weryfikowali hipotezę mówiącą, że jego „prawdziwa” wartość nie różni się istotnie od zadanej wartości, co zapisujemy:

(1)

p-wartość

Idea

Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy

weryfikowali hipotezę mówiącą, że jego „prawdziwa” wartość nie różni się istotnie od zadanej wartości, co zapisujemy:

θ = θ ₀ ,

gdzie θ ₀ jest ustalone. Poza samą hipotezą (nazywać ją będziemy

hipotezą zerową) musimy jeszcze podać hipotezę alternatywną,

czyli ustalić jaka jest nasza decyzja w przypadku odrzucenia

hipotezy zerowej. Przykładowo, dla hipotezy zerowej H ₀ : θ = θ ₀ ,

możliwe są następujące alternatywy: H ₁ : θ ∕= θ 0 , H ₁ : θ > θ 0 lub

H 1 : θ < θ 0 .

(2)

p-wartość

Przykładowe układy hipotez

1

Hipoteza zerowa: wartość oczekiwana (średnia) badanej cechy nie różni się istotnie od 2. Hipoteza alternatywna: wartość oczekiwana (średnia) badanej cechy jest istotnie większa od 2.

2

Hipoteza zerowa: wartości oczekiwane (średnie) badanej cechy w dwóch grupach nie różnią się istotnie. Hipoteza

alternatywna: wartości oczekiwane (średnie) badanej cechy w dwóch grupach różnią się istotnie.

3

Hipoteza zerowa: nie ma istotnej zależności pomiędzy dwoma

badanymi cechami. Hipoteza alternatywna: istnieje istotna

zależność pomiędzy dwoma badanymi cechami.

(3)

p-wartość

Konstruując procedurę testową wyznaczamy tzw. obszar krytyczny (obszar odrzuceń hipotezy zerowej). Najbardziej typowym jest prawostronny obszar krytyczny postaci:

R = {xxx : T (xxx) 󵃭 k},

gdzie T jest statystyką testową, a k oznacza wartość krytyczną.

Stąd jeśli wartość statystyki testowej jest duża (przekracza wartość krytyczną), to odrzucamy hipotezę zerową.

Inne postaci obszarów krytycznych:

Lewostronny obszar krytyczny:

R = {xxx : T (xxx) 󵃬 k}.

Dwustronny obszar krytyczny:

R = {xxx : T (xxx) 󵃭 k 1 lub T (xxx) 󵃬 k 2 }.

(4)

p-wartość

Błędy przy testowaniu hipotez

Przyjmując lub odrzucając hipotezę zerową podejmujemy decyzję, która może być poprawna lub błędna. Podczas testowania hipotezy zerowej możemy popełnić jeden z dwóch błędów:

1

Odrzucamy hipotezę zerową, gdy jest ona prawdziwa – błąd I rodzaju.

2

Przyjmujemy hipotezę zerową, gdy jest ona fałszywa – błąd II

rodzaju.

(5)

p-wartość

Błędy przy testowaniu hipotez

(6)

p-wartość

Wynik testowania hipotez

Ponieważ decyzja przyjęcia hipotezy zerowej może pociągnąć za sobą popełnienie błędu II rodzaju (prawdopodobieństwo tego błędu nie jest kontrolowane i nawet w najlepszych testach może być bardzo duże), to wynikiem testowania hipotez statystycznych jest jedna z dwóch decyzji:

1

„Odrzucamy hipotezę zerową”, tzn. stwierdzamy

występowanie istotnych statystycznie różnic (zależności), na poziomie istotności α,

2

„Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej”, tzn.

stwierdzamy brak istotnych statystycznie różnic (zależności),

na poziomie istotności α.

(7)

p-wartość

p-wartość

Definicja

p–wartość jest najmniejszym poziomem istotności testu, przy którym odrzucamy hipotezę zerową.

1

Jeżeli p-wartość jest mniejsze bądź równa α, to odrzucamy H 0 .

2

Jeżeli p-wartość jest większa od α, to nie ma podstaw do

odrzucenia H 0 .

(8)

p-wartość

p-wartość

Sposób obliczania p–wartości:

1

Prawostronny obszar krytyczny:

P 0 (T 󵃭 T (xxx)).

2

Lewostronny obszar krytyczny:

P ₀ (T 󵃬 T (xxx)).

