Sieci ewoluujące:od fizyki do Internetu

21  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Agata Fronczak i Janusz A. Hołyst

Sieci ewoluujące:

od fizyki do Internetu

Wykład z Sieci: 21 lutego 2007

Pracownia Dynamiki Nieliniowej Układów ZłoŜonych

Co oznacza termin „układ złoŜony”

(complex system, complexity)

Main Entry: 1complex Function: noun

Etymology: Late Latin complexus totality, from Latin, embrace, from complecti

Date: 1643

1 : a whole made up of complicated or interrelated parts A popular paradigm:Simple systems display complexbehavior

• nonlinear systems

• chaos

• fractals

3 Body Problem

Earth( ) Jupiter ( ) Sun ( )

(2)

sieci regularne –

 węzły o stałej liczbie koordynacyjnej

 symetria translacyjna

przykład: sieci Bravais’go

sieci przypadkowe –

 rozkład stopni wierzchołków

 brak symetrii translacyjnej

sieci ewoluujące –

 sieci zmienia się w czasie – rośnie

przykład: WWW, Internet, sieci transportowe, sieci społeczne, ...

pytanie: czy istnieją jakieś niezaleŜne od czasu charakterystyki sieci ?

( )

k P

Modele sieci

Przykłady sieci rzeczywistych – WWW

Struktura sieci WWW w domenie www.if.pw.edu.pl

(3)

Przykłady sieci rzeczywistych – Internet

Mapa Internetu http://www.caida.org/

Przykłady sieci rzeczywistych –

Sieci transportowe - Sieć komunikacji miejskiej

1 2

3 4

5 6

7

8

linia A 9 linia B

Sieć przystanków

(4)

Ziemia wciąŜ rozwija swój elektroniczny system nerwowy, siećzbudowaną z róŜnych węzłówi połączeńmiędzy tymi węzłami

• komputery

• rutery

• satelity

• telefony

•linie telefoniczne

• kable TV

• mikrofale

Sieci komunikacyjne: zbudowane z z wielu komponentów (węzłów) o róŜnej liczbie połączeń Sieci komunikacyjne

Społeczeństwo

Węzły:ludzie

Połączenia:relacje przyjaźni, pokrewieństwa, znajomości w pracy (na uczelni) etc.

Milgram (1967): paradygmat „sześciu stopni separacji”

(5)

Sieci małych światów

„Small-world” networks

Pierwszy eksperyment socjometryczny badający strukturę sieci społecznej wykonany w latach sześćdziesiątych w USA (Milgram & Travers).

Adresat- makler giełdowy pracujący w Bostonie;

Nadawcy- ok. 100 osób z Bostonu + ok. 100 maklerów giełdowych z Omaha (Nebraska) + ok. 100 osób z Omaha (Nebraska);

Wyniki badań- ok. 20% listów dotarło do celu; średnia droga jaką pokonał kaŜdy z listów l ~ 6.5

[1] Travers & Milgram „An experimental study of the small world problem”

(Sociometry, 1969)

[2] Kirby & Sahre„Six degrees of Monica”

(New York Times, February 21, 1998) [3] Watts & Strogatz, „Collective dynamics

of ‘small-world’ networks”

(Nature vol.393, page 440, 1998) [4] Newman et al. „Mean-field solution for

the small-world network model”

(Phys. Rev. Lett. 84, 2000, p.3201 )

Sieci małych światów

„Small-world” networks

(6)

http://www.caida.org/

Sieć WWW: World Wide Web metodyka badań

800 million documents (S. Lawrence, 1999)

ROBOT:

collects all URL’s found in a document and follows them recursively

Układ złoŜony

Zbudowany z wielunieidentycznych elementów powiązanych ze sobą

róŜnymi interakcjami (nie tylko połączenia fizyczne!)

