, określone dla n  1 . Jeżeli lim

Uzupełnienie zestawu wybranych wzorów matematycznych Granica ciągu

Dane są ciągi   a

i   b

, określone dla n  1 . Jeżeli lim

n

a a



 oraz lim

n

b b



 , to

 

lim

n

a b a b



   ^lim

 a

b

 a b



   ^lim

 a b

 a b



  

Jeżeli ponadto b

 dla 0 n  1 oraz b  0 , to lim

n n

a a

b b





Dany jest nieskończony ciąg geometryczny   a

, określony dla n  1 , o ilorazie q .

Niech S

oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu   a

, tzn. ciąg określony wzorem

1 2

...

n n

S   a a   . Jeżeli a q  1 , to ciąg S

ma granicę lim

n

1

n

S S a

q





 . Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu   a

.

Pochodna funkcji

   

c f x     c f x 

 

  dla c R 

       

f x  g x   f x   g x 

 

 

       

f x  g x   f x   g x 

 

 

           

f x g x    f x g x    f x g x  

 

 

           

 

f x f x g x f x g x

g x g x

       

  

 

   

, gdy ^{g x}   ^{ 0}

Pochodne niektórych funkcji

Niech a , b , c będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, n  2 dowolną liczbą naturalną.

funkcja pochodna funkcji

 

f x  c ^{f x }   ^{ 0}

 

f x  ax b  ^{f x }   ^{ a}

 

f x  ax  bx c  ^{f x }   ^{ 2 ax b }

  ^a

f x  x ^{f x}  

^a

x

  

 

f x  x ^{f x }   ^{ nx}

Równanie stycznej

Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x , to równanie stycznej do wykresu funkcji f

w punkcie  x f x

,  

 dane jest wzorem

y ax b   ,

gdzie współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji f w punkcie x , tzn.

a  f x   

, natomiast b  f x  

 f x   

 x

.

Trygonometria

Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych

sin sin 2sin cos

2 2

   

    ^{ }

sin sin 2sin cos

2 2

   

    ^{ }

cos cos 2 cos cos

2 2

   

    ^{ }

cos cos 2sin sin

2 2

   

     ^{ }

   

 

sin sin 1 cos cos

    2       

   

 

cos cos 1 cos cos

   2       

   

 

sin cos 1 sin sin

   2        Rachunek prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech A , B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w  , przy czym ^{P B}   ^{ 0 .}

Prawdopodobieństwem warunkowym ^{P A B}  ^|  nazywamy liczbę

   

| P A B  

P A B

P B

 

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Jeżeli zdarzenia losowe B B

,

,..., B zawarte w

 spełniają warunki:

1. B B

,

,..., B są parami rozłączne, tzn.

B

 B

  dla i  , j 1 i n   , 1 j n   , 2. B

 B

  ... B

  ,

3. P B  

 ⁰ dla 1 i n   ,

to dla każdego zdarzenia losowego A zawartego w  zachodzi równość

   |

  

 |

  

...  |

  

P A  P A B  P B  P A B  P B   P A B  P B