr> W

$

ir>

te lo vO

KT ¡8

§

u '

00 * *

<Nt 8

<

V *

<N i ; /

$

^ /

$ i £

NC

9 co"

3t $

CO-

*o V 00 ¡# >r*

vo c i CO'

VO V- s» /

$ $

_om

Oo M- O"

S"

* C r

20

10 1

ob 00

1 -

°o <r e r .0)

i?

1

1 lO

,X * l

w>

M W

«M

ĄdUA

>>

o j ą i

t0

X

? i 'M

I 3

V?

to

u

1

* N e .

If

$

V?

Probab il i st yc zn e m nożenie w y k r e s ó w uporz ąd ko wa n yc h

4. U w a g i k o ń c o w e

A n a l i z u j ą c p rzedstawioną metodę wyzna c za ni a k o m p o z y c j i w y k r e s ó w u p o ­ r ządkowanych nasuwają się nastę p uj ąc e uwagi:

1. Do k ła dn oś ć proponowanej m etody z a l e ż y od p r z y j ę t y c h u m o w n y c h j e d ­ nostek w a r to śc i param et ró w ¿i X , ¿ Y .

2. A p ro ks y m a c j ę c i ągłych w y k r e s ó w in d ywidualnych za pomocą wykr es ów s chodkowych (rys. 1) można przeprowadzić, k ierując się intuicją. Z d o ­ ś wi adczenia wynika, że błędy w y n ik łe z tego tytułu są n i e w i e l k i e .Uwaga po­

wyższa d o t yc zy również apr ok s ym ac ji pokazanej na rys. 2.

L ITERATURA

[l] Szargut 3.: E ne rg et y ka cieplna w hutnictwie, Śląsk, Kat ow ic e 1971.

£2 ] Szargut D . : K en ng l e i c h u n g e n und B e l a s t u n g s k u r v e n d e r W ä r m e a n l a g e n , -en, S p r i ng e r Verlag, N ew York 1975.

[

3

] Szargut 3.: U po rz ą d k o w a n e w y k r e s y w y d a j n o ś c i urządzeń r ó w n o l e g l e d z i a ­ łających. Go sp o d a r k a Pa liwami i Ener gi a nr 9, 1969.

[

4

] Szargut 3., Kozi o ł 3.: B e la s tu ng sk u rv en parallel a r beitender E n e r g i e - erzeugungs- und E n e r g i e v e r b r a u c h s a n l a g e n (w druku'.

[

5

] Kozioł 3.: Ch a ra k t e r y s t y k i e ne r getyczne i w y k r e s y obciążeń u r z ą d z e ń cieplnych. II W y k r e s y obciążeń urządzeń cieplnych. G o s p o d a r k a P a l i w a ­ mi i Ener gi ą nr 10, 1974.

[6] K o zioł 3.: C h a r a k te r ys ty ki e ne rg etyczne i w y k r e s y obciążeń urządzeń cieplnych. III K om po z yc ja w y k r e s ó w uporządkowanych. Gospodarka P a l i w a ­ mi i Ener gi ą nr 6, 1975.

nPOEAEHJIHCTHHEGKOE yMHOHEHHE yiIOPHÆO'ffiHHHX n.HATPAM M

P e 3 10 m e

B c T a T t e n p H B O f l H T c a Æ H C K p e i H H i l M e T O Æ n p o d a d r a H C T i m e c K o r o y M H O x e H H s

ynopa-

Aoti eH HH x f l z a r p a M M . n p H B O f l H T c a $ o p M y i : a , H e o d x o n n M a i t a j i h

nocTpoemw

j t - i a r p a M M o i H a z r o p H T M p a c s ë T a .

P RO BA B I L I S T I C M U L T I P L I C A T I O N OF ORDE RE D CURVES

S u m m a r y

A diffe re n ti al method of pr ob a bi li st i c m u l t ip li c at io n of ordered cur­

ves is presented. A general formula for deter m in in g compos it io n curves and a p ro cedure m ethod are shown.