3

Dwustronny obszar krytyczny:

2 min{P 0 (T 󵃭 T (xxx), P 0 (T 󵃬 T (xxx))}.

(9)

Testy ilorazu wiarogodności

Załóżmy, że dysponujemy n-elementową próbą, a θ oznacza parametr modelu statystycznego. Rozważamy zagadnienie testowania układu hipotez:

H ₀ : θ ∈ Θ 0 , H 1 : θ ∈ Θ 1 ,

gdzie Θ 0 ∪ Θ 1 = Θ oraz Θ 0 ∩ Θ 1 = ∅. Ponadto załóżmy, że populacja, z której pochodzi nasza próba ma rozkład absolutnie ciągły.

Testem ilorazu wiarogodności nazywamy test z obszarem krytycznym postaci:

R = {xxx : sup _θ _∈Θ L(θ; xxx)

sup _θ _∈Θ

₀

L(θ; xxx) 󵃭 k α },

gdzie wartość k α wyznaczamy tak, aby prawdopodobieństwo błędu

pierwszego rodzaju było równe α.

(10)

Przykład

Załóżmy, że dysponujemy n-elementową próbą prostą X

X X = (X 1 , X ₂ , . . . , X _n ), n > 1 z populacji o rozkładzie normalnym z nieznanymi parametrami µ i σ ² . Obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności dla układu hipotez:

H ₀ : µ = µ ₀ H ₁ : µ < µ ₀ ma następującą postać:

R = {xxx : x ¯ − µ 0

s

√ n 󵃬 t(α, n − 1)}.

(11)

weryfikowali hipotezę mówiącą, że jego „prawdziwa” wartość nie różni się istotnie od zadanej wartości, co zapisujemy:

Idea

Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy

weryfikowali hipotezę mówiącą, że jego „prawdziwa” wartość nie różni się istotnie od zadanej wartości, co zapisujemy:

θ = θ 0 ,

gdzie θ 0 jest ustalone. Poza samą hipotezą (nazywać ją będziemy

hipotezą zerową) musimy jeszcze podać hipotezę alternatywną,

czyli ustalić jaka jest nasza decyzja w przypadku odrzucenia

hipotezy zerowej. Przykładowo, dla hipotezy zerowej H 0 : θ = θ 0 ,

możliwe są następujące alternatywy: H 1 : θ ∕= θ 0 , H 1 : θ > θ 0 lub

H 1 : θ < θ 0 .

Przykładowe układy hipotez

Hipoteza zerowa: wartość oczekiwana (średnia) badanej cechy nie różni się istotnie od 2. Hipoteza alternatywna: wartość oczekiwana (średnia) badanej cechy jest istotnie większa od 2.

Hipoteza zerowa: wartości oczekiwane (średnie) badanej cechy w dwóch grupach nie różnią się istotnie. Hipoteza

alternatywna: wartości oczekiwane (średnie) badanej cechy w dwóch grupach różnią się istotnie.

Hipoteza zerowa: nie ma istotnej zależności pomiędzy dwoma

badanymi cechami. Hipoteza alternatywna: istnieje istotna

zależność pomiędzy dwoma badanymi cechami.

Konstruując procedurę testową wyznaczamy tzw. obszar krytyczny (obszar odrzuceń hipotezy zerowej). Najbardziej typowym jest prawostronny obszar krytyczny postaci:

R = {xxx : T (xxx) 󵃭 k},

gdzie T jest statystyką testową, a k oznacza wartość krytyczną.

Stąd jeśli wartość statystyki testowej jest duża (przekracza wartość krytyczną), to odrzucamy hipotezę zerową.

Inne postaci obszarów krytycznych:

Lewostronny obszar krytyczny:

R = {xxx : T (xxx) 󵃬 k}.

Dwustronny obszar krytyczny:

R = {xxx : T (xxx) 󵃭 k 1 lub T (xxx) 󵃬 k 2 }.

Błędy przy testowaniu hipotez

Przyjmując lub odrzucając hipotezę zerową podejmujemy decyzję, która może być poprawna lub błędna. Podczas testowania hipotezy zerowej możemy popełnić jeden z dwóch błędów:

Odrzucamy hipotezę zerową, gdy jest ona prawdziwa – błąd I rodzaju.

Przyjmujemy hipotezę zerową, gdy jest ona fałszywa – błąd II

rodzaju.

