Caleidoscoop van de wiskunde

2-

,

b

ç~

2.t:j

- ' I ,

"2-

l))

.

"

.

' . . ..

~

..

.

Caleidoscoop van de

,

'

-

Wiskunde

,

.

Bibliotheek TU Delft

,

111111111111

1

C 21135826

2367

I/

I

311

I

'

5

('--~)

/

' ) I

,

.'

, \

, ,

Cale,

idosc-

oop

,

va~

de

Wiskunde

onder redactie

·

van

.

A.W. Grootendorst

·

en A.J. van Zanten

)

CIP-gegevens KO,ninklijke Bibliotheek, Den Haag Caleidoscoop'

Caleidoscoop van de Wiskunde/ red.: A. W. Grootendorst, AJ. van Zanten. -Delft: Delftse Universitaire pers. - lIl. - Met lit. opg.

ISBN90-407~1122-4 '

NUGI 811

Uitg. in opdracht van Vereniging voor Stu.die- en Studentenbelangen te Delft

© 1995 by the' authors

Uitgegeven door:

Delftse Universitaire. Pers Stevinweg 1, 2628 eN Delft

tel. 015 -783254, telefax 015 -781661. In opdracht van:

/

Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft Poortlandplein 6, 2628 BM Delft

tel. 015 -782124, telefax 015 -787585.

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze. uitgave mag worden verveelvoudi,gd, opge-slagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij e!ektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights resèrved, No part ofthis publication rtlay be reproduced, storedin a retrieval

system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording, or otherwise, without the prior ~ritten permission of the publisher.

\,

5

Ten gélefde

, I

1 ,

De bundel die voor u ligt bevat de teksten van de voordrachten die in het cursusjaar 1991/1992 zijn gehouden in het kader van de 'caleidoscoop-serie', een reeks voor-drachten voor ~ in eerste instantie - wiskundestudenten aan de Technische Univer-siteit Delft over uiteenlopende onderwerpen uit de wiskunde, waarin een aantal boeiende facetten daarvan werden belicht.

, De keuze van de onderwerpen werd geheel aan de sprekers overgelaten, zodat onder-linge samenhang nllUwelijks aanwezig'is (met uitzondeling van' de voordraçhten 4 en 5 die door· dezelfde spreker zijn gehouden). Het taalgebruik is evenmin gecoördineerd: ook hier prevaleerde de vrije keuze.

Het .initiatief tot deze activiteit werd genomen door de Wiskunde en 'Informatica Studievereniging 'Christiaan Huygens' ~ die daarvoor Zeker een compliment "verdient. Tevens gaat onze dank uit naar de VSSD,die de uitgave van dit boekje ter hand nam, zoveel goede suggesties gaf en het in zo'n voortreffelijke vorm goot.

Nu deze voordrachten in de vorm van dit boekJe in wijdere k.ring bekend worden, hopen wij dat de lezers er evenveel genoegen aan zullen beleven als dè schrijvers bij het samenstellen ervan:

Delft, april 1995 De redacteuren

A.W. Grootendorst A.J. van Zanten

\ I

Inhoud

, I TEN GELEIDE HET VIERKLEURENPROBLEEM I.M. Aarts Geschiedenis Opzet van dit artikel De Identiteit van Euler De vijfkleurenstelIing Het vierkleurenprobleem

Referentie~

KETTINGBREUKEN: EEN BINDENDE FACTOR M.G. de Bruin

Inleiding

1. De alg~lït~e

2

.

,

Differentievergelijkingen

3.

Produkten van matrices 4. Möbiustransformaties

" _, 5.'

e-

Kettingbreuken

6.

Nulpunten van polynomen, 7. Slotopmerkingen

ONTBINDEN IN FACTOREN HJ.A. Duparc •

DE MEETKUNDIGE ALGEBRA BIJ EUCLIDES EN DE OORSPRONG V AN DE TÈRMEN PARABOOL, HYPERBOOL EN ELLIPS

A.W. Grootendorst

1 . Oriëntatie in de tijd 2. De bronnen

3. ,De oorsprong van d,e meetkundige,algebra bij de Grieken

7

5

9

9

10

15

18

19

21

23

23

23

25

26

28

29

30

31

33

37 37

39

4.1

4. Enkele eenvoudige stellingen uitde meetkundige algebra 43 5. Enkele opmerkingen over het probleem van het ilTationale bij de

Grieken'

6. Drie prpblemen uit de meetkundige algebra Literatuur

EUDOXUS EN DEDEKIND À.W. Grootendorst

/ '

i

.

Het irrationale in de Griekse wiskunde vóor Euclides

49

53

63

65

8 Inhoud'

2. Verhouding en evenredigheid van getallen bij Euc1ides:Eudoxus 69 3. Verhouding en evenredigheid van grootheden bij EucIides: Eudoxus 71

4. Het irrationale getal bijDedekind 76

Aantekeningen 83

Literatuur 84

STOEIEN MET HILBERTMA TRICES

87

J. Simonis

Momenten uit Hilbelts leven

, r

Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'sdien Polynoms De polynoomruimte VII

Een stelling van Cauchy . Een reeksontwikkeling

Een schatting van 11 HII 11

Een voorbeeld van slecht gedrag Literatuur

DE VIER;DE DIMENSIE

Th.H.M. Smits

1. I Ontstaan der qu~tell1ionen

2. Rotaties in ]R3

3. De 4-kwadratenstelling 4. Oktaven

5. Classificatie van algebra' s 6. Spin van het electron 7. liet Leech-Iattice Referenties

'1

RAMSEY -THEORIE OF HET GEGENERALISEERDE DUIVENHOKPRINCIPE ' A.J. van Zanten '

1 . Inleiding

2. Eenvoudige voorbeelden 3. Ramsey-getallen

4. Een ongelijkheid voor Ramsey-getallen 5. Bekende Ramsey-getallen

6. Een Ramsey-spel

7. , Getallen van Van der Waerden 8. De Folkman-constructie OVER DE AUTEURS ... TREFWOORDENREGISTER

87

I 87

87

88 90 90 92 92 95 95 96 98 100 102 104 105 . 107 109 H>9 109 111 113 114 115 116 118 121 123

/

9

Het vierkleurenprobleem

J.M. Aarts

Geschiedenis

Aangezien de geschiedenis aanvangt met geschreven documenten, begint de geschiedenis van h~t vierkleurenprobleem in [1878J. In dat jaar vràagt Cayley in een

. artikel, aangeboden aan de London Mathematical Society, een bewijs voor de vierklelIrenhypothese: .

. iedere landkaart kan met vier kleuren gekleurd worden en wel zó dat elk tweetal aan'

. } \ "'"

elkaar grenzende l(inden daarbij verschillende kleuren .krijgt.

De mondelinge overlevering schrijft de~onnulering van d.~ vierkleurenstelling to~_ aan . . professor DeMorgan, die haar in 1852 had geleerd van (jawel) zijn student Frederick

Guthrie, die op zijn beurt weer pronkte met de wijsheid van zijn broer Francis '

Guthrie.

Al vrij snel kwamen er reacties op het artikel van Cayley. Bewijze!) van de

vie~kleurenstel1ing w~rden gepubliceerd door Kempein [1879J en· door Tait in [1880J.

Jammer genoeg kleefden er aan deze bewijzen enige onriauwkeurigheden. Dat werd aangetoond door respectievelijk Heawood in [1890J en Peters en in [1891]. Heawood lief men behulp vah de door Kempe ontwikkelde methoden zien dat de volgende vijfkleurenstelling wel geldt:

iedere landkaart kan met vijf kleuren gekleurd wordenzó dat aan elkaar grenzende

, . .

.landen daarbij verschillende kleuren krijgen.

Verder gaf Heawood als eerste oplossingen voor kleurproblemen'op andere opper-viakken, zoals bijvoorbeeld de torus.

In de loop' der jaren zijn er door vele onderzoekers inspanningen verricht om de v-ierkleurenhypothese te bewijzen dan wel te weerleggen. Het vierkleurenprobleem was (en is. eigenlijk nog steeds) een van de' grote onopgeloste problemen uit de wiskunde. Het onderzoek aan het vierkleurenprobleem heeft een enorme bijdrage geleverd aan de ontwikkeling van de grafentheorie.

In [1976J kondigqen Appel en Haken aan dat zij .er in geslaagd waren om met de hulp van de computer de vierkleurenstelling te bewijzen. De oplossing vergde meer dan duizend uren rekentijd. Hèt ging daarbij niet om het u'Ïtvoeren van ingewikkelde berekeningen, maar om het generer~n van lijsten van alle mogelijke speciale gevallen die door de computer bekeken moesten worsien_. . In elk van de gevallen -_{. . I .} en dat zijn

10 Het v;erkleu!enprobleem

vier kleuren mogelijk is. We komen hier nog op terug. Al met al zijn we in een tamelijk onbevredigende ~ituatie beland. Enerzijds is er een oplossing, maar ef' is geen mens die de oplossing kan controleren. Van een bewijs verwacht je, dat je het kan vOlgeri, ja z,elfs kan navertellen, zeg in een mid'dag desnoods in een week. Het)s . echter: al ondoenlijk om te controleren dat de lijst van alle te onderzoeken specialé gevallen inderdaad volledi& is.

"

Opzet van dit artikel

De rest van dit artikel bestaat uit vier delen.

Eerst zullen we beschrijven wat we onder een kaart verstaan en het vierkleuren-probleem nauwkeurig beschrijven. Enkele reducties van het vierkleuren-probleem worden besproken. Ook kómen de beschrijving van het vierkleurenprobleem met behulp van grafentheorie en een equivalente formulering van het vierkleurenprobleemaan de orde. In hei tweede deel bespreken We de identiteit van Euler. Deze speelt een essentiële rol in het bewijs van de vier- en vijfkleurensteIling.

Het derde deel bevat een volledig bewijs van de vijfkleurenstelling. Wat hier aan de orde komt is van groot nut in het laatste deel waar we enkele aspecten van het bewijs van de vierkleurenstelling bewijzen.

We beginnen met het bes~hrijven van kaàrten in het vlak. Een topologische cirkel of

Jorda';kromme in het vlak is het beeld van een gewone cirkel onder een bijective

continue afbeelding. Zo'n topologische 'cir~el ~erdeelt het vlak' in precies twee &ebieden die elk 'de topologische cirkei tot' rand hebben. (Een gebied is een open en samenhangende verzameling.) Dat lijkt evident, maar het is allerminst eenvoudig. Het ligt besloten in de steIling van Jordan.

Laten nu eens eÏJldig veel topologische cirkels in het vlak gegeven zijn. Zij verdelen het vlak in een aantal gebieden. 'Dat kunnen er weleens oneindig veel zijn. Als het aantal gebieden waarin het vlak verdeeld wordt eindig is; dan spreken we van een

kaart. Elk complementair gebie~ tezamen met zijn rand heet een, land. Landen geven

we in het algemeen aan met hoofdletters. Een kaart lijkt natuurlijk erg veel' op een· <

'Hef vierkleurenprobleem 11

, gewol}e landkaart. Enkele opvallende verscHillen zijn .dat de zee ook als land wordt , beschouwd, en dat eilanden en enclaves alle als aparte landen worden opgevat. Twee . landen in een kaart grenzen aan elkaar of zijn buren als

ze

een Jordanboog (ditis het, '

beeld van een gesloten interval onder een bijective continue afbeelding) gemeen-schappelijk hebben; in dat geval heet de doorsnede van de landen de grens.

A 'en B grenzen aan elkaar A en B grenzen ;-liet aan elkaar . Een kaàrt kleuren met een ,zeker aantal kleuren wil zeggen: ieder land één van de kleuren geven en wel zó dat buren altijd verschillende kleuren krijgen. We noemen dit een kleuring van de kaart. Kleuren worden,áangegeven met kleine letters.

Hoeveel kleuren zijn nu nodig om iedere kaart te kunnen kleuren? Met drie kleur:en lukt het niet.

/

F

, Het deel van de kaart van Europa waarin België, Frankrijk, Duitsland en Luxemburg liggen laat dat zjen. Cayley's vraag was nu: toon aan dat iedere kaart met vier kleuren

. gekleurd kan worden.

We makell' nu enkele voorbereidende opmerkingen. De algemene aanpak van de. kleurproblemen is een bewijs door volledige inductie. Om de delen van zo'n bewijs in elkaar te passen voert men het begrip reducibele kaart in. Men noemt een kaart

reducibel wanneer er een methode ,is om de kleuring van die kaart te herleiden tot kleuringen van kaarten met minder landen. ,Het gaat' hierbij om kleuringen met vier of vijf kleuren.

12 Het vierkleurenprobleem

. . . .

Bekijken we eerst de situatie ·uit de onderstaande figuur. De drie landen A, ~ en C . I vormen tezamen ,een verzameling waarvan het complement uit twee delen bestaat: die

geven we aan met KI en K2. We zullen laten zien dat deze kaart reducibel is. In dit verband noemen we de drie ring A-B-C een reducibele configuratie; immers het feit dat de kaart reducibel is wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van de driering A-B-C.

Hoe bewijzen we dat? We maken twee nieuwe kaarten MI en M2 als volgt.

)

Kaart M,

De kaarten MI en M2 hebben minder landen dan de oorspronkelijke kaart. Als we aannemen dat MI en M2 gekleurd kunnen worden, dan kunnen we het zó inrichten dat A, B en C in MI en M2 dezelfde kleuren krijgen, zeg in deze volgorde

á,

b en

è.

Door I de ma~ier waarop we de káarten gemaakt hebben zijn a,

p

en c noodzakelijkerwijs verschillende kleuren.

De kleuringen van M I en M 2 leveren op eenvoudige wijze een kleuring van de oorspronkelijke kaart op. Op dezelfde wijze. toont men aan dat een twee- of éénring een reducibele configuratie is.

\ .

Het vierkleurenprobleem. 13

Een tweering Een éénring

Een ho~kpunt in een kaart is een punt dat tot drie of meer landen behoort. Het aantal landen waartoe een hoekpunt behoort heet de orde van het hoekpunt.

Stelling. Een kaart waarin een hoekpunt van orde groter dan driç voorkomt is reducibel. Anders gezegd: een hoekpunt van orde groter daridrie is een reducibele configuratie.

Bekijk de linker f{guur. Daarin is een hoekpunt van orde groter dan drie. We weten al dat een één- en êen tweering reducibele configuraties zijn. Als B en E hetzelfde land zijn of aan elkaar gren~en, dan hebben we te maken met een één- of een tweering en is de kaart op die gronden reducibel. We mogen dus aannemen dat Ben Everschillend zijnen niet aan elkaar grenzen. Uit het laàtste vol~t dat B en E eenzelfde kleur mogen krijgen. We breken nu het hoekpunt open zoals geschetst in de rechter figuur. Deze nieuwe kaart heeft één land minder dan de oorspronkelijke. Een kleuring van de nieuwe kaart geeft meteen een kleuring van de oorspronkelijke kaart.

. Definitie. We:noemen een kaart regulier indien daarin geenéén-, twee of driering

voorkomen en indien ieder hoekpunt ~rde drie heeft.

