Podstawowe pojęcia dotyczące relacji
Mateusz Rapicki 13 grudnia 2016
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem.
Relacją w zbiorze X nazywamy dowolny zbiór r ⊆ X × X.
Relację r w zbiorze X nazywamy:
1. zwrotną, gdy ∀x∈X(x, x) ∈ r. Równoważnie, relacja r jest zwrotna, gdy idX⊆ r,
2. symetryczną, gdy ∀x,y∈X(x, y) ∈ r ⇔ (y, x) ∈ r. Równoważnie, relacja r jest symetryczna, gdy r = r−1, gdzie relacja r−1 jest zdefiniowana jako r−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ r},
3. przechodnią, gdy ∀x, y, z ∈ X(((x, y) ∈ r ∧ (y, z) ∈ r) ⇒ (x, z) ∈ r).
Relację r nazywamy relacją równoważności, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Niech r będzie relacją równoważności w zbiorze X. Dla x ∈ X definiujemy zbiór [x]r= {z ∈ X : (x, z) ∈ r}. Zbiór ten nazywamy klasą abstrakcji (lub klasą równoważności ) elementu x. Oczywiście
∀x,y∈X((x, y) ∈ r ⇔ [x]r= [y]r). Zbiór X/r = {[x]r: x ∈ X} nazywamy zbiorem ilorazowym relacji r.
Podziałem zbioru X nazywamy dowolną rodzinę P ⊆ P(X) spełniającą:
1. ∀A∈PA 6= ∅
2. ∀A,B∈PA 6= B ⇒ A ∩ B = ∅ 3. S P = X
Zachodzi następująca zasada abstrakcji :
1. Jeśli r jest relacją równoważności w zbiorze X, to X/r jest podziałem zbioru X.
2. Jeśli P jest podziałem zbioru X, to relacja r zdefiniowana jako r = {(x, y) ∈ X ×X : ∃Z∈P(x ∈ Z ∧ y ∈ Z)} jest relacją równoważności.
3. Jeśli r jest relacją równoważności w zbiorze X, to oznaczmy Φ(r) = X/r. Wówczas Φ jest bijekcją pomiędzy relacjami równoważności w zbiorze X a podziałami zbioru X.
1
