Modelowanie krzywizny układu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO

Katarzyna Palikowska

Wydzia In ynierii Ldowej i rodowiska

MODELOWANIE KRZYWIZNY

UKADU GEOMETRYCZNEGO TORU

Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU PSO

Rkopis dostarczono, kwiecie 2013

Streszczenie: W artykule przedstawiono metod projektowania ukadu geometrycznego toru kolejowego opart na zastosowaniu szeciennych krzywych C-Bezier do opisu krzywizny. Punkty kontrolne krzywej Bezier wyznaczane s w procesie optymalizacji za pomoc algorytmu roju czstek (Particle Swarm Optimization). Jako kryterium optymalizacji przyjto minimalizacj oddziaywa dynamicznych wystpujcych w ukadzie tor-pojazd przy spenieniu warunków geometrycznych wynikajcych z zao e projektowych.

Sowa kluczowe: algorytm roju czstek (Particle Swarm Optimization), szecienne krzywe C-Bezier, krzywizna ukadu geometrycznego

1. WSTP

Projektowanie ukadu geometrycznego toru kolejowego polega na czeniu ze sob okrelonych punktów charakterystycznych trasy za pomoc odcinków prostych oraz uków o staej i zmiennej krzywi nie. W miejscach pocze, na skutek zmian krzywizny poziomej, dochodzi do zwikszenia oddziaywa dynamicznych wystpujcych w ukadzie tor  pojazd. W procesie modelowania krzywizny projektant d y do zapewnienie pynnej zmiany krzywizny przy spenieniu odpowiednich warunków [7], by poprzez waciwe uksztatowanie krzywych przejciowych zapewni mo liwie najkorzystniejsze waciwoci dynamiczne ukadu.

Poszukiwanie nowych postaci krzywych przejciowych i ocena istniejcych s tematami wci aktualnymi, czego dowodem s liczne publikacje powicone tym zagadnieniom.

W badaniach majcych na celu rozszerzenie dostpnych mo liwoci w zakresie modelowania krzywych przejciowych wyró ni mo na dwa zasadnicze nurty: bezporednie ksztatowanie wspórzdnych krzywej przejciowej oraz porednie osigane poprzez modelowanie krzywizny.

W pracach [2, 4, 5, 6], wpisujcych si w nurt ksztatowania wspórzdnych, przedstawiono algorytmy konstruowania krzywych Bezier jako krzywych przejciowych w dziedzinie projektowania dróg koowych i kolejowych. Sugerowana celowo zastosowania szeciennych krzywych C-Bezier (cubic C-Bezier curves), przedstawionych w pracy [2], oraz PH krzywych Bezier pitego stopnia (Pythagorean hodograph quintic

Bezier curves), przedstawionych w pracach [4, 5], jako krzywych przejciowych czcych

dwa uki koowe odwrotne (S-shaped transition) i dwa uki zgodne (C-shaped i C-oval

transitions) zostaa potwierdzona w pracach [8, 9] poprzez zastosowanie wspomnianych

krzywych w przykadowych ukadach geometrycznych.

W pracach [8, 9] waciwoci dynamiczne krzywych Bezier zostay przedstawione na tle waciwoci krzywych typu K0 (krzywa o liniowej zmianie krzywizny) i K1 (krzywa o nieliniowej zmianie krzywizny opisanej wielomianem stopnia trzeciego zmiennej l oznaczajcej dugo krzywej), uzyskanych w wyniku zastosowania uniwersalnej metody modelowania krzywizny.

Niniejszy artyku przedstawia metod modelowania krzywizny ukadu geometrycznego bazujc na opisie krzywizny za pomoc szeciennej krzywej C-Bezier (cubic C-Bezier

curve), przedstawionej w pracy [13]. W odró nieniu od prac [2, 8, 9] w niniejszym

artykule wspomniana krzywa zostaa zastosowana do opisu krzywizny a nie wspórzdnych krzywej przejciowej. Punkty kontrolne krzywej wyznaczane s w procesie optymalizacji prowadzonym algorytmem roju czstek (Particle Swarm Optimization) w oparciu o kryterium zwizane z ocen oddziaywa dynamicznych w ukadzie tor-pojazd, z zachowaniem warunków geometrycznych.