Op grond van het voorgaande mogen we ons bij de behandeling van het vierkleuren-probleem en de vijfkleurenstelling beperken tot reguliere kaarten: De kleuring van de niet-reguliere kaarten kan immers afgeleid worden uit de kleuring van kaarten met minder landen. Merk op dat in een teguliere kaart iedere grens een Jordanboog is. Voor we ons met ernstiger zaken gaan bezig houden noemen we nog twee dingen die weliswaar niet onbelangrijk zijn, maar door hun aard nog gerekend kunnen worden tot

,

,

•

14 Het vierkleurenprobleem

Stelling. Zij M een reguliere kaart. Dan kan M gekleurd worden met vier kleuren dan

en slechts'dan indien de grenzen van M met driekleuren zó gekleurd kunnen worden dat in ieder hoekpunt drie verschillend gekleurde grenzen samenkomen.

Bewijs. We bewijzen één kant van _de stelling. Voor de rest van het bewijs zie bijvoorbeeld Saaty en Kainen [1977]. Stel dat M gekleurd is met vier kleuren. We

kleuren de &renzen volgens het volgende schema. Kleuren aan weerszijde

van de grens a-b of c-d a-c of b-d a-d of b-c Kleur grens 2 3 I

Men gaat eenvoudig na dat hiermee d~ gewenste kleuring van de grenzen verkregen wordt.

We merken nu op dat de grenzen van een reguliere, kaart te samen met de hoekpunten opgevat kunnen worden als een vlakke graaf G. Dit is één verbinding tussen . kleurproblemen en grafentheorie. Een andere verbinding verkrijgt men op de volgende wijze. Kies in ieder land een punt (de hoofdstad). Dit wordt een punt in de te VOrmen graaf. Twee punten in de te vormen graaf worden verbonden indien de correspon-derende landen aan elkaar grenzen.

B*

B

o

F

F*

/ Op deze manier krijgen we een vlakke graaf G*. Dit is de duale graaf van de

bovengenoemde graaf G. In plaats van kaarten te kleuren kunnen we nu ook de punter in grafen kleur~n en wel zó dat punten die verbonden zijn verschillende kleuren krijgen. In de taal van de grafentheorie luidt de vierkleurenstelling: het chromatisch getal van een vlakke graaf is kleiner dan of gelijk aan vier. Het laat zich raden wat, het chromatisch getal is.

. Het vierkleurenprobleem 15

De

Identit~it

van Euler

Euler ontdekte dat er bij veelvlakken in de ruimte een eenvoudige relati~ bestaat tussen het aantal vlakken, het aantal ribben en bet

aant~l hoekp~nten

.

Deze naar· Euler genoemde relatie komt op 'verschillende plaatsen terug. Zij verwoordt in feite een

diepliggendeeigen

~

chap

van het vlak

e~

het boloppervlak. We zullen hier een variant van de identiteit van Euler bespreken in de. taal van de landkaarten.

Stelling. Zij Meen kaart zonder één-of tweering. Is H het aantal hoekpunten, G het -aantal grenzen en L pet aantal landen, dan geldt

•

H-G+L=2.

Deze relatie hj!et de identiteit van Euler.

Bewij~. We bewijzen de identiteit door een bewijs met volledige inductie. OmdatM

geen éénring bevat kunnen we M ontstaan denken door met een willekeurig land van M te beginnen, en er dan .telkens één land aan toe te voegen en wel zó dat het .

toegevoegde land grenst aan een land uit het reeds gevormde deel. o.mdat M geen tweering bevat bestaat de grens tussen landen uit precies één boog.

Zo ziet bijvoorbeeÎd het begin eruit~'Het is een land met 5 grenzen en 5 hoekpunten. In

\ '

M heeft dit land dus 5 buren. Voor deze partiële kaart klopt de identiteit van Euler: Er zijn 2

.l~riden

(L

=:= 2), er zijn G =H

=

5.

.

I

D

. . J

. I

Nemen we aan dat we een gedeelte M* vanM reeds verkregen heblJen en dat voor M* de Identiteit van E,uler geldt.

Toevoegen van een land aan M* komt neer op het toevoegen van een aantal zeg a ~ grenzen en ~'-'1 hoekpunten. (De hoekpunten van het toe te voegen land die in M*

liggen zijn daar reeds aanwezig)

_,

. Het aantal landen vermeerdert met 1. Het totale effect op de som

H -

G + L,is O.

De identiteit van Euler wordt dus niet ver$toord door toevoeging van een nieuw land. Daarmee is het bewijs voltooid.

16 Het vierkleurenprobleem

Met behulp van de identiteit van Euler zijn veeLinteressante eigensçhappen af te leiden.

Euler gebruikte de relatie om een volledige opsomming te geven van regelmatige en

,halfregelmatige veelvlakken. Daarover is in [1991] een heel aardig boekje verschenen van de hand van A.K. van der Vegt.

We zullen ons hier beperken tot toepassingen van de Identiteit die samenhangen met het vierkleurenprobleem. Een poging om de vierkleurenhypothese te. weerleggen zou kunnen bestaan uit het maken van een kaart met vijf landen die twee aan twee aan elkaar grenzen. Bestaat zoiets? Laten we eens aannemen dat zo'n kaart bestaat. Voor zo'n kaart geldt dan L

=

5.

.

.

Zo'n kaart kan géén tweering bevatten, want landen aan verschillende kanten van de

twe~ring grenzen niet aan elkaar. Hieruit volgt dat de grens tussen twee . landen uit precies één boog bestaat. Ieder land heeft 4 buren en dus vinden we G

=

10 (ieder land'

. heeft 4 grenzen, dat is 20 grenzen ?llles bij elkaar, maar iedere grens is twee keer geteld). In ieder hoekpunt komen tenminste drie grenzen samen en dus is H ::;; 2013

(iedere grens heeft twee hoekpunten). Omdat H geheel is, komt er H::;; 6. Vullen we dit in in de identiteit van Euler dan komt er

H - G + L ::;; 6 - 10 + 5

=

1, en 1 is niet gelijk aan 2. We zien dat de Euler Identiteit niet geldt. Tegenspraak.

, / '

Con,clusie: er bestaat geen kaart vanv,ijf landen die twee aan twee aan elkaar grenzen.

Terloops zij opgemerkt dat een soortgelijke redenering ook aangewend kan worden om te laten zien dat de 'utilities graph' niet ingebed kan worden in het vlak. Waar gaat het hierom?

Gegeven zijn drie huizen A,.Ben C en drie nutsbedrijven W (voor water), G (voor gas) en E (voor elektriciteit).

De vraagis nu: kunnen A, B en C elk op water, gas en elektriciteit worden aangesloten

_,

"

(elk verbonden worden met W, Gen E) zó dat de gebruikte verbindingen in het vlak elkaar niet snijden. Het antwoord is nee. (Sterkte met de oplossi'rig.)

, . ,

Voortgaande met onze bespreking van toepassingen die samenhangen met het vier-kleurenprobleem, laten we nu zien dat iedere reguliere kaart landen moet bevatten met 'weinig' buren.

Daartoe maken we een verfijning van de Identiteit van Euler.

Zij M een reguliere kaart. Het aantal landen in M met n burel) geven we aan met LT!.

Hierbij is n ~ 3, want in M zijn geen tweeringen. pok bestaat de; grens tussen twee landen .uit precies één boog. Daarom krijgen we voor de kaart M het volgende.

Het aantal grenzen

wo~dt

G

=

~

Ln Ln. Hierbij is de sommatie over alle n

~

3. Dat de formule klopt ziet men als volgt. ledet:-land met n buren heeft n grenzen en er zijn dus alles bij elkaarL n

L

~

grenzen. Iedere grens is hierbij twee keer geteld. Uit -de

" '

i

Het vier~/eurenprobleein 17 opmerking dat iedere grens een boog is volgt voor het aantal hoekpunten:

H=2f

=~

L

nLn

Vullen wij dit alles in in, de identiteit van Euler dan komt er

1 1 .

'3

L

nLn -

'2

L

nLn +

L

Ln

=

2

/'

ofna vermenigvuldiging met 6

L(6 - n)Ln

=

12 hetgeen na herschikking leidt tot

3L3 + 2L4 + Ls

=

12 +L7 + 2Ls + ...

De getaÏlen in het linkerlid geven de bijdr~gen van de landen met 3, 4 of 5 buren.Die .. '

bijdragen moeten·in het totaal in ieder geval 12 ofmeer zijn. Dit komt omdat alle

, getallen Lk gro.ter dan of gelijk aan nul zijn. Een belangrijke consequentie van dit alles is:

/ ,

Stelling. Iedere reguliere kaart bevat tenminste één land met vijfof minder buren.

, ,

, Dit zal voor ons bewijs van de vijfkleurenstelling voorlopig genoeg informatie blijken te zijn.

We sluiten onze beschouwingen overde identiteit van Euler af met een opmerking over kleuq;roblemen op andere oppervlakken dan, de bol.

Torus Oubbeltorll.s·of krake/(ng

Men kan natuurlijk ook definiëren wat kaarten op andere ,oppervlakken zijn. Bij andere'

oppervlakken kan men bijvoorbeeld denken aan de torus of de krakeling. Met enig verstand van zaken kan men ook bij deze oppervlakken een relatie afleiden tussen het aantal landen (L), hèt aantlll grenzen (G) en het aantal hoekpunt~n (H). Voor de torus vindt men H + G + L

=

0 en voor de krakeling H - G + L

=

-2. In samenhang hiermee noemt men 2, 0 en -2 de karakteristiek van Euler van respectievelijk de bol (of ook het vlak), de torus en de krakeIlng. Met behulp van deze kennis bewees Heawood i~ [1890] dat iedere kaart op de torus met Zeven kleuren gekleurd kan worden. Verder liet hij zien dat er een kàart op de torus gemaakt kan worden die bestaat_. , uit zeven landen die twee aan twee aan elkaar grenzen. Zo'n kaart kan niet. met

,

.

18 Het vierkleurenprobleem

Het boek van Ringel uit [1974] bevat een volledige behandeling van de kleur-problemen van alle oppervlakken behalve de bol. Een interessant aspect is dat in 1974 alle kleurprobletnen, behalve het vierkleurenprobleem, volledig opgelost waren.

·

De vijfkleurenstelling

We geven nu een bewijs van de vijfkleurenstelling.

Stelling: Iedere landkaart kan met vijf kleuren gekleurd worden zó dat aan elkaar

, grenzende landen daarbij verschillende kleuren krijgen.

Bewijs. Het bewijs is met volledige inductie. Als ~e landkaart vijf of minder landen bevat, kan zij met vijf kleuren gekleurd worden.

Zij nu M een kaart met n landen, waarbij n ~ 6. We nemen aan dat iedere kaart met minder dann landen met vijf kleuren gekleurd kan worden. Dit isde inductieveronder-stelling.

We mogen aannem~n dat M regulier is. In het andere geval immers bevat M reducibele

, ,

configuraties en kan de kleuring van M herleid worden tot de kleuring van kaarten met minder dan n landen. En kaarten met minder dan n landen kunnen gekleurd worden volgens de inductieveronderstelling.

Met de identiteit van Euler hebben we afgeleid dat M een land bevat met vijf of minder buren. Zij F zo'n land.

We vormen hu een nieuwe kaart M' door het land F tot één punt samen te trekken. Volgens de inductieveronderstelling kan M' met vijf kleuren gekleurd worden. De , kleuring van M' brengen we over naar M. Als hierbij voor de kleuring van A tI~ E maar vier (of minder) kleuren gebruikt worden, dