MATEMATYKA KONKRETNA 1 Z6
1. Zbadać, które spośród własności podanych na wykładzie ma relacja R:
(a) R ⊆ N2, x R y ⇔ (x|y ∨ y|x);
(b) R ⊆ N2, x R y ⇔ (x|y ∧ y 6= x);
(c) R ⊆ R2, x R y ⇔ x2 6= y2; (d) R ⊆ Z2, x R y ⇔ |x| + |y| = 3;
(e) R ⊆ C2, x R y ⇔ Re x ¬ Re y
2. Zbadać, czy relacja % jest relacją równoważności w zbiorze X. Jeżeli tak, to wyznaczyć dwie różne klasy abstrakcji tej relacji.
(a) X = Z, m % n ⇔ m2 ¬ n2;
(b) X = Z, m % n ⇔ max{3, m} = max{3, n};
(c) X = Z, k % m ⇔ 3|km;
(d) X = Z, k % m ⇔ 4|(k3− m3);
(e) X = 2N\ {∅}, A % B ⇔ A ∩ B 6= ∅;
(f) X = 2Y (zbiór Y ma co najmniej 2 elementy), A % B ⇔ A ⊆ B ∨ B ⊆ A;
(g) X = R, x % y ⇔ x − y ∈ Q;
(h) X = R, x % y ⇔ x − y = [x] − [y].
(i) X = C, x % y ⇔ Rex = Rey;
(j) X = C, x % y ⇔ x − y ∈ Z;
(k) X = C, x % y ⇔ x4 = y4;
3. Na zbiorze X = [−5, 5], określamy relację ρ: xρy ⇔ |x + 2| = |y + 2|
Sprawdzić, że jest ona relacją równoważności i podać przykłady jednoelementowych i dwuelementowych klas abstrakcji.
4. Na zbiorze A = {k ∈ Z : −44 ¬ k ¬ 44} określamy relację R:
mR n ⇔ sin(mπ
6 ) = sin(nπ 6 )
Sprawdzić, że jest ona relacją równoważności i podać liczbę jej klas abstrakcji.