SIEĆ

(7)

Własności sieci rzeczywistych

 Sieci rzeczywiste są „rzadkie”

 Sieci rzeczywiste są „silnie zgronowane”

 Sieci rzeczywiste są „małymi światami”

 Wykazują potęgowy rozkład stopni wierzchołków przy czym wykładnik skalowania ; uwaga

N k <<

N l <<

) 3 , 2 ( α∈

≤ 1 C

α

k

k P( )~

=

limN k2

Internet

(Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999) Węzły: komputery / rutery/

systemy autonomiczne

Połączenia: fizyczne połączenia

(8)

Sieć aktorów filmowych

Węzły: aktorzy

Połączenia: jeśli aktorzy byli w obsadzie tego samego filmu

N = 212 250

〈〈〈〈k〉〉〉〉 = 28.78

P(k) ~k

-γγγγ

Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999)

γγγγ=2.3

Science Citation Index

(γγγγ = 3)

(S. Redner, 1998)

P(k) ~k

-γγγγ

1736 PRL papers (1988)

2212 25

Witten-Sander PRL 1981 Węzły: artykuły

Połączenia: cytowania

(9)

Mapa Współpracy Naukowej:

naukowcy zajmujący się sieciami złoŜonymi

(Newman, 2000, H. Jeong et al 2001)

Sieci zaleŜności pokarmowych (food webs)

R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000) R. Sole (cond-mat/0011195)

Węzły: gatunki

Połączenia: relacje drapieŜnik - ofiara

(10)

Rys. Rozkład liczby partnerów seksualnych dla kobiet i męŜczyzn w Szwecji (18-74)

a) w ciągu ostatnich 12 miesięcy α(k)=2.54, α(m)=2.31 b) w ciągu całego Ŝycia α(k)=2.1, α(m)=1.6.

Rozkład stopni wierzchołkówP(k)

Rozkład wielkości kredytów międzybankowych

Rynek transakcji międzybankowych w Austrii

(11)

Co to wszystko ma wspólnego z fizyką ?

Co to jest fizyka ?

Fizyka ... filozofia natury, opis i przewidywanie zjawisk

Dlaczego potęgowe rozkłady stopni wierzchołków są waŜne ? Dlaczego o takich rozkładach mówi się, Ŝe są

bezskalowe, samopodobne?

Highway network Air traffic system

(12)

W pobliŜu punktu krytycznego układy stają się samopodobne

w przestrzeni rzeczywistej –tzn. są fraktalami

w funkcji odległości od punktu krytycznego –tzn. są opisane prawami potęgowymi

Zjawiska krytyczne

- hipoteza skalowania, metoda grupy renormalizacji

Metoda grupy renormalizacyjnej w zastosowaniu do modelu Isingana sieci kwadratowej

Rysunek przedstawia metodę renormalizacji przestrzeni wykorzystaną na następnych rysunkach:

1) sieć kwadratową obrazującą pierwotną konfigurację spinów a dzieli się na komórki renormalizacyjne zawierające x2=9 spinów sia

2) konfigurację b otrzymuje się w ten sposób, Ŝe kaŜdą komórkę renormalizacyjną zastępuje się jednym zrenormalizowanym spinem.

3) postępując według powyŜszych wskazówek moŜna wykonywać kolejne renormalizacje.

(13)

Samopodobieństwoukładu spinów Isinga na sieci kwadratowej

W punkcie krytycznym układ jest SAMOPODOBNY

we wszystkich skalach obserwacji.

Nie zmienia swoich własności podczas renormalizacji

Większość sieci rzeczywistych jest samopodobna (rozkład stopni wierzchołków jest niezmienniczy z uwagi na procedurę renormalizacyjną)

Sieci posiadają dobrze określony wymiar fraktalny !

(14)

Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złoŜonych Dlaczego waŜna jest struktura sieci złoŜonych ?

2. Netwars

 Jak walczyć z grupami przestępczymi ?

(gangi młodzieŜowe, dealerzy narkotyków, organizacje terrorystyczne) 1. Zagadnienie odporności sieci

 Czy Internet jest odporny na przypadkowe błędy węzłów / połączeń i celowe ataki hakerów ?

(sieci metaboliczne, sieci zaleŜności pokarmowych itd.)

3. Epidemiologia

 Czy struktura sieci społecznych ma wpływ na rozprzestrzenianie się chorób zakaźnych ?

 Czy struktura Internetu i sieci e-mail’owych ułatwia rozprzestrzenianie się wirusów komputerowych ? (worms, SASSER)

PERKOLACJA

ODPORNO ODPORNO ODPORNO

ODPORNOŚĆ ŚĆ ŚĆ ŚĆ SIECI SIECI SIECI SIECI

R.Albert, H. Yeong, A-L.Barabasi

Error and attack tolerance of complex networks NATURE vol. 406, p378

Atak na sieć– usunięcie

(zablokowanie) najwaŜniejszych (najlepiej usieciowionych węzłów) Przypadkowy błąd węzła / krawędzi losowy węzeł / krawędź ulega zablokowaniu (awarii itp.)

W Internecie stale jest zablokowanych ok.

5% routerów.

DuŜy komponent (S~N) Sieć prawiespójna.

DuŜy komponent (S<<N) Sieć niespójna.

(15)

NETWARS NETWARS NETWARS NETWARS

Sieci rzeczywiste – Struktura gangu młodzieŜowego

NETWARS NETWARS NETWARS NETWARS

Sieci rzeczywiste – Sieć dealerów narkotykowych

(16)

V.E. Krebs

Mapping Networks of Terrorist Cells Connections 24(3): 43-52

Analiza sieci 19 terrorystów, którzy wzięli udział w zamach na World Trade Center we wrześniu 2001 r.

Trusted Prior Contacts Network połączenia między terrorystami zostały ustanowione na podstawie tzw. podstawowych kontaktów – np.

znajomości szkolne, wspólnie odbyty kurs pilotaŜu.

Charakterystyki sieci:

1) Sieć wyjątkowo rzadka;

2) Rozmiar N=19 3) Średnia droga l=4.75

4) Współczynnik gronowania C=0.4 Przemówienie Osamy bin Ladena ... Those who were trained to fly didn’t know the others. One group of people did not know the other group ...

(17)

Meeting ties - połączenia koordynacji projektem – spotkanie w Las Vegas na tydzień przed zamachem.

W spotkaniu wzięli udział

przedstawiciele wszystkich czterech komórek terrorystycznych

NajbliŜsze Otoczenie Terrorystów zaopatrzenie / pieniądze / informacja

W tej strukturze Mahomed Attaujawnia się jako rzeczywisty lider terrorystów.

Widoczne jest takŜe silnie sklastrowana terrorystyczna komórka pracująca w Hamburgu (Niemcy), z której wywodził sięM.Atta

Wnioski

1) Ukryte / przestępcze sieci nie zachowują się jak zwykłe sieci społeczne.

2) DąŜenie do minimalizacja kontaktów utrudnia identyfikację prawdziwych połączeń.

3) W sieci takiej istnieją silne powiązania, które przez długi czas mogą pozostawać w spoczynku (np. przeszłe zobowiązania, znajomości szkolne itd).

(18)

EPIDEMIOLOGIA EPIDEMIOLOGIA EPIDEMIOLOGIA EPIDEMIOLOGIA

Sieci rzeczywiste – Internet – wirus Code Red Worm

Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złoŜonych Dlaczego waŜna jest struktura sieci złoŜonych ?

Przykłady:

1. Szum 1/f

2. Lawiny śniegu, trzęsienia ziemi 3. PoŜary lasów

4. Plamy na słońcu

5. Masowe wymieranie gatunków 6. Gra „life”

Dynamika uk Dynamika ukDynamika uk

Dynamika ukłłłładu spontanicznie prowadzi adu spontanicznie prowadzi adu spontanicznie prowadzi adu spontanicznie prowadzi ukukuk

ukłłłład do stanu krytycznego.ad do stanu krytycznego.ad do stanu krytycznego.ad do stanu krytycznego.

Samoorganizuj Samoorganizuj Samoorganizuj

Samoorganizująąąąca si ca si ca si ca sięęęę krytyczno krytyczno krytyczno krytyczność ść ść ść SOC SOC SOC SOC

(19)

Dynamika uk Dynamika uk Dynamika uk

Dynamika ukłłłładu spontanicznie prowadzi ukadu spontanicznie prowadzi ukadu spontanicznie prowadzi ukadu spontanicznie prowadzi ukłłłład do stanu krytycznego.ad do stanu krytycznego.ad do stanu krytycznego.ad do stanu krytycznego.

b a

t t P

s s P

~ ) (

~ ) (

Sandpile Sandpile Sandpile

Sandpile model: model: model: model:

model sterty piachu

•Ryzyko systemowe, system rezerw -systemic risk

•ZakaŜenie systemu finansowego –contagion

•Kryzysy finansowe –financial crises

Utrata p Utrata pUtrata p

Utrata płłłłynnoynnoynnoynnośśśści ( bankructwo) ci ( bankructwo) ci ( bankructwo) ci ( bankructwo) jednego (kilku ) bank jednego (kilku ) bankjednego (kilku ) bank jednego (kilku ) bankóóóówwww

Kryzys systemu finansowego Kryzys systemu finansowego Kryzys systemu finansowego Kryzys systemu finansowego

Wielka Depresja 1931 Wielka Depresja 1931 Wielka Depresja 1931 Wielka Depresja 1931----32; 32; 32; 32;

Kryzys Azjatycki 1999;

Kryzys Azjatycki 1999;

Kryzys Azjatycki 1999;

Kryzys Azjatycki 1999;

Efekt domino

Rynek transakcji międzybankowych

(20)

ryzyko systemowe wielkie wymierania

? Meteoryt ? Wielkie zlodowacenie ? Katastrofa ekologi

? Meteoryt ? Wielkie zlodowacenie ? Katastrofa ekologi

? Meteoryt ? Wielkie zlodowacenie ? Katastrofa ekologi

? Meteoryt ? Wielkie zlodowacenie ? Katastrofa ekologiczna (metan) ? SOC ? czna (metan) ? SOC ? czna (metan) ? SOC ? czna (metan) ? SOC ?

Sieci zaleŜności pokarmowych

P PáállErdöErdöss (1913-1996)

Modele sieci

Klasyczne grafy przypadkowe Erdosa-Renyi (ER)

Procedura konstrukcyjna

Liczba wierzchołków jest stała, Każda para węzłów jest połączona krawędzią z prawdopodobiństwemp

Rozkład stopni wierzchołków jest opisany rozkładem dwumianowym (rozkładem Poissona)

Model demokratyczny zupełnie losowy

) !

! exp(

) )( exp(

)

( k

k k k

pN pN k

P

k

k < >

>

<

=

(21)

Modele sieci

Sieci ewoluuj Sieci ewoluuj Sieci ewoluuj

Sieci ewoluująąąące ce ce Barabce BarabBarabáááásiBarab sisisi –––– Albert (BA)Albert (BA)Albert (BA)Albert (BA)

Procedura konstrukcyjna Liczba wierzchołków nie jest stała, ale zmienia się w czasie –sieć rośnie

Nowe połączenia nie są przyłączane losowo –obowiązuje reguła preferencyjnego dołączania

3

2

2

)

( k

k m P =

Rozkład stopni wierzchołków jest opisany prawem potęgowym Albert

Albert--LaszloLaszloBarabasiBarabasi (1967)

Dzi Dzi

Dzi Dzięęęękuj kuj kuj kujęęęę za uwag za uwag za uwagęęęę za uwag

agatka@if.pw.edu.pl agatka@if.pw.edu.plagatka@if.pw.edu.pl agatka@if.pw.edu.pl http://

http://http://

http://www.if.pw.edu.pl/~agatkawww.if.pw.edu.pl/~agatkawww.if.pw.edu.pl/~agatka////www.if.pw.edu.pl/~agatka

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :