b) rozkład dwupunktowy Jest to rozkład zmiennej losowej X przyjmującej tylko dwie wartości a, b, przy czym P (X = a

(1)

Przegląd ważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa

- rozkłady dyskretne

a) rozkład jednopunktowy

Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy, jeśli dla pewnego a ∈ R P (X = a) = 1.

Wtedy

µ_x = δ_a natomiast dystrybuanta jest funkcją postaci

F (x) = 0 gdy x < a, 1 gdy x ≥ a.

b) rozkład dwupunktowy

Jest to rozkład zmiennej losowej X przyjmującej tylko dwie wartości a, b, przy czym P (X = a) = p, P (X = b) = 1 − p, p ∈ (0, 1).

Wtedy

µ_x = pδ_a+ (1 − p)δ_b natomiast dystrybuanta wyraża się wzorem

F (x) = p1_[a,∞)(x) + (1 − p)1_[b,∞)(x), gdzie

1_A(x) = 1 gdy x ∈ A, 0 gdy x /∈ A.

W przypadku, gdy a = 1, b = 0 mówimy o rozkładzie zero-jedynkowym.

c) rozkład Bernoulliego (dwumianowy)

Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego z parametrami n ∈ N i p ∈ [0, 1] (X ∼ Bernoullie(n, p)), jeśli

P (X = k) =n k

p^k(1 − p)^n−k, k = 0, 1, . . . , n.

Jest to rozkład łącznej liczby sukcesów w n próbach Bernoulliego.

d) rozkład Poissona

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0 (X ∼ P oisson(λ)), jeśli P (X = k) = λ^k

k!e^−λ, k = 0, 1, 2, . . . . Rozwinięcie funkcji e^x w szerego Maclaurena ma postać e^x =

∞

P

n=1 xⁿ

n!. Nietrudno jest zatem sprawdzić, że

∞

X

k=0

P (X = k) =

∞

X

k=0

λ^k

k!e^−λ = e^−λ

∞

X

k=0

λ^k k!

| {z }

=e^λ

= 1.

(2)

e) rozkład geometryczny

Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p ∈ (0, 1), jeśli P (X = k) = (1 − p)^k−1p, k = 1, 2, . . .

Korzystając ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego nietrudno sprawdzić,

że ∞

X

k=1

(1 − p)^k−1p = p · 1

1 − (1 − p) = 1.

Jest to rozkład czasu oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu doświadczeń Bernoulliego, rozumianego jako liczba doświadczeń, które należy wykonać, by doczekać się sukcesu.

e’) rozkład geometryczny - konwencja alternatywna

Zmienna losowa Y ma rozkład wykładniczy z parametrem p ∈ (0, 1), jeśli P (X = k) = (1 − p)^kp, k = 0, 1, 2, . . .

Jest to rozkład liczby doświadczeń Bernoulliego wykonanych przed otrzymaniem pierwszego sukcesu. Oczywiście Y = X − 1.

f) rozkład ujemny dwumianowy

Zmienna losowa X ma ujemny rozkład dwumianowy z parametrami α > 0, p ∈ (0, 1), jeśli P (X = k) =α + k − 1

k

(1 − p)^kp^α, k = 0, 1, 2, . . .

Jeśli parametr α jest całkowity, to jest to rozkład czasu oczekiwania na α-ty sukces w ciągu prób Bernoulliego, czyli jest to tzw. rozkład Pascala. Dla α = 1 otrzymujemy rozkład geometryczny opisany w e).

g) rozkład hipergeometryczny

Zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny z parametrami M, N, n ∈ N, n ≤ N, n ≤ M , jeśli

P (X = k) =

N k

_M

n−k

N +M n

, k = 0, 1, . . . , n.

Łatwo jest podać przykład takiej zmiennej losowej. Rozważmy doświadczenie polegające na wylosowaniu 10 kart z talli 52 kart. Jeśli zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wylosowanych pików, to ma ona rozkład hipergeometryczny z parametrami N = 13, M = 39, n = 10.

- rozkłady ciągłe

a) rozkład jednostajny na odcinku

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [a, b] (X ∼ U [a, b]), jeśli gęstość ma postać

f (x) =

₁

b−a gdy x ∈ [a, b], 0 gdy x /∈ [a, b].

Dystrybuanta tego rozkładu ma postać

F (x) =







0 gdy x < a,

x−a

b−a gdy x ∈ [a, b), 1 gdy x ≥ b.

(3)

a’) rozkład jednostajny na A ⊂ R Niech A będzie borelowskim podzbiorem w R o dodatniej i skończonej mierze Lebesque’a λ₁. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na zbiorze A, to jej gęstość ma postać

f (x) =

1

λ1(A) gdy x ∈ A, 0 gdy x /∈ A b) rozkład wykładniczy

Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 (X ∼ Exp(λ)), jeśli gęstość ma postać

f (x) = λe^−λx gdy x > 0,

0 gdy x ≤ 0 (1)

Uwaga: w niektórych podręcznikach i zbiorach zadań stosuje się inną konwencję, tzn. przyjmuje się, że gęstość ma postać

f (x) =

₁

λe⁻^λ¹^x gdy x > 0,

0 gdy x ≤ 0 (2)

Nietrudno sprawdzić, że

Z ∞

−∞

f (x)dx = Z ∞

0

λe^−λxdx = 1.

Dystrybuanta rozkładu wykładniczego ma postać

F (x) = 0 gdy x < 0, 1 − e^−λx gdy x ≥ 0.

c) rozkład normalny

Zmienna losowa X ∼ N (m, σ), gdzie m ∈ R oraz σ > 0, jeśli gęstość ma postać f (x) = 1

√2πσe⁻^(x−m)2^2σ2

w przypadku standardowego rozkładu normalnego N (0, 1) gęstość ma postać f (x) = 1

√2πe⁻^x2² Wykazanie, że R∞

−∞f (x)dx = 1 nie jest proste, ponieważ funkcja pierwotna Φ(x) funkcji f (x) nie jest funkcją elementarną. Najłatwiej jest w tym celu rozważyć całkę podwójną funkcji e⁻^x2+y2² po obszarze R², wtedy z uwagi na to, że jest to funkcja o rozdzielonych zmiennych mamy

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

e⁻^x2+y2² dxdy = Z ∞

−∞

e⁻^x2² dx · Z ∞

−∞

e⁻^y2² dy

= ( Z ∞

−∞

e⁻^x2² dx)²

z drugiej strony przechodząc na współrzędne biegunowe, tj. stosując podstawienie x = r cos ϕ, y = r sin ϕ możemy tę całkę obliczyć

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

e⁻^x2+y2² dxdy = Z ∞

0

Z 2π 0

e⁻^r2² rdϕdr

= 2πh

− e⁻^r2² i^∞

0

= 2π.

(4)

Stąd

Z ∞

−∞

e⁻^x2² dx =√ 2π.

Stosując podstawienie y = ^x−m_σ sprawdzamy, że Z ∞

−∞

√1

2πσe⁻^(x−m)2^2σ2 dx = 1

√2π Z ∞

−∞

e⁻^x2² dx

| {z }

=√ 2π

= 1.

Niech Φ oznacza dystrybuantę rozkładu N (0, 1), z uwagi na to, że gęstość tego rozkładu jest funkcją parzystą zachodzi równość

Φ(−t) = 1 − Φ(t).

Ponadto jeśli F_{N (m,σ)} jest dystrybuantą rozkładu normalnego N (m, σ), to F_{N (m,σ)}(t) = Φt − m

σ

. d) rozkład gamma

Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami a, b > 0 (X ∼ Γ(a, b)), jeśli jej gęstość ma postać

γ_a,b(x) =

b^a

Γ(a)x^a−1e^−bx gdy x > 0,

0 gdy x ≤ 0

Przypomnijmy, że funkcja gamma zdefiniowana jest wzorem Γ(a) =

Z ∞ 0

t^a−1e^−tdt, a > 0. (3)

Zauważmy, że stosując podstawienie bx = t mamy Z ∞

0

γ_a,b(x)dx = 1 Γ(a)

Z ∞ 0

t^a−1e^−tdt

| {z }

=Γ(a)

= 1

Ponieważ Γ(1) = 1 zatem dla a = 1 otrzymujemy rozkład wykładniczy z parametrem b.

e) rozkład beta

Zmienna losowa X ma rozkład beta z parametrami a, b > 0, jeśli jej gęstość ma postać β_a,b(x) =

1

B(a,b)x^a−1(1 − x)^b−1 gdy x ∈ [0, 1],

0 gdy x /∈ [0, 1],

gdzie B(a, b) oznacza funkcję specjalną beta, tj. funkcję zadaną wzorem B(a, b) =

Z ∞ 0

t^a−1(1 − t)^b−1dt.

f) rozkład Cauchy’ego

Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego z parametrami a > 0 oraz m ∈ R, jesli jej gęstość zadana jest wzorem

f (x) = a

π(a²+ (x − m)²).

(5)

Z uwagi na to, że prosta x = m stanowi oś symetrii wykresu gęstości otrzymujemy równość P (X > m) = P (X < m) = 1

2.

W przypadku, gdy a = 1 oraz m = 1, tj. w przypadku standardowej postaci rozkładu Cauchy’ego dystrybuanta ma postać

F (x) = 1 2 + 1

π arctan x.

g) rozkład Pareto

Zmienna losowa X ma rozkład Pareto z parametrami c > 0 i α > 0, jeśli jej gęstość zadana jest wzorem

f (x) = 0 gdy x < c, α_x^cα+1^α gdy x ≥ c.

Parametr c nazywamy parametrem położenia, natomiast α - kształtu.

h) rozkład logarytmiczno-normalny (lognormalny)

Zmienna losowa Y ma rozkład lognormalny z parametrami m, σ > 0, jeśli jej gęstość ma postać

f (x) =

( 1

xσ√

2πe⁻^{ln x−m}^2σ2 gdy x > 0,

0 gdy x ≤ 0.

Jest to rozkład zmiennej losowej Y = e^X, gdzie X ∼ N (m, σ).

i) rozkład Weibulla

Zmienna losowa X ma rozkład Weibulla z parametrami α, β > 0, jeśli jej gęstość ma postać f (x) = αβ^−αx^α−1e⁻⁽^x^β⁾^α gdy x > 0,

0 gdy x ≤ 0.

Nietrudno policzyć, że dystrybuanta wyraża się wtedy wzorem F (x) = 1 − e⁻⁽^x^β⁾^α gdy x > 0,

0 gdy x ≤ 0.

Zauważmy, że dla α = 1 rozkład Weilbulla jest w szczególności rozkładem wykładniczym z parametrem λ = _β¹.

j) rozkład t-Studenta

Zmienna losowa X ma rozkład t-Studenta o n ∈ N stopniach swobody, jeśli jej gęstość ma postać

f (x) = 1

√nπ · Γ(ⁿ⁺¹₂ ) Γ(ⁿ₂)

1 + x²

n

⁻¹₂(n+1)

Uwaga 1: Rozkład t-Studenta o n stopniach swobody jest rozkładem zmiennej losowej

√nX

√Yn

,

gdzie zmienne losowe X, Yn są niezależne oraz X ∼ N (0, 1), Yn ∼ χ²_n.

(6)

k) rozkład χ²(n)

Zmienna losowa X ma rozkład chi-kwadrat o n ∈ N stopniach swobody (X ∼ χ²n), jeśli jej gęstość ma postać

γⁿ

2,¹₂(x) =

( ₁

2ⁿ²Γ(ⁿ₂)xⁿ²⁻¹e⁻¹²^x gdy x > 0,

0 gdy x ≤ 0.

Uwaga 1: Rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody jest rozkładem sumy X₁²+ . . . + X_n²,

gdzie X1, . . . , Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1).

Uwaga 2: Rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody jest rozkładem Γ(ⁿ₂,¹₂).