2. MODELOWANIE KRZYWIZNY

Przepisy dotyczce projektowania ukadów geometrycznych dróg koowych i kolejowych nakadaj szereg wymaga, które powinna spenia krzywa przejciowa [7]. Spenienie nao onych wymaga zwizane jest cile z zapewnieniem odpowiedniego przebiegu krzywizny k(l) oraz jej pochodnych k’(l) oraz k’’(l). Modelowaniu krzywizny ukadu geometrycznego powiconych jest wiele prac dotyczcych krzywych przejciowych stosowanych w dziedzinie dróg koowych [1, 11, 12] jak i kolejowych [7, 8, 9, 10]. Uniwersalna metoda modelowania krzywizny, przedstawiona w pracy [8], zakada, e funkcja krzywizny k(l) stanowi rozwizanie równania ró niczkowego (1)

݇ሺ௠ሻ_{ሺ݈ሻ ൌ ݂ൣ݈ǡ ݇ǡ ݇}ᇱ_{ǡ ǥ ǡ ݇}ሺ௠ିଵሻ_{൧ (1)}

z warunkami na pocztku (dla l = 0) i na kocu (dla l = lk) krzywej przejciowej (rys.1):

݇ሺ௜ሻ_ሺͲା_{ሻ ൌ ൜݇}ଵ ݈݀ܽ ݅ ൌ Ͳ Ͳ ݈݀ܽ ݅ ൌ ͳǡ ʹǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ͳ (2) ݇ሺ௝ሻ_ሺ݈ ௞ ି_{ሻ ൌ ൜݇}ଶ ݈݀ܽ ݆ ൌ Ͳ Ͳ ݈݀ܽ ݆ ൌ ͳǡ ʹǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ʹ (3)

przy czym parametrem l jest poo enie danego punktu na dugoci krzywej. Rzd równania ró niczkowego (1) wynosi m = n1 + n2 + 2, a otrzymana funkcja k(l) jest

funkcj klasy Cn w przedziale ۃͲǡ ݈_௞ۄ, gdzie ݊ ൌ ݉݅݊ሺ݊_ଵǡ ݊_ଶሻ. Metoda ta pozwala na uzyskiwanie rozwiza o liniowej lub nieliniowej zmianie krzywizny.

Na podstawie krzywizny k(l) w dalszej kolejnoci nastpuje wyznaczenie wspórzdnych krzywej w ukadzie x, y. Zakadajc, e pocztek ukadu x, y znajduje si w punkcie kocowym krzywej wejciowej o krzywi nie k1, a o odcitych jest styczna do

tej krzywej w tym e punkcie (rys. 1), równanie parametryczne krzywej przejciowej przyjmuje posta:

ݔሺ݈ሻ ൌ ׬ ܿ݋ݏ ߆ሺ݈ሻ݈݀ (4) ݕሺ݈ሻ ൌ ׬ ݏ݅݊ ߆ሺ݈ሻ݈݀ (5) gdzie funkcja ߆ሺ݈ሻ wyznaczona zostaje na podstawie wzoru

߆ሺ݈ሻ ൌ ׬ ݇ሺ݈ሻ݈݀ (6) W pracy [10] przedstawiono metod modelowania krzywizny z zastosowaniem programowania ewolucyjnego. Monotoniczno krzywizny zapewniona zostaa kodowaniem przyrostów rzdnych krzywizny. Zestaw klasycznych operatorów genetycznych poszerzony zosta o operatory inwersji, delecji, duplikacji i filtrowania, zapewniajce po dane zmiany krzywizny w procesie optymalizacji.

3. PROPONOWANA METODA

Niniejszy artyku przedstawia propozycj opisu krzywizny za pomoc szeciennej krzywej C-Bezier [13], opisanej nastpujcym równaniem parametrycznym:

ࡼሺݐሻ ൌ_గିଶଶ ൦ ݏ݅݊ ݐ ܿ݋ݏ ݐ ݐ ͳ ൪ ் ۏ ێ ێ ێ ێ ۍ Ͳ ଶିగସିగ ଶ ସିగ െͳ െͳ _ସିగଶ ଶିగ_ସିగ Ͳ െͳ _ସିగଶ _ସିగିଶ ͳ గ ଶ ିଶ ସିగ గିଶ ସିగ Ͳ ے ۑ ۑ ۑ ۑ ې ൮ ࡼ૙ ࡼ૚ ࡼ૛ ࡼ_૜ ൲ (7)

zdefiniowanym dla parametru t speniajcego zale no Ͳ ൑ ݐ ൑గ

ଶ. Sporód punktów

kontrolnych ሼࡼ_࢏ሽ_௜ୀ଴ଷ punkty ࡼ૙ i ࡼ૜bdce wzami krzywej Bezier stanowi punkty

Rys. 1. Schemat ukadu geometrycznego dwóch uków zgodnych poczonych krzyw

przejciow

Rys. 2. Krzywizna ukadu geometrycznego dwóch uków zgodnych poczonych krzyw

przejciow

Na rys. 1 przedstawiono schemat ukadu geometrycznego dwóch uków zgodnych poczonych krzyw przejciow o krzywi nie opisanej równaniem (7). Zakada si ustalone poo enie rodków uków C1 i C2. Poo enie punktu C, stanowicego rodek

hipotetycznego uku o promieniu prostopadym do stycznej w punkcie kocowym krzywej przejciowej, uzale nione jest od krzywizny, na podstawie której za pomoc równa (4-6) wyznaczane s wspórzdne krzywej przejciowej w ukadzie x, y.

Pierwsza pochodna krzywej (7) wyra ona jest nastpujc formu:

ࡼᇱ_{ሺݐሻ ൌ} ଶ

గିଶሾሺͳ െ ݏ݅݊ ݐሻሺࡼ૚െ ࡼ૙ሻ ൅ ሺͳ െ ܿ݋ݏ ݐሻሺࡼ૜െ ࡼ૛ሻሿ ൅ ଶ

ସିగሺܿ݋ݏ ݐ ൅ ݏ݅݊ ݐ െ ͳሻሺࡼ૛െ ࡼ૚ሻ (8)

Druga pochodna krzywej (7) przedstawia si nastpujco:

ࡼᇱᇱ_{ሺݐሻ ൌ} ଶ గିଶቂቀ గିଶ ସିగሺࡼ૛െ ࡼ૚ሻ െ ሺࡼ૚െ ࡼ૙ሻቁ …‘• ݐ ൅ ቀࡼ૜െ ࡼ૛െ గିଶ ସିగሺࡼ૛െ ࡼ૚ሻ •‹ ݐቁቃ (9)

W pracy [2] zastosowano krzyw (7) do wyra enia wspórzdnych krzywej przejciowej w ukadzie x, y oraz podano algorytm wyznaczania punktów kontrolnych

ሼࡼ࢏ሽ௜ୀ଴ଷ z uwzgldnieniem parametrów geometrycznych ukadu. W niniejszym artykule

krzywa (7) opisuje krzywizn krzywej przejciowej a punkty kontrolne ሼࡼ࢏ሽ௜ୀ଴ଷ ,

jednoznacznie definiujce krzywizn, wyznaczane s w procesie optymalizacji opisanym w sekcjach 3.1 i 3.2. Efektywno zastosowania algorytm roju czstek do wyznaczania punktów kontrolnych krzywych NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline curves) zostaa potwierdzona w pracy [3].

3.1. KRYTERIUM OPTYMALIZACJI

W pracach powiconych modelowaniu krzywizny [1, 8, 9, 10, 11, 12] minimalizacja oddziaywa dynamicznych stanowi zasadnicze kryterium. Autorzy [1, 10] dokonuj

oceny waciwoci dynamicznych krzywych przejciowych w oparciu o diagram LCA (Lateral Change of Acceleration).

W niniejszym artykule zastosowany zosta model oraz sposób oceny oddziaywa dynamicznych przedstawiony w pracach [7, 10]. Zasadniczym elementem analizy oddziaywa dynamicznych jest wyznaczenie wielkoci drga X(t) oraz wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym X’’(t) w rejonach, w których wystpuj zmiany poziomej krzywizny toru. W pracy [10] przedstawiono opis metody numerycznej stosowanej do wyznaczenia wielkoci drga X(t) przy zao eniu, e czynnikiem wymuszajcym drgania poprzeczne pojazdu szynowego s zmiany krzywizny poziomej toru.

Zastosowane kryterium ma znaczenie porównawcze, wyznaczajce kierunek procesu optymalizacji. W celu zbadania przydatnoci tego kryterium zostaa dokonana ocena wybranych krzywych: klotoidy, krzywej Blossa, sinusoidy, krzywej T11 opisanej w pracy [11] oraz krzywych G12 i G23, przedstawionych w pracy [12], zastosowanych jako krzywe przejciowe o dugoci l=100 m w poczeniu prostej z ukiem koowym o promieniu R, na którym wystpuje niezrównowa one przyspieszenie odrodkowe amax=0,6 m/s2.

Krzywizny wymienionych krzywych zostay przedstawione na rys. 3. Przebieg wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym X’’(t), stanowicy podstaw oceny waciwoci dynamicznych zosta przedstawiony na rys. 4-6.

Rys. 3. Krzywizny wybranych krzywych zastosowanych jako krzywe przejciowe (l=100 m)

Rys. 4. Przyspieszenie w ruchu drgajcym X’’(t): krzywa Blossa, sinusoida i krzywa T1

Na rys. 4 zaznaczono dwa rejony zwikszonych oddziaywa dynamicznych (pocztek i koniec krzywej przejciowej). Przebieg wyznaczonego przyspieszenia wskazuje na wyra nie lepsze waciwoci dynamiczne sinusoidy i krzywej T1 (mniejsze amplitudy zmian przyspieszenia w rejonach pocztkowym i kocowym krzywych – na rys. 4 praktycznie niedostrzegalne) w porównaniu do krzywej Blossa, której krzywizna opisana

 1

krzywa Tari-1 o nieliniowej zmianie krzywizny opisanej wielomianem stopnia pitego zmiennej l 2

zmiana krzywizny opisana wielomianem stopnia drugiego zmiennej l 3

jest wielomianem stopnia trzeciego zmiennej l (zale no waciwoci dynamicznych od klasy funkcji opisujcej krzywizn [7]).

Zdecydowanie mniej korzystne waciwoci dynamiczne stwierdzone zostay w odniesieniu do klotoidy oraz krzywych G1 i G2. Na rys. 5-6 przedstawiono przebieg wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym w rejonie pocztkowym krzywej przejciowej (poczenie prostej z krzyw) oraz kocowym (poczenie krzywej przejciowej z ukiem koowym).

 

Rys. 5. Przyspieszenie w ruchu drgajcym X’’(t) w rejonie pocztkowym: klotoida,

krzywe G1 i G2

Rys. 6. Przyspieszenie w ruchu drgajcym X’’(t) w rejonie kocowym: klotoida,

krzywe G1 i G2

Krzywa G1 posiada korzystne waciwoci dynamiczne w rejonie pocztkowym, kosztem zdecydowanie niekorzystnych waciwoci w rejonie kocowym. Krzywa G2 posiada lepsze waciwoci dynamiczne w rejonie kocowym ni klotoida, za cen zdecydowanie najgorszych waciwoci w rejonie pocztkowym.

Wnioski wynikajce z analizy przebiegu wypadkowego przyspieszenia przeo one zostay na wartoci kryterium u ywanego w procesie optymalizacji (tabela 1).

Tabela 1

Wartoci kryterium dynamicznego w odniesieniu do wybranych krzywych

Typ krzywej Warto kryterium Typ krzywej Warto kryterium

Klotoida 52,1561 T1 (krzywa Tari-1

[11]) 0,0507 Krzywa Blossa 1,1580 G1 (krzywa [12]) 52,2726

Sinusoida 0,0335 G2 (krzywa [12]) 438,5470

Uzyskane wartoci, wyra ajce przewag krzywych: sinusoidy i krzywej Tari-1 nad klotoid oraz krzywymi G1 i G2 potwierdzaj przydatno sformuowanego kryterium. Na podstawie danych z tabeli 1 nale y spodziewa si, e w procesie optymalizacji

opartym na opisanym kryterium dynamicznym uzyskiwane bd nieliniowe, symetryczne krzywizny (kryterium w równym stopniu uwzgldnia oddziaywania wystpujce w rejonie pocztkowym jak i w kocowym krzywej).

Kryterium (10) stosowane w procesie optymalizacji d cym do wyznaczenia krzywizny krzywej przejciowej w ukadzie geometrycznym przedstawionym na rys. 1, oprócz waciwoci dynamicznych uwzgldnia równie minimalizacj wymaganego przesunicia uku o rodku C2, poprzez minimalizacj odlegoci pomidzy punktami C i C2.

ܨܨ ൌ ݓௗ׬_଴௟ାఋܺᇱᇱሺݐሻ ൅ ݓ௣ԡܥ െ ܥଶԡ ՜ ݉݅݊ (10)

gdzie wd i wp stanowi arbitralnie dobierane przez projektanta wagi, G - odcinek uku, na

którym wystpuj oddziaywania dynamiczne po zje dzie z krzywej przejciowej o dugoci l.

3.2. ALGORYTM OPTYMALIZACJI

W procesie optymalizacji zastosowany zosta algorytm roju czstek (Particle Swarm

Optimization) opisany w pracy [6], dziaajcy w oparciu o populacj czstek poruszajcych

si w przestrzeni rozwiza. Ka da czstka (tabela 2) reprezentuje potencjalne rozwizanie problemu – szukan krzywizn, opisan w sposób jednoznaczny wspórzdnymi punktów kontrolnych ሼࡼ࢏ሽ௜ୀ଴ଷ (rys. 2).

Tabela 2

Struktura czstki

P0x=0 P1x P2x P3x P0y=k1 P1y P2y P3y=k2

Czstki zmieniaj swoje poo enie w kierunku uzale nionym od najlepszego dotychczasowego poo enia czstki, od najlepszego dotychczasowego poo enia czstek ssiednich oraz wasnej prdkoci. Modyfikacja prdkoci czstki nastpuje zgodnie z formu (11):

ݒ௜ௗൌ ߱ ൈ ݒ௜ௗ൅ ܥଵൈ ܴܽ݊݀ሺሻ ൈ ൫݌௜ௗ௕௘௦௧െ ݌௜ௗ൯ ൅ ܥଶൈ ܴܽ݊݀ሺሻ ൈ ൫݌௚ௗ௕௘௦௧െ ݌௜ௗ൯ (11)

gdzie: ߱ – wspóczynnik inercji, zmieniajcy si w czasie zgodnie z formu (12):

߱ ൌ ߱௠௔௫െ ݊ ൈఠ೘ೌೣିఠ೘೔೙

ே (12)

N – maksymalna liczba iteracji algorytmu; n – numer bie cej iteracji;

ܥଵǡܥଶ– wspóczynniki uczenia: indywidualny i grupowy;

Rand() – funkcja losowa generujca liczb losow z przedziau (0,1);

݌௜ௗ௕௘௦௧ _{– najlepsze dotychczasowe poo enie czstki;}

Modyfikacja poo enia czstki nastpuje zgodnie z formu ݌௜ௗൌ ݌௜ௗ൅ ݒ௜ௗ. Schemat dziaania algorytmu roju czstek zosta przedstawiony na rys. 7.

Rys. 7. Schemat dziaania algorytmu roju czstek

4. WYNIKI

Proponowan metod modelowania krzywizny zastosowano do wyznaczenia krzywej przejciowej czcej dwa uki koowe 1 i 2 o zgodnej krzywi nie (tabela 3). uk 2

poo ony jest wewntrz uku 1; poo enie rodka C2uku 2 zostao wyznaczone w toku

konstruowania krzywej typu K0 za pomoc uniwersalnej metody modelowania krzywizny.

Tabela 3

Parametry geometryczne ukadu uków koowych zgodnych

Poo enie rodka uku Promie uku R [m]

C1 (0;700) R1 700

C2 (41,22; 506,42) R2 500

Proponowana metoda dziki zastosowaniu skadnika ݓ_௣ԡܥ െ ܥ_ଶԡ ՜ ݉݅݊ w kryterium optymalizacji (10) pozwala na uzyskiwanie rozwiza nie wymagajcych przesuwania rodka uku 2 – poo enie rodka C2 traktowane jest jako parametr opisujcy ukad

geometryczny. Stanowi to du y atut metody: poprzez zmiany wagi ݓ_௣ w procesie optymalizacji projektant mo e d y do uzyskania krzywizny opisujcej krzyw przejciow, której zastosowanie zachowa zakadane poo enie rodka uku 2.

Generacja populacji pocztkowej

Ocena Modyfikacja ݌௜ௗ௕௘௦௧ǡ ݌௚ௗ௕௘௦௧ Modyfikacjaݒ௜ௗi݌௜ௗ Transformacja pokolenia n w n+1 n = 1

W wyniku przeprowadzenia 2 procesów optymalizacji o liczbie iteracji n=200 ka dy w oparciu o kryterium (10) z wagami zaprezentowanymi w tabeli 4 otrzymano punkty kontrolne krzywych opisujce krzywizny (rys. 8). Przyjto P0x=0,P0y=1/R1,P3y=1/R2.

Tabela 4

Wspórzdne punktów kontrolnych wynikowych krzywizn

Lp P1x P2x P3x P1y P2y

1 1 2 91,76 127,16 392,03 0,001428892 0,001999588 2 1 0,1 143,21008 143,2101 301,03 0,001428572 0,001999805

Rys. 8. Krzywizny otrzymane w procesie optymalizacji Rys. 9. Przyspieszenie w ruchu drgajcym X’’(t)

Na podstawie wynikowych krzywizn, za pomoc równa (4-6) wyznaczone zostay wspórzdne krzywych przejciowych (rys. 10), których parametry zostay przedstawione w tabeli 5.

Tabela 5

Parametry wynikowych krzywych przejciowych

lp Kryterium dynamiczne Przesunicie rodka uku 2 [m] Wspórzdne punktu stycznoci krzywej z ukiem 2 [m] Nachylenie stycznej w punkcie kocowym krzywej przejciowej Dugo krzywej [m] 1 1 2 1,57047 0,0001965 (363,29; 123,96) 0,6998911 392,06 2 1 0,1 0,5904005 1,0011463 (289,04; 71,05) 0,51801 301,11

Rys. 10. Wynikowe krzywe przejciowe na tle krzywej typu K0 Rys. 11. Przebieg procesów optymalizacji nr 1 i 2

Przebieg procesów optymalizacji zosta przedstawiony na rys. 11. Krzywa uzyskana w procesie 1, w którym wikszy nacisk poo ony zosta na minimalizacj wymaganego przesunicia rodka uku 2 posiada mniej korzystne waciwoci dynamiczne ni krzywa

uzyskana w procesie 2, w którym zasadniczym celem optymalizacji wyra ony stosunkiem wag wd/wp bya minimalizacja oddziaywa dynamicznych. Warto kryterium

dynamicznego zwizana jest z przebiegiem wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym X’’(t) , przedstawionego na rys. 9. Obie uzyskane krzywe posiadaj lepsze waciwoci dynamiczne ni krzywa typu K0 (warto kryterium w odniesieniu do krzywej typu K0 wynosi 52,16).

5. WNIOSKI

Przedstawiona w artykule metoda modelowania krzywizny pozwala na elastyczne ksztatowanie krzywych przejciowych o korzystnych waciwociach dynamicznych przy spenieniu warunków geometrycznych ukadu (zachowanie poo enia rodka uku 2,

zachowanie warunku zgodnoci stycznych w punktach poczenia krzywej z ukiem). Przeprowadzone przy pomocy algorytmu roju czstek (Particle Swarm Optimization) procesy optymalizacji, zmierzajce do wyznaczenia punktów kontrolnych szeciennej krzywej C-Bezier (cubic C-Bezier curve) wykazay wysok efektywno algorytmu PSO do modelowania krzywizny ukadu geometrycznego toru oraz przydatno zastosowania szeciennej krzywej C-Bezier do opisu krzywizny ukadu geometrycznego toru.

Bibliografia

1. Baykal, O, TarÈ E, CoÉkun Z, Êahin M, A New Transition Curve Joining Two Straight Lines, Journal of Transportation Engineering, ASCE, 123(5),337-345, 1997.

2. Cai H., Wang G.: A new method in highway route design: joining circular arcs by a single C-Bezier curve with shape parameter. Journal of Zhejiang University Science A 2009, 10(4).

3. Delint I, Siti M., Aida A.: Particle Swarm Optimization for NURBS curve fitting. Proceedings of the 2009 Sixth International Conference on Computer Graphics, Imaging and Visualization, pp. 259-263. DOI 10.1109/CGIV.2009.64

4. Habib Z., Sakai M.: G2 _{Pythagorean hodograph quintic transition between two circles with shape control.} Computer Aided Geometric Design 2007, nr 24.

5. Habib Z., Sakai M.: On PH quantic spirals joining two circles with one circle inside the other. Computer-Aided Design 2007, nr 39.

6. Kennedy J., Eberhart R.: Swarm intelligence, Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, 2001. 7. Koc W.: Elementy teorii projektowania ukadów torowych, Wydawnictwo Politechniki Gdaskiej,

Gdask 2004.

8. Koc W., Palikowska K.: Ocena dynamiki wybranych sposobów czenia elementów trasy o zró nicowanej krzywi nie, XVI Midzynarodowa Konferencja Naukowa "Komputerowe Systemy Wspomagania Nauki, Przemysu i Transportu  TransComp", Zakopane 2012.

9. Koc W., Palikowska K.: Analiza sposobów modelowania krzywizny - krzywe Bezier a metoda analityczna. Zeszyty Naukowo-Techniczne SITK nr 3(99), s. 225-237, Kraków 2012.

10. Palikowska K.: Projektowanie ukadów geometrycznych toru kolejowego z zastosowaniem programowania ewolucyjnego, Rozprawa doktorska, Politechnika Gdaska 2002.

11. Tari, E.: The new generation transition curves. ARI 54(1), Istanbul Technical University 2003.

12. Tasci, L., Kuloglu N.: Investigation of a new transition curve. The Baltic Journal of Road and Bridge Engineering 6(1) 2001: 2329. DOI: 10.3846/bjrbe.2011.04

13. Zhang J.: C-curves: an extension of cubic curves. Computer Aided Geometric Design 13(3) 1996:199-217, DOI: 10.1016/0167-8396(95)00022-4.

MODELING OF CURVATURE OF RAILWAY TRACK GEOMETRICAL LAYOUT USING PARTICLE SWARM OPTIMIZATION

Summary: A method of railway track geometrical layout design, based on application of cubic C-Bezier curves to describe the layout curvature has been presented in the article. The control points of a cubic C-Bezier curve have been obtained as a result of an optimization process carried on using Particle Swarm Optimization algorithm. The optimization criteria have been based on the evaluation of the dynamic interactions and fulfillment of geometrical design conditions.