• Nie Znaleziono Wyników

Wykłady z równań różniczkowych zwyczajnych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wykłady z równań różniczkowych zwyczajnych"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Wykłady z równań różniczkowych zwyczajnych

7 lipca 2017 roku

(2)

Przedziałem ograniczonymprostej rzeczywistej nazywamy każdy podzbiór zbioru R postaci (a, b), ha, b), (a, bi lub ha, bi, gdzie −∞ < a < b < +∞. Przedziałem nieograniczonym prostej rzeczywistej nazywamy każdy podzbiór zbioru R postaci (−∞, b), (−∞, bi, (a, +∞), ha, +∞) lub (−∞, +∞), gdzie a, b ∈ R. Przedział ograniczony lub nieograniczony nazywamy krótko przedziałem. Według powyższej definicji zbiór jednoelementowy nie jest przedziałem. O takim zbiorze będziemy mówić, że jest przedziałem zdegenerowanym. O przedziale domkniętym ha, bi mówimy, że jest przedziałem (lub odcinkiem) o początku a i końcu b.

W dalszym ciągu wykładu symbolem I oznaczamy przedział prostej rzeczywistej.

Niech D będzie podzbiorem przestrzeni euklidesowej Rn+2 i niech F będzie funkcją rzeczywistą określoną na zbiorze D. Centralny problem teorii równań różniczkowych zwyczajnych streścić można następująco:

Znaleźć n-krotnie różniczkowalną funkcję ϕ określoną na pewnym przedziale I taką, że dla każdego argumentu x ∈ I punkt x, ϕ(x), ϕ(x), . . . , ϕ(n)(x)

∈ D i zachodzi tożsamość F x, ϕ(x), ϕ(x), . . . , ϕ(n)(x)

= 0.

Problem ten nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu i oznaczamy przez (R) F x, y, y, y′′, . . . , y(n)

= 0,

natomiast funkcję ϕ : I → R nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (R).

Inne rozwiązanie ˜ϕ : ˜I → R tego samego równania nazywamy przedłużeniem rozwiązania ϕ, gdy I ⊂ ˜I i ϕ(x) = ˜ϕ(x) dla x ∈ I. Jeśli dodatkowo I 6= ˜I, to ˜ϕ nazywamy przedłużeniem właściwym.

Rozwiązanie, które nie ma żadnego przedłużenia właściwego nazywamy rozwiązaniem integralnym lub wysyconym.

Definicja rozwiązania integralnego ma swoje konsekwencje topologiczne dotyczące dziedziny ta- kiego rozwiązania. Zanim jednek je przedstawimy przypomnijmy, że zbiór S ⊂ R jest składową spójną zbioru X ⊂ R, gdy jest maksymalnym zbiorem spójnym zawartym w X. Składowe zbioru otwartego w R są zawsze przedziałami otwartymi. Zbiór otwarty jest sumą co najwyżej przeliczalnej ilości takich składowych (przedziałów).

Niech Dx oznacza zbiór argumentów x ∈ R dla których punkt (x, y, y. . . , y(n)) ∈ D, to znaczy:

Dx = {x ∈ R : (x, y, y. . . , y(n)) ∈ D}.

Jeśli zbiór D ⊂ Rn+2 jest otwarty, to zbiór Dx jest otwarty i z definicji rozwiązania integralnego otrzymujemy:

Twierdzenie 1. Niech (R) będzie równaniem różniczkowym określonym na zbiorze otwartym D ⊂ Rn+2. Jeśli ϕ : I → R jest rozwiązaniem integralnym równania (R), to przedział I jest składową spójną zbioru Dx. W szczególności, przedział I jest otwarty.

(3)

Przykład 1. Równanie

(y(5)− 2ex)3− 3xy+ ln(xy′′− 2y) + sin x cos πy + 8e3x+ 2y(3)= 0

jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu 5 o lewej stronie określonej w zbiorze postaci D = {(x, y, y, y′′, y(3), y(4), y(5)) ∈ R7: xy′′−2y > 0}. Łatwo sprawdzić, że jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja ϕ(x) = −1/2, x ∈ (−∞, +∞). Z natury rzeczy jest to rozwiązanie intergralne.

Funkcja ϕ1(x) = −1/2, x ∈ (0, 1i jest również rozwiązaniem powyższego równania. Jest oczywiste, że ϕ1 6= ϕ, więc ϕ1 jest innym rozwiązaniem równania. Jedyną rzeczą, która łączy oba rozwiązania jest fakt, że ϕ1 jest obcięciem rozwiązania ϕ do mniejszego przedziału:

ϕ1 = ϕ|(0,1i.

Podobnie jak w przypadku równań algebraicznych, rozwiązując równanie różniczkowe chcieliby- śmy podać wszystkie jego rozwiązania. Rozwiązać równanie różniczkowe (R) znaczy podać wszystkie jego rozwiązania.

Załóżmy, że dla równania (R) spełniony jest warunek: każde rozwiązanie równania da się przedłu- żyć do rozwiązania integralnego. Wówczas, aby rozwiązać równanie wystarczy podać wszystkie jego rozwiązania integralne, gdyż każde inne rozwiązanie jest obcięciem pewnego rozwiązania integralnego do mniejszego przedziału. My rozważać będziemy równania spełniające wspomniany warunek.

Na ogół, równanie różniczkowe (R) może mieć nieskończenie wiele rozwiązań integralnych. Na przykład, proste równanie różniczkowe

y− 1 = 0,

którego lewa strona jest funkcją określoną w każdym punkcie (x, y, y) ∈ R3 ma rozwiązania inte- gralne postaci

ϕγ(x) = x + γ, x ∈ R, γ ∈ R.

Jednakże, tylko jedno z nich przechodzi przez punkt (2, 5). Jest nim rozwiązanie ϕ3.

Problem wyznaczenia dokładnie jednego rozwiązania integralnego można niekiedy rozwiązać na- kładając na rozwiązanie dodatkowe warunki. Prowadzi do zagadnienia wyznaczenia rozwiązania, którego pochodne do rzędu n − 1 włącznie przechodzą przez ustalone punkty. Dokładniej, niech (ξ, η), (ξ, η), . . . , (ξ, ηn−1) ∈ R2 będą ustalonymi punktami. Wówczas zagadnienie Cauchy’ego (dla równania n-tego rzędu), sformułować można następująco:

Znaleźć rozwiązanie ϕ : I → R równania (R) określone na przedziale I zawierającym ξ, spełniające warunki początkowe: ϕ(ξ) = η, ϕ(ξ) = η, . . . , ϕ(n−1)(ξ) = ηn−1.

Przykład 2. Łatwo sprawdzić, że funkcje y = ±p

γ2− x2, x ∈ (−γ, γ), gdzie γ ∈ (0, +∞) są rozwiązaniami równania różniczkowego pierwszego rzędu

x + y · y = 0,

którego lewa strona jest funkcją określoną w każdym punkcie (x, y, y) ∈ R3. Można pokazać, że są to wszystkie rozwiązania integralne tego równania. Wsród nich istnieje dokładnie jedno rozwiązanie integralne ϕ spełniające warunek początkowy ϕ(−4) = 3. Jest nim funkcja ϕ(x) =√

25 − x2, x ∈ (−5, 5). Można też pokazać o wiele więcej: przez każdy punkt (ξ, η), η 6= 0 przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne powyższego równania różniczkowego, a przez punkty (ξ, 0), gdzie ξ ∈ R nie przechodzi ani jedno rozwiązanie, tym bardziej integralne.

2

(4)

x y

Przykład 3. Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu y′′+ y = 0.

Lewa strona tego równania jest określona w każdy punkcie (x, y, y, y′′) ∈ R4. Można pokazać, że funkcje

y = γ1cos x + γ2sin x, x ∈ R, γ1, γ2 ∈ R

są rozwiązaniami integralnymi tego równania. Wśród nich jedynie rozwiązanie integralne ϕ określone wzorem

ϕ(x) = sin x, x ∈ R spełnia warunki początkowe: ϕ(0) = 0, ϕ(0) = 1.

Przykład 4. Rozważmy równanie różniczkowe

8(y)3− 27y = 0

w dwóch zbiorach: najpierw lewą stronę równania potraktujemy jako funkcję określoną na zbiorze D1 = {(x, y, y) ∈ R3 : y > 0},

a następnie lewą stronę równania potraktujemy jako funkcję na zbiorze D2 = R3. W obu przypadkach funkcja ϕ : (0, +∞) → R określona wzorem

ϕ(x) = x√

x, x ∈ (0, +∞)

jest rozwiązaniem rozważanego równania. Gdy równanie rozważamy w zbiorze D1rozwiązanie ϕ jest integralne. Gdy to samo równanie rozważamy w zbiorze większym D2 rozwiązanie ϕ przestaje być integralne, gdyż posiada rozszerzenie właściwe

e ϕ(x) =



0 dla x ∈ (−∞, 0i, x√

x dla x ∈ (0, +∞).

(5)

x y

Przykład 5. Nietrudno zauważyć, że funkcje y = γ ±p

γ2− x2, x ∈ (−|γ|, |γ|), gdzie γ ∈ R \ {0}

są rozwiązaniami równania różniczkowego pierwszego rzędu postaci 2xy + (y2− x2) · y = 0 w zbiorze D = R3.

Można pokazać, że przez każdy punkt (ξ, η) ∈ R2 taki, że |η| > |ξ| przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne powyższego równania różniczkowego, a przez punkty (ξ, η) takie, że 0 < |η| <

|ξ| przechodzi nieskończenie wiele rozwiązań integralnych. Przez punkty (ξ, η) 6= (0, 0), dla których

|ξ| = |η| lub η = 0 nie przechodzi żadne rozwiązanie, a przez punkt (0, 0) przechodzi nieskończenie wiele rozwiązań integralnych powyższego równania. Czytelnik może sprawdzić, że jednymi z nich są na przykład funkcje

ϕγδ(x) =







 γ −p

γ2− x2, dla x ∈ (−γ, 0),

0, dla x = 0,

δ +√

δ2− x2, dla x ∈ (0, −δ).

dla wszystkich γ ∈ (0, +∞), δ ∈ (−∞, 0).

x

y y = x

y = −x

Często (stosując ewentualnie twierdzenie o funkcji uwikłanej) równanie (R) można zapisać w postaci normalnej

(N) y(n)= f x, y, y, . . . , y(n−1) ,

gdzie f jest funkcją rzeczywistą określoną na pewnym zbiorze G ⊂ Rn+1.

Przykład 6. Równanie z przykładu 1 jest równoważne równaniu normalnemu postaci y(5) = 2ex+ 3

q

3xy− ln(xy′′− 2y) − sin x cos πy − 8e3x− 2y(3). 4

(6)

Definiuje się również układy równań różniczkowych. Jak się za chwilę okaże, na szczególną uwagę zasługują układy równań różniczkowych pierwszego rzędu. Są to układy postaci









F1(x, y1, . . . , yk, y1, . . . , yk) = 0, . . . . Fk(x, y1, . . . , yk, y1, . . . , yk) = 0,

gdzie Fj są funkcjami rzeczywistymi określonymi na pewnym zbiorze D ⊂ R2k+1. Rozwiązaniem takiego układu nazywamy każde odwzorowanie różniczkowalne Φ = (ϕ1, . . . , ϕk) : I → Rk, którego wykres przebiega w zbiorze D i dla którego w każdym punkcie x ∈ I zachodzą tożsamości:









F1 x, ϕ1(x), . . . , ϕk(x), ϕ1(x), . . . , ϕk(x)

= 0, . . . . Fk x, ϕ1(x), . . . , ϕk(x), ϕ1(x), . . . , ϕk(x)

= 0.

Lemat 1. Jeśli ϕ : I → R jest rozwiązaniem równania n-tego rzędu postaci (R), to odwzorowanie Φ = (ϕ, ϕ, . . . , ϕ(n−1)) : I → Rn jest rozwiązaniem układu pierwszego rzędu postaci

(U)





















y1 − y2= 0, y2 − y3= 0,

. . . . yn−1 − yn= 0,

F (x, y1, . . . , yn, yn) = 0.

Odwrotnie, jeśli odwzorowanie Φ = (ϕ1, . . . , ϕn) : I → Rn jest rozwiązaniem układu (U), to funkcja ϕ1 : I → R jest rozwiązaniem równania (R).

Dowód. Pierwsza część lematu wynika z definicji rozwiązania ϕ. Druga część lematu wynika z ciągu tożsamości:

ϕ1 = ϕ2, ϕ2 = ϕ3, . . . , ϕn−1 = ϕn.

Niech F = (F1, . . . , Fk) : D → Rk będzie odwzorowaniem określonym na zbiorze D ⊂ R2k+1 i wprowadźmy oznaczenia y = (y1, . . . , yk), y = (y1, . . . , yk). Wtedy układ równań różniczkowych można zapisać w krótszej postaci

F (x, y, y) = 0.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Czy zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace’a jest dobrze postawione w obszarach nieograniczonych?.

Definicja: Wektor to klasa równoważności par punktów, czyli zorientowanych odcinków, które przekształcają się w siebie przy przesunięciu

Zmniejszenie kroku h istotnie polepsza dokładność metody łamanych, przy czym należy pamiętać, że nadmierne zmniejszenie kroku daje efekt odwrotny do spodziewanego.

uprzejmości autorów, zawierającej dowód istnienia i jednoznaczności rozwiązań układów równań typu ( 1 ), przeprowadzony metodą kolejnycli przybliżeń, przy

Ekstrapolacji Richardsona można użyć również do kontroli (zmiany w trakcie obliczeń) kroku czasowego ∆t, tak żeby błędy obcięcia nie przekraczały pewnej zadanej wartości

Ponieważ metoda jest niejawna (patrz zadanie 1) więc znalezienie rozwiązania w kolejnej chwili czasowej wyma- ga zastosowania

Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej λ problem powy˙zszy posiada niezerowe gÃladkie rozwi azania.. , Wskaz´ owka: metoda

Jeśli zagadnienie nie jest regularne lub wartości pochodnych na pewnych odcinkach są duże, to należy się spodziewać, że błąd globalny (np. w normie L2{K))