Błędy przy testowaniu hipotez

Wynik testowania hipotez

Ponieważ decyzja przyjęcia hipotezy zerowej może pociągnąć za sobą popełnienie błędu II rodzaju (prawdopodobieństwo tego błędu nie jest kontrolowane i nawet w najlepszych testach może być bardzo duże), to wynikiem testowania hipotez statystycznych jest jedna z dwóch decyzji:

„Odrzucamy hipotezę zerową”, tzn. stwierdzamy

występowanie istotnych statystycznie różnic (zależności), na poziomie istotności α,

„Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej”, tzn.

stwierdzamy brak istotnych statystycznie różnic (zależności),

na poziomie istotności α.

p-wartość

Definicja

p–wartość jest najmniejszym poziomem istotności testu, przy którym odrzucamy hipotezę zerową.

Jeżeli p-wartość jest mniejsze bądź równa α, to odrzucamy H 0 .

Jeżeli p-wartość jest większa od α, to nie ma podstaw do

odrzucenia H 0 .

p-wartość

Sposób obliczania p–wartości:

Prawostronny obszar krytyczny:

P 0 (T 󵃭 T (xxx)).

Lewostronny obszar krytyczny:

P 0 (T 󵃬 T (xxx)).

Dwustronny obszar krytyczny:

2 min{P 0 (T 󵃭 T (xxx), P 0 (T 󵃬 T (xxx))}.

Testy ilorazu wiarogodności

Załóżmy, że dysponujemy n-elementową próbą, a θ oznacza parametr modelu statystycznego. Rozważamy zagadnienie testowania układu hipotez:

H 0 : θ ∈ Θ 0 , H 1 : θ ∈ Θ 1 ,

gdzie Θ 0 ∪ Θ 1 = Θ oraz Θ 0 ∩ Θ 1 = ∅. Ponadto załóżmy, że populacja, z której pochodzi nasza próba ma rozkład absolutnie ciągły.

Testem ilorazu wiarogodności nazywamy test z obszarem krytycznym postaci:

R = {xxx : sup θ ∈Θ L(θ; xxx)

sup θ ∈Θ

L(θ; xxx) 󵃭 k α },

gdzie wartość k α wyznaczamy tak, aby prawdopodobieństwo błędu

pierwszego rodzaju było równe α.

Przykład

Załóżmy, że dysponujemy n-elementową próbą prostą X

X X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ), n > 1 z populacji o rozkładzie normalnym z nieznanymi parametrami µ i σ 2 . Obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności dla układu hipotez:

H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 ma następującą postać:

R = {xxx : x ¯ − µ 0

s

√ n 󵃬 t(α, n − 1)}.

Przykład

W modelu jednej próby prostej z populacji o rozkładzie normalnym funkcja wiarogodności ma postać:

L(µ, σ 2 ; xxx) = (2π) −n/2 (σ 2 ) −n/2 exp

󰀥

− 1 2σ 2

󰁛 n i=1

(x i − ¯x) 2

󰀦 .

Ponadto, estymatorami największej wiarogodności parametrów µ i σ 2 są odpowiednio statystyki:

θ = θ ₀ ,

gdzie θ ₀ jest ustalone. Poza samą hipotezą (nazywać ją będziemy

hipotezy zerowej. Przykładowo, dla hipotezy zerowej H ₀ : θ = θ ₀ ,

możliwe są następujące alternatywy: H ₁ : θ ∕= θ 0 , H ₁ : θ > θ 0 lub

P ₀ (T 󵃬 T (xxx)).

H ₀ : θ ∈ Θ 0 , H 1 : θ ∈ Θ 1 ,

R = {xxx : sup _θ _∈Θ L(θ; xxx)

sup _θ _∈Θ

X X = (X 1 , X ₂ , . . . , X _n ), n > 1 z populacji o rozkładzie normalnym z nieznanymi parametrami µ i σ ² . Obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności dla układu hipotez:

H ₀ : µ = µ ₀ H ₁ : µ < µ ₀ ma następującą postać:

L(µ, σ ² ; xxx) = (2π) ^−n/2 (σ ² ) ^−n/2 exp

− 1 2σ ²

(x i − ¯x) ²

Ponadto, estymatorami największej wiarogodności parametrów µ i σ ² są odpowiednio statystyki:

σ ² = ˜ S ² = 1 n

(X i − ¯ X ) ² .