• Nie Znaleziono Wyników

Wyrażanie niepewności pomiaru

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wyrażanie niepewności pomiaru"

Copied!
36
0
0

Pełen tekst

(1)

Wyrażanie

niepewności pomiaru

Andrzej Kubiaczyk

Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Warszawa, 2021

(2)

Informacje wstępne

Każdy pomiar wielkości fizycznej dokonywany jest ze skończoną dokładnością, co oznacza, że wynik tego pomiaru dokonywany jest z niepewnością pomiarową. Fakt ten związany jest nie tylko

z niedoskonałością działań człowieka, lecz także z niedoskonałością wykonania przyrządów pomiarowych, przypadkowym stanem materii w chwili dokonywania pomiaru, wpływem procesu pomiarowego

na wielkość mierzoną oraz przybliżonym charakterem modeli

rzeczywistości opisywanych w postaci praw fizyki. Zasady obliczania i szacowania niepewności pomiarowych, a także oceny wyników

pomiarów zawarte są w normie opublikowanej w 1995 roku przez Międzynarodową Organizację Normalizacyjną (ISO). Wersja polska

wydana w roku 1999 przez Główny Urząd Miar nosi nazwę „ Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik ”. Stanowi ona podstawę

opracowania instrukcji określania niepewności pomiarów

wykorzystywanej w Laboratorium Fizyki.

(3)

Najważniejsze elementy obowiązujących norm

Rozróżnienie między „niepewnością pomiarów” a „błędami” w potocznym tego słowa znaczeniu

Przyjęcie jednolitej terminologii

Konsekwentne stosowanie metod statystycznych

Podział składników niepewności na dwie kategorie zależne od sposobów obliczania ich wartości (typ A i typ B), a nie od przyczyn ich powstawania

Dokładny opis metod określania niepewności pomiarów

Określenie konwencji zapisu wyników i niepewności pomiarów

Możliwość jednoznacznej interpretacji wyników pomiarów wykonywanych w różnych miejscach

i w różnym czasie na całym świecie

(4)

Źródła niepewności

Niepewności związane z niepełną definicją wielkości mierzonej Niepewności związane z wykonywaniem pomiarów:

niedoskonały układ pomiaru wielkości mierzonej

niereprezentatywne pomiary

niepełna znajomość oddziaływań otoczenia na pomiar

błędy obserwatora w odczytywaniu wskazań przyrządów

przybliżenia i założenia upraszczające tkwiące w metodzie i procedurze pomiarowej

zmiany kolejnych wyników pomiarów wielkości mierzonej w pozornie identycznych warunkach

Niepewności związane z przyrządami pomiarowymi:

skończona zdolność rozdzielcza przyrządów

niedokładne wartości przypisane wzorcom i materiałom odniesienia

(5)

Rodzaje pomiarów

Pomiar bezpośredni – wielkość mierzoną porównuje się

ze wzorcem lub pomiar wykonywany jest przy użyciu jednego przyrządu (np. pomiar długości pręta, pomiar rezystancji omomierzem)

Seria pomiarowa

Błąd „gruby”

Pomiar pośredni – na podstawie pomiarów bezpośrednich jednej lub kilku wielkości fizycznych oblicza się wielkość od nich zależną (na podstawie znanej zależności funkcyjnej)

Pomiar wielkości długości i szerokości stołu w celu obliczenia powierzchni stołu

Pomiar napięcia na rezystorze oraz natężenia prądu w celu obliczenia rezystancji

12,45; 12,48; 12,43; 12,45; 12,47; 11,45, 12,46; 12,68

(6)

Główne pojęcia

Niepewność pomiaru ( uncertainty ) –

parametr, związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.

niepewność = wątpliwość

niepewność + przymiotnik = miara ilościowa tego pojęcia

Niepewność standardowa ( standard uncertainty ) u(x)

niepewność wyniku pomiaru wyrażona w formie odchylenia standardowego (estymator wariancji) (na przykład odchylenie standardowe średniej).

Zapis: u, u(x) lub u(nazwa).

u nie jest funkcją, tylko liczbą!

(7)

Pomiary bezpośrednie

(8)

Główne pojęcia

Obliczanie niepewności standardowej – metoda typu A

( type A evaluation of uncertainty ) – metoda obliczania niepewności pomiaru na drodze analizy statystycznej serii wyników pomiarów.

Wynik pomiaru: wartość średnia

Założenia:

prawdopodobieństwo występowania wyników mniejszych i większych od średniej jednakowe

im większe odchylenie od średniej, tym mniejsze prawdopodobieństwo wystąpienia pomiaru

Efekt: Im większa liczba pomiarów, tym bardziej wykres rozrzutu pomiarów podobny jest do rozkładu Gaussa (rozkład gęstości prawdopodobieństwa).

Przykłady: obliczanie odchylenia standardowego średniej dla serii niezależnych obserwacji albo użycie najmniejszej sumy kwadratów w celu dopasowania

krzywej do danych i obliczenie parametrów krzywej oraz ich niepewności standardowych.

n

i

xi

x n x

1

1

(9)

Rozkład Gaussa

n

i i

x x x

n s n

x u

1

2

2 ( )

) 1 ( ) 1

(

 

 

 

2 2

2 ) exp (

2 ) 1

( 

xx

μ – wartość oczekiwana

σ – odchylenie standardowe

1



dx

(

x)

683 ) 0,

(

x dx

954 0

2

2

, )

(

x dx

997 0

3

3

, )

(

x dx

Niepewność standardowa

dla serii pomiarowej obliczana metodą typu A jest równa odchyleniu

standardowemu średniej Rozkład Gaussa dla skończonej

liczby pomiarów: za wartość oczekiwaną przyjmujemy średnią arytmetyczną,

a za odchylenie standardowe - odchylenie standardowe

wartości średniej.

Rozkład dla zmiennej x ciągłej:

(10)

Główne pojęcia

Obliczanie niepewności standardowej - metoda typu B (type B evaluation of uncertainty) – metoda obliczania niepewności pomiaru

sposobami innymi niż analiza statystyczna serii pomiarowej, czyli na drodze innej niż metoda typu A. Oparta jest zwykle o naukowy osąd eksperymentatora

biorącego pod uwagę wszystkie dostępne informacje (wiedza o przyrządach, badanym materiale, itp.)

Założenie: prawdopodobieństwo uzyskania wyniku mieszczącego się

w przedziale wyznaczonym przez wynik i niepewność wzorcowania jest stałe –

rozkład jednostajny

Niepewność wzorcowania (efekt dokładności wzorcowania D

x)

Niepewność eksperymentatora (efekt dokładności eksperymentatora D

xe)

Prawo dodawania niepewności

3 ) ( ) 3

(

x

2

x x

u D

D 

3 ) (

3 ) ) (

(

2 2

2 e

x

x s x

x

u D

D 

(11)

Wartość oczekiwana:

Wariancja:

Rozkład jednostajny

Gęstość prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru

Funkcja rozkładu gęstości

prawdopodobieństwa dla rozkładu jednostajnego:

3 2 ) 1

( 

x 3 x 3

0 )

( x

2 b a

 

Niepewność standardowa obliczana metodą typu B jest równa odchyleniu standardowemu

3 ) ( ) 3

(

2

2 x x

x

u    D  D

x

(x)

 

12

2

2 ba

a = - D

x

b = D

x

dla pozostałych x

(12)

Obliczanie niepewności standardowej typu B – przykłady: przyrządy mechaniczne

Dokładność wzorcowania D x:

połowa działki elementarnej

) 3

( x

x

u D

Linijka, śruba mikrometryczna, suwmiarka

Termometr, barometr analogowy

Stoper

Wszystkie przyrządy analogowe

niebędące miernikami

(13)

Obliczanie niepewności standardowej typu B – przykłady: mierniki analogowe

Zakres pomiarowy – największa wartość jaką może zmierzyć przyrząd pomiarowy przy

określonym ustawieniu pokrętła (klawisza, przycisku,…) wyboru zakresu.

Klasa przyrządu dokładność z jaką przyrząd pomiarowy przekształca sygnał pomiarowy

na wskazanie odczytywane przez obserwatora. Klasa przyrządu jest podawana przez producenta

w procentach zakresu pomiarowego.

Niepewność wzorcowania:

Niepewność obserwatora:

100

zakres klasa

x  

D ( ) 3x

x

u  D

) 3

( xe

x

u  D

Niepewność obserwatora może być określona tylko przez

obserwatora na podstawie jego doświadczenia

(14)

Obliczanie niepewności standardowej typu B – przykłady: mierniki cyfrowe

Niepewność pomiaru dla mierników elektronicznych (cyfrowych):

x – wielkość mierzona

z – zakres pomiarowy

c

1

, c

2

– współczynniki dla danego przyrządu (podawane na przyrządach lub na tabliczce przy ćwiczeniu wyrażane w procentach),

np. c

1

= 0,1%, c

2

= 0,01%

Wybór funkcji

Zakres pomiarowy

z c x

c

x

1

2

D

( ) 3x

x

u  D

(15)

Obliczanie niepewności - pomiary bezpośrednie podsumowanie

Wykonać pomiar wielkości szukanej (pomiar pojedynczy lub seria pomiarowa)

Obliczyć niepewność typu A

Wynik pomiaru – średnia arytmetyczna

Niepewność standardowa – odchylenie standardowe wielkości średniej

Obliczyć niepewność typu B

Niepewność wzorcowania Dx

Niepewność eksperymentatora

D

x

e

Składanie niepewności

n

i

xi

x n x

1

1

3 ) (

3 ) ) (

(

2 2

2 e

x

x s x

x

u D

D 

n

i i

x x x

n s n

x u

1

2

2 ( )

) 1 ( ) 1

(

3 ) ( ) 3

(

x 2

x x

u  D  D

(16)

Pomiary pośrednie

(17)

Główne pojęcia

Złożona niepewność standardowa (combined standard uncertainty) u

c

(x) – niepewność standardowa wyniku pomiaru określana, gdy wynik ten jest otrzymywany ze zmierzonych bezpośrednio innych wielkości,

czyli w przypadku pomiarów pośrednich (niepewność pomiarów pośrednich obliczana z prawa przenoszenia niepewności pomiaru).

Pomiary o wielkościach wejściowych skorelowanych

Pomiary o wielkościach wejściowych nieskorelowanych

W laboratorium wszystkie pomiary są pomiarami nieskorelowanymi

(18)

Obliczanie niepewności - pomiary pośrednie podsumowanie

Wykonać pomiary k wielkości mierzonych bezpośrednio (pojedyncze lub serie)

Wyznaczyć wartości średnie wielkości mierzonych bezpośrednio i niepewności standardowe (mogą być obliczane metodą

typu A i/lub typu B) – patrz poprzedni slajd Obliczyć wynik pomiaru

Obliczyć niepewność złożoną (prawo propagacji niepewności) Przykład: dla dwóch zmiennych

(często spotykany przypadek w laboratorium)

) ,....,

,

( x

1

x

2

x

k

f

z

x

k

x

x

1

,

2

,....,

u(x1), u(x2), ... , u(xk)

) ,....,

,

( x

1

x

2

x

k

f

z

k

j

j j

j

c u x

x x z f

u

1

2 2

) ) (

) ( (

) ) (

, ) (

) ( , ) (

( 2

2 2

2

y y u

y x x f

x u y x z f

uc 



(19)

Pomiary pośrednie – przykład: prawo Ohma

Prawo Ohma: R

x

=U/I. Niech x oznacza U, a y oznacza I

= 1/I = U/I

2

) ) (

, ) (

) ( , ) (

( 2

2 2

2

y y u

y x x f

x u y x z f

uc 



wkład do całości niepewności wnoszony przez pomiar napięcia

wkład do całości

niepewności wnoszony przez pomiar natężenia prądu

(20)

Główne pojęcia

Niepewność rozszerzona (expanded uncertainty) U(x ) lub U

c

(x)

wielkość określająca przedział wokół wyniku pomiaru, od którego oczekuje się, że obejmuje przeważającą część wyników (wartości, które w uzasadniony sposób można przypisać wielkości mierzonej).

Niepewność standardowa u(x) wyznacza przedział, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się poszukiwana, mierzona wartość

• Niepewność typu A: prawdopodobieństwo 68%

• Niepewność typu B: prawdopodobieństwo 58%

Cel wprowadzenia niepewności rozszerzonej:

• Porównywanie wyników uzyskanych w różnych laboratoriach, w innych warunkach

• Porównanie z wartością tablicową lub teoretyczną

• Do celów komercyjnych

• Do ustalania norm przemysłowych, zdrowotnych, bezpieczeństwa

(21)

Główne pojęcia

Współczynnik rozszerzenia (coverage factor) k –współczynnik liczbowy, mnożnik niepewności standardowej, stosowany w celu uzyskania niepewności rozszerzonej.

k zawiera się w granicach od 2 do 3.

Dla większości zastosowań, w tym w praktyce laboratoryjnej, zaleca się przyjęcie wartości k = 2 .

Niepewność rozszerzona U(x) wyznacza przedział, w którym z określonym

prawdopodobieństwem znajduje się poszukiwana, mierzona wartość. Dla k = 2:

• Niepewność typu A: prawdopodobieństwo 95%

• Niepewność typu B: prawdopodobieństwo 100% (100% już dla k=1,73!)

) (

)

( x k u x

U  

(22)

Prawidłowy zapis wyników

(23)

Zasada zapisu z 2 cyframi znaczącymi – oznacza to, że niepewność ma 2 cyfry znaczące

Zapis wyniku pomiaru (wartości najbardziej prawdopodobnej) z dokładnością określoną przez prawidłowy zapis niepewności Zaokrąglanie zgodnie z zasadami matematyki

Niepewność standardowa t = 21,364 s, u(t) = 0,023 s

t = 21,364(23) s, zapis zalecany t = 21,364(0,023) s

Niepewność rozszerzona

t = 21,364 s, U(t) = 0,046 s (k = 2) n = 11 opcjonalnie t = (21,364±0,046) s. zapis zalecany

Prawidłowy zapis wyników pomiarów (1)

(24)

Prawidłowy zapis (2) - przykład

Przyjmijmy, że w wyniku pomiarów i obliczeń uzyskano następujące wyniki:

X = 123,4567 m, u(X) = 0,67895 m

1. Prawidłowy zapis niepewności (z dokładnością do dwóch cyfr znaczących): u(X)=0,68 m

2. Prawidłowy zapis wartości najbardziej prawdopodobnej (dokładność zapisu zgodna z dokładnością prawidłowego zapisu niepewności): X=123,46 m

3. Prawidłowy zapis wyniku pomiaru wielkości X:

X = 123,46(68) m

(25)

Prawidłowy zapis wyników pomiarów (3) – przykłady

Wynik pomiarów i obliczeń Prawidłowy zapis

a = 321,735 m/s; u(a) = 0,24678 m/s a = 321,74 m/s; u(a) = 0,25 m/s a = 321,74(0,25) m/s

a = 321,74(25) m/s

b = 321785 m; u(b) = 1330 m b = 321800 m; u(b) = 1300 m b = 321800(1300) m

b = 321,8(1,3)·103 m b = 321,8(13) km

C = 0,0002210045 F; uc(C) = 0,00000056 F C=0,00022100 F; uc(C)=0,00000056 F C = 221,00(0,56)·10-6 F

C = 221,00(56)·10-6 F C = 221,00(56) μF

T = 373,4213 K; u(T) = 2,3456 K T = 373,4 K; u(T) = 2,3 K T = 373,4(23) K

U(T) = 4,7 K

T = (373,4 ± 4,7) K

(26)

Metody weryfikacji hipotez

(27)

Weryfikacja hipotezy liniowości

Wykres funkcji

Metoda najmniejszych kwadratów

Testy statystyczne

(28)

Wykres funkcji

Najprostsza, łatwa do zastosowania metoda

Poprowadzenie teoretycznej funkcji na wykresie prezentującym wyniki pomiarów wraz z uwzględnieniem odcinków

niepewności. Poprowadzona prosta powinna przeciąć odcinki niepewności co najmniej 2/3 punktów pomiarowych.

Jeśli nie – odrzucenie hipotezy o liniowości

Zasady tworzenia wykresów – patrz strona internetowa

laboratorium

(29)

Metoda najmniejszych kwadratów

Cel: weryfikacja, czy wielkości zmierzone zależą od siebie w sposób opisany teoretycznie

Założenie: każdą zależność fizyczną można sprowadzić do zależności liniowej y = a + b x

Metoda: najmniejszych kwadratów – znalezienie prostej,

dla której suma kwadratów odległości punktów pomiarowych od tej prostej jest najmniejsza, czyli mówiąc potocznie,

znalezienie prostej leżącej „najbliżej” punktów pomiarowych Wyniki obliczeń: a, b oraz niepewność u(a) i niepewność u(b) (niepewności standardowe obliczane metodą typu A

wartości a i b)

(30)

Metoda najmniejszych kwadratów

~ x x

n x

i i i

i

 

n

1

1

 

 

n

i

i n

i n i

i

i n

i

i i

n x y a

b n x

y x a

1 1

1 2

1

1

~

~

~ ~

d y ax

n y

i i i i

i

  

n

1

1

2

1 1

2

1 2 1

2

1 ~

~

~

2 1









 

 

n x n x

s s

x d s n

n

i n i

i

i b a

n

i

i n

i

i a

y = ax + b

Dokładne wzory wykorzystywane przez większość programów

wykonujących dopasowanie funkcji

liniowej do danego zbioru punktów

pomiarowych

(31)

Metoda najmniejszych kwadratów

(32)

MNK – jak to działa?

X [SI]

Y [SI]

Zakładamy, że poszukiwana zależność Y(X) jest liniowa:

y=ax+b

i poszukujemy wartości współczynnika kierunkowego a.

Każdy program dopasowujący daje nam:

a, b,

u(a), u(b) (często zwane error)

Są to niepewności TYPU A

Określenie wartości i niepewności współczynnika kierunkowego

1. Wartość i niepewność typu A otrzymuje się z dopasowania liniowego (a oraz uA(a)).

2. A co z niepewnością typu B uwzględniającą niepewność pomiarów wielkości Y i X?

3. Wybieramy jeden punkt pomiarowy (xi, yi). Dla tego punktu a=yi/xi. Niepewność typu B oblicza się tak jak dla pomiarów pośrednich:

4. I dodajemy obie niepewności z prawa przenoszenia niepewności!

Należy zwrócić uwagę, że różne programy stosują różne oznaczenia w zapisie funkcji liniowej:

(33)

Test 

2

Zmienna testowa 

2

(dla funkcji y=A+Bx!)

Definicja

Waga statystyczna

Przypadek dla funkcji liniowej

Poziom istotności  – prawdopodobieństwo odrzucenia założonej hipotezy

Liczba z zakresu od 1 do 0

Wybór zależy od obserwatora (zazwyczaj przyjmuje się wartość 0,05)

Zależność od liczby stopni swobody (liczba pomiarów minus liczba wyznaczanych parametrów)

Wartość krytyczna χ

2krytyczna

(odczytana z tabeli dla przyjętego poziomu istotności i stopni swobody)

n

i

i i

i y y x

w

1

2

2 ( ( ))

)] 2

(

[

i

i u y

w

n

i

i i

i y B x A

w

1

2

2 ( ( ) )

xi yi

u(yi)

X [SI]

Y [SI]

y(xi)=A+Bxi

y=A+Bx

(34)

Test 

2

– Ile wynosi?

xi yi

xi yi

xi yi

2

= ? 

2

= ? 

2

= ?

Ile wynosi wkład pojedynczego punktu

do całej wartości funkcji testowej?

(35)

Znajdowanie wartości krytycznej dla testu 

2

Porównanie wartości krytycznej i doświadczalnej

χ2 χ2krytyczna - brak podstaw do odrzucenia hipotezy

χ2 > χ2krytyczna - odrzucić hipotezę o liniowej zależności

(36)

Test 

2

(w programie Origin)

Equation (równanie) – funkcja, którą dopasowano do zbioru danych. W przykładzie jest to równanie liniowe

y = a + b*x.

Weight (waga) – sposób obliczania wagi statystycznej

pomiaru. Instrumental oznacza, że waga wi obliczana jest jako kwadrat odwrotności niepewności pomiaru yi (wielkość

pobierana z kolumny niepewności wielkości Y).

Residual Sum of Squares

– jest to wartość funkcji χ2

(aby ta wartość została wyświetlona w tabelce z wynikami, konieczne jest zaznaczenie opcji Residual Sum of Square w Quantities to Compute>Fit statistics w oknie parametrów dopasowania liniowego (Fit Linear)).

Adj. R-Square (normowany współczynnik determinacji) – miara dopasowania modelu. Im bliższy jedności, tym dopasowanie do modelu bliższe.

Value (wartość) i Standard Error (niepewność standardowa typu A) dla wielkości a i b.

Intercept (wyraz wolny a) i Slope (współczynnik kierunkowy b).

Opis i nazwy

parametrów zależą

od wersji programu!

Cytaty

Powiązane dokumenty

Comparing the results given in Table 4 with the results of determining the unidirectional uncertainty given in Table 3, it can be claimed that in the case of 50, 100, 150 and 300

Odczyt temperatury przy użyciu zdjęć zarejestrowanych z użyciem kamery termowizyjnej został zrealizowany jako średnia wszystkich pikseli obiektu Z avg ,

Błędy przypadkowe: występują zawsze w eksperymencie, lecz ujawniają się gdy wielokrotnie dokonujemy pomiaru przyrządem, którego dokładność jest bardzo duża a błędy

Błędy przypadkowe: występują zawsze w eksperymencie, lecz ujawniają się gdy wielokrotnie dokonujemy pomiaru przyrządem, którego dokładność jest bardzo duża a błędy

larger hydrodynamic pressures re induced on the hull surface in beam waves, and, following to -that case, in quartering -and bow waves, which produce the large bending moments on

Analysis of the determinants of osteopenia and osteoporosis showed that statistically the reduced bone mineral density was often observed in children treated with

Jedw abniczego „Silwana”. Od razu też wszedł w środowisko kulturalne Gorzowa, byłjednym ze stałych członków tzw. Roz­ począł w spółpracę z „Ziemią

2) stopień funkojonalnośoi mieszkania powinien byó brany pod uwagę w czasie projektowania mieszkań, przy czym jego wartośó najniższa powinna byó określona w