Analiza I, ISIM Lista zada« nr 4
1. Uszereguj podane ci¡gi wedªug tempa ich zbie»no±ci do +∞: n, log n, 2n, log log n, n2015, nn, 3n, n!.
2. Sprawd¹, czy poni»sze ci¡gi s¡ zbie»ne a) 10
1 ·11
3 · . . . · n + 9 2n− 1 b)
( 1−1
2 )(
1−1 4
)
· · · (
1− 1 2n
)
c) (
1 +1 2
)(
1 +1 4
)
· · · (
1 + 1 2n
) d)
(
1 +(−1)n n
)n
3. Ile punktów skupienia mo»e mie¢ ci¡g monotoniczny?
4. Poka», »e je»eli ci¡g {an} jest ograniczony, a ci¡g {bn} jest rozbie»ny do +∞, to ci¡g {an+bn} jest rozbie»ny do +∞. Czy ci¡g {anbn} musi by¢ rozbie»ny do +∞?
5. Oblicz granice ci¡gów a) √n
3n + sin n, b)
√n2+ 5− n
√n2+ 2− n c) n(√3
n3+ n− n)
d) 2n n! e)
(3n− 1 3n + 1
)n+4
6. Oblicz granice podanych ci¡gów a)
( 1− 1
n )n
, b) (
1 + 1 n
)n2
c) (
1 + 1 n2
)n
d) n+1
√(n + 1)!
√n
n!
e) n log(1 + 1/n) f)
(n2+ 3 n2+ 1
)2n2+5
g) n[
log(n + 3)− log n] 7. Napisz szczegóªowe uzasadnienie zadania 1.
8. Sprawd¹, »e ci¡g un=(
1 +n1)n+1
jest malej¡cy, a ci¡g vn=(
1−n1)n
rosn¡cy.
9. Znajd¹ zbiór punktów skupienia ci¡gów an= (−1)nn + 3
n + 1 , bn= 1
n+ sinπn
3 , cn= (−1)n[
(−1)n+ 1] dn=
(
1 +(−1)n n
)n .
10. Dany jest uªamek nieskracalny x = pq ∈ (0, 1). Znajd¹ wszystkie punkty skupienia ci¡gu m(nx).
11. Ci¡g xn jest okre±lony nast¦puj¡cy: 0 < x1 < 1, xn = xn−1/2 dla parzystych n, oraz xn = (1 + xn−1)/2 dla nieparzystych n. Jakie punkty skupienia ma ten ci¡g? Wskazówka:
oblicz x2n oraz x2n+1.
12. Dany jest ci¡g ograniczony {an}. Poka», »e w zbiorze punktów skupienia tego ci¡gu istnieje element najwi¦kszy (lim sup an) oraz najmniejszy (lim inf an).
13. Oblicz granic¦ górn¡ i doln¡ ci¡gów:
an= (
1 +(−1)n n
)n
, bn= (
1 + 1 2n
)(−2)n
, cn= (
1 +1 n
)n
· (−1)n+ sinnπ 4 .
14. Czy zbiór Q ∩ [0, 1] mo»e by¢ zbiorem punktów skupienia pewnego ci¡gu {an}?
15. Poka», »e je±li |an+1− an| < 2−n dla n ∈ N, to ci¡g {an} speªnia warunek Cauchy'ego.
16. Oblicz granice ci¡gów log n
√n , log2n
n14 , √n
log n, log2n log(n2). 17. Wyka», »e je±li pn, qn∈ N i limnpn
qn = ξ /∈ Q, to limnqn=∞.
18. Sprawd¹, czy podane ci¡gi speªniaj¡ warunek Cauchy'ego:
a) 1 22 + 2
32 +· · · + n
(n + 1)2, b) a1= 0, an+1= 3 2 + an
. 19. Przeczytaj na gªos poni»sze warunki
• ∀k∈N∃N∈N∀n>m>N |am− an| < 1/k;
• ∀ε>0∃N∈N∀n>N∀m>N2 |an− am| < ε;
• ∀k∈N∃N∈N∀m>N,n≤N |am− an| < 1/2k.
Które z tych warunków s¡ równowa»ne warunkowi Cauchy'ego dla ci¡gu {an}?
20. Oblicz granice ci¡gów
a) lim
n→∞
( 1
n + 1 + 1
n + 2+· · · + 1 2n
)
b) lim
n→∞
npowtórze«
z }| { 55 . . . 5 777 . . . 7
| {z }
n+1powtórze«
c) lim
n→∞
√n
2016 . . . 2016
| {z }
npowtórze«
21. Oblicz granice ci¡gów a) lim
n→∞
n
√
√n
2n+ 1− 2 b) lim
n→∞
(7√n 2−6)n
c) lim
n→∞
√n
2n+ 3− 2
√n
2n+ 5− 2 d) lim
n→∞
(√n
2+√n 3−√n
5)n
22. Niech anoznacza liczb¦ zer na ko«cu n!. Czy istnieje granica limn→∞an
n? 23∗.Wyznacz zbiór punktów skupienia ci¡gu {sin n}.
24∗.Poka», »e ci¡g an= 1−12+13+· · ·+(−1)nn+1 jest zbie»ny. Wskazówka: wyka», »e podci¡gi a2n i a2n+1 s¡ zbie»ne.
25∗.Oblicz granic¦: limn→∞n sin(2πen!).
26∗.Ci¡g an ma wªasno±¢ an< (an−1+ an+1)/2. Poka», »e zachodzi jedna z trzech mo»liwo±ci:
a) an jest zbie»ny; b) an jest rozbie»ny do +∞; c) an jest rozbie»ny do −∞.
27∗.Wyka», »e je»eli zachodzi warunek 0 ≤ an+m≤ an+ am dla wszystkich n, m ∈ N, to istnieje granica limn→∞ xn
n.
28∗. Zapoznaj si¦ z twierdzeniem Stolza i jego zastosowaniami (skrypt prof. P. Strzeleckiego, strona 33).
