• Nie Znaleziono Wyników

26 maja 2020

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "26 maja 2020"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Algebra 2 dla MSEM , 2019/2020 ćwiczenia 25. – z dystansu

26 maja 2020

Zadania

1. Sprawdź, czy przekształcenie ϕ∶ R4→ R takie, że

ϕ((x, y, z, t)) = (5x − 2y − 2z, −2x + 6y, −2x + 4z, 8t) jest samosprzężone w przestrzeni ze standardowym iloczynem skalarnym.

2. Dla przekształcenia z poprzedniego zadania znajdź w R4taką bazę, która składa się z wektorów własnych tego przekształcenia i jest ortonormalna względem standardowego iloczynu skalarnego.

3. Dla poniższej macierzy A∈ Mn×n(R) znaleźć taką macierz ortogonalną C, że macierz CTAC jest diago- nalna.

[ 3 2 2 3 ].

4. Niech ϕ będzie endomorfizmem samosprzężonym przestrzeni skończonego wymiaru. Pokazać, że ker ϕ–imϕ,

oraz, że ker ϕ oraz imϕ rozpinają całą przestrzeń.

5. Udowodnij, że jeśli v∈ V , gdzie V jest przestrzenią liniową nad C oraz ξ∶ V ×V → C jest formą hermitowską, to ξ(v, v) ∈ R.

6. Udowodnij, że A∈ Mn×n(C) jest macierzą formy półtoraliniowej ξ∶ V × V → C w bazie {v1, . . . , vn} wtedy i tylko wtedy, gdy A= [aij]1≤i,j≤n, gdzie aij= ξ(vi, vj).

7. Niech A będzie macierzą formy półtoraliniowej ξ∶ V × V → C w bazie A. Udowodnij, że:

a) macierz A jest hermitowska wtedy i tylko wtedy, gdy ξ jest hermitowska,

b) jeśli ξ jest iloczynem hermitowskim, toA jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy A jest diagonalna.

8. Niech(V1,⟨⋅, ⋅⟩1) i (V2,⟨⋅, ⋅⟩2) będą przestrzeniami unitarnymi n-wymiarowymi oraz niech ψ∶ V1→ V2będzie izomorfizmem liniowym. NiechB1,B2to będą bazy odpowiednio V1i V2oraz niech B1, B2będą macierzami odpowiednio⟨⋅, ⋅⟩1oraz ⟨⋅, ⋅⟩2 odpowiednio w bazachB1 iB2. Niech w końcu, A= M(ψ)BB21. Udowodnij, że ψ jest izomorfizmem unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy B1= ATB2A.¯

9. Niech (V1,⟨⋅, ⋅⟩1) i (V2,⟨⋅, ⋅⟩2) będą przestrzeniami unitarnymi n-wymiarowymi oraz niech ψ∶ V1 → V2

będzie izomorfizmem liniowym. NiechB1,B2 to będą bazy ortonormalne odpowiednio V1 i V2 oraz niech A= M(ψ)BB21. Udowodnij, że ψ jest izomorfizmem unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy ATA¯= I.

10. Wykaż, że moduły wartości własnych automorfizmów przestrzeni unitarnych są równe 1.

11. Wykaż, że dla każdego automorfizmu przestrzeni unitarnej istnieje ortonormalna baza złożona z wektorów własnych.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Znajdź granicę tego

[r]

(?) Wykaż, że dla każdego automorfizmu przestrzeni unitarnej istnieje ortonormalna baza złożona z wek- torów własnych..

Wprowadził jasne zasady mianownictwa naukowego organizmów, a główną z nich była zasada dwuimiennego nazewnictwa gatunków, inaczej nomenklatura binominalna.. Łacińska nazwa

Plusik przy numerze zadania oznacza, że zadanie jest trudniejsze; gwiazdka, że dość trudne.. Wykaż, że część wspólna pięciu zbiorów domkniętych jest

Zbadaj zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:.. Wskazówka: ciąg ten nie

Zauważmy jeszcze, że sama domkniętość dziedziny T ∗ da nam jedynie ograniczoność T ∗ -to może być nawet operator zerowy o dziedzinie {0}, ale wtedy nie możemy przejść

Ze wzgl ˛edu na koszt oblicze ´n metody wyznacznikowe stosuje si ˛e głównie dla macierzy strukturalnych, np.!. Metody