Wykład 14. Elementy algebry macierzy— 21.01.08 Układ równa´n z dwoma niewiadomymi

21  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Wykład 14. Elementy algebry macierzy— 21.01.08 Układ równa ´n z dwoma niewiadomymi

Rozwa˙zmy układ równa´n z dwoma niewiadomymi:

a11x + a12y = h1 a21x + a22y = h2. a11, a12, a21, a22 s ˛a znane, x i y s ˛a niewiadomymi.

Je˙zeli pierwsze z równa´n pomno˙zymy przez a22 a drugie przez a12, a nast˛epnie odejmiemy drugie równanie od pierwszego, otrzymamy:

(a11a22 − a12a21)x = h1a22 − h2a12. Je´sli a11a22 − a12a21 6= 0, to

x = h1a22 − h2a12

(2)

Układy równa ´n i poj˛ecie macierzy

Analogicznie:

y = h2a11 − h1a12 a11a22 − a12a21

Problem. W jaki sposób uogólni´c te wzory na przypadek układu n równa´n z n niewiadomymi?

U˙zyteczne jest w tym celu poj˛ecie macierzy.

Definicja 1 Macierz ˛a A wymiaru m × n nazywamy tablic˛e liczb:

A =

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n

... ... . .. ... am1 am2 ... amn

(3)

Poj˛ecie macierzy— c.d.

Macierz A (w Definicji 1) składa si˛e z m wierszy i n kolumn.

Skrócony zapis:

A = (aij)(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n).

Je´sli m = n, to macierz jest kwadratowa, a n nazywamy jej stopniem.

(4)

Macierze diagonalne

Wa˙zna klasa macierzy kwadratowych: macierze diagonalne (przek ˛atniowe) postaci

D =

d1 0 · · · 0 0 d2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 ... dn

= diag(d1, d2, . . . , dn)

Macierz jednostkowa (identyczno´sciowa) In jest okre´slona wzorem In = diag(1, 1, . . . , 1).

(5)

Wektory i macierze

Wektor kolumnowy x = (xi)(i = 1, 2, . . . , m) : macierz składaj ˛aca si˛e z jednej kolumny.

x =

x1 x2 ... xm

(6)

Macierze— przykłady

Wektor kolumnowy x = (xi)(i = 1, 2, . . . , m) : macierz składaj ˛aca si˛e z jednej kolumny.

 2 3 5

,

1 3 −8 0

−10 2 4 3

−2 5 −4 6

,

1 3 −8

−10 2 4

12 1 5

,

1 0 0 1

.

Macierze: 3 × 1 (wektor kolumnowy) , macierz wymiaru 3 × 4, macierz kwadratowa stopnia 3, macierz identyczno´sciowa stopnia 2.

(7)

Operacje na macierzach

Dla macierzy A i B wymiaru m × n

A = (aij)(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n), B = (bij)(i = 1, 2, . . . , m) sum˛e C = (cij)(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) okre´slamy wzorem

cij = aij + bij.

Dla macierzy A = (aij)(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) i

B = (bjk)(i = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , p) okre´slony jest ich iloczyn C = (cik)(i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , p) wzorem

cik =

n

X

j=1

aijbjk, i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , p.

(8)

Zapis macierzowy układu równa ´n

Układ równa´n

a11x + a12y = h1 (1)

a21x + a22y = h2 (2)

mo˙zna zapisa´c w postaci:

Av = h, gdzie

A =

a11 a12 a21 a22

, v =

x y

, h =

h1 h2

.

(9)

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Dla macierzy kwadratowej (aij)(i = 1, 2, . . . , 2; j = 1, 2, . . . , 2) stopnia 2, jej wyznacznik, oznaczony symbolem |A| (lub det A) definiujemy wzorem:

|A| = a11a22 − a12a21.

Dla macierzy kwadratowej A stopnia 3, A = (aij)(i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) jej wyznacznik definiujemy wzorem:

|A| = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a12a21a33−a11a23a32−a13a22a31. (3) Wyznacznik macierzy kwadratowej st. n— suma n! składników.

(10)

Wyznacznik macierzy— zastosowanie do rozwi ˛ azywania układu równa ´n

Rozwi ˛azanie układu równa´n (1)–(2) mo˙zna zapisa´c w postaci:

x = |A1|

|A| , y = |A2|

|A| , gdzie

A1 =

h1 a12 h2 a22

,

A2 =

a11 h1 a21 h2

.

Zakładamy, ˙ze |A| 6= 0. Dla układów równa´n z liczb ˛a niewiadomych > 2

— analogiczne wzory.

(11)

Inne metody rozwi ˛ azywania układów równa ´n

• eliminancja Gaussa; por. [Bed04, str. 170–171];

• metody oparte na tzw. dekompozycjach macierzowych (np. QR).

(12)

Macierze i przekształcenia płaszczyzny

Przekształcenia płaszczyzny, takie jak: symetria wzgledem osi OX lub obrót o k ˛at α wzgl˛edem ´srodka układu współrz˛ednych, mo˙zna opisa´c przy u˙zyciu macierzy stopnia 2.

Np. punktowi P = [xy] w wyniku obrotu płaszczyzny o k ˛at α zostanie przyporz ˛adkowany punkt P0 = h

x0 y0

i ,

x0 y0

 =

cos α − sin α sin α cos α

x y

.

Mno˙zenie macierzy— odpowiada składaniu przekształce´n. Oznaczmy macierz obrotu o k ˛at α przez Rα,

Rα =

cos α − sin α sin α cos α

.

(13)

Macierze i przekształcenia płaszczyzny— c.d.

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze

Rα+β = RαRβ

dla dowolnych k ˛atów α i β. Macierz I = (1 00 1) odpowiada przkształceniu identyczno´sciowemu płaszczyzny.

(14)

Macierz odwrotna

Macierz kwadratow ˛a A nazywamy nieosobliw ˛a, je´sli |A| 6= 0.

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze je´sli A jest macierz ˛a nieosobliw ˛a stopnia n, to istnieje dokładnie jedna macierz B spełniaj ˛aca równo´s´c:

AB = In.

Macierz B (spełniaj ˛ac ˛a powy˙zsz ˛a równo´s´c) nazywamy macierz ˛a odwrotn ˛a do A i oznaczamy symbolem A−1.

(15)

Obliczanie macierzy odwrotnej

• jawna posta´c macierzy odwrotnej— mo˙zna j ˛a wyrazi´c wykorzystuj ˛ac poj˛ecie wyznacznika;

• praktyczny sposób obliczania wyznacznika macierzy odwrotnej—

metoda elementarna (por. [Bed04, str. 165]).

(16)

Obliczanie macierzy odwrotnych dla macierzy kwadratowych stopnia 2 i 3

Dla macierzy nieosobliwej A = a b

c d



A−1 = 1

|A|

d −c

−b a

, dla macierzy nieosobliwej

A =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

(17)

mamy

A−1 = 1

|A|

|aa2232 aa2333 | |aa1333 aa1232 | |aa1222 aa1323 |

|aa2333 aa2131 | |aa1131 aa1333 | |aa1323 aa1121 |

|aa2131 aa2232 | |aa1232 aa1131 | |aa1121 aa1222 |

.

(18)

Zastosowanie do rozwi ˛ azywania układu równa ´n liniowych

Jeste´smy zainteresowani rozwi ˛azaniem układu równa´n:

Av = h, (4)

gdzie A jest macierz ˛a nieosobliw ˛a stopnia n ­ 2, h jest znanym wektorem n-wymiarowym, v jest n-wymiarowym wektorem niewiadomych.

Rozwi ˛azaniem układu równa´n (4) jest

v = A−1h.

Obliczanie macierzy odwrotnej przy u˙zyciu tego wzoru zalecane, gdy chcemy rozwi ˛aza´c równanie (4) dla kilku warto´sci h (macierz A si˛e nie zmienia).

(19)

Zastosowanie– znajdowanie równania paraboli przechodz ˛ acej przez zadane trzy punkty.

Chcemy znale´z´c równanie paraboli, której równanie dane jest wzorem y = ax2 + bx + c, przechodz ˛acej przez punkty P1 = (x1, y1),

P2 = (x2, y2), P3 = (x3, y3). Zakładamy, ˙ze P1, P2 i P3 nie le˙z ˛a na jednej prostej.

Problem sprowadza si˛e do znalezienia rozwi ˛azania układu równa´n:

Av = y, gdzie

A =

1 x1 x21 1 x2 x22 1 x3 x23

, v =

c b a

, y =

y1 y2 y3

.

(20)

wynika, ˙ze x1, x2 i x3 s ˛a ró˙zne (od siebie wzajemnie); mo˙zna pokaza´c, ˙ze st ˛ad wynika, ˙ze wyznacznik macierzy A jest ró˙zny od 0, a zatem do

znalezienia rozwi ˛azania układu równa´n mo˙zna zastosowa´c podany na wykładzie wzór na obliczanie macierzy odwrotnej do macierzy

kwadratowej stopnia 3.

Metody algebry macierzowej znajduj ˛a zastosowanie zagadnie´n zwi ˛azanych z „dopasowywaniem równa´n do danych” (np. nale˙zy „dopasowa´c” parabol˛e do punktów P1 = (x1, y1), . . . , Pn = (xn, yn), gdzie n > 3).

(21)

Polecana literatura

[Bed04] Tadeusz Bednarski, Elementy matematyki w naukach ekonomicznych, Oficyna Ekonomiczna 2004, Rozdz. 5.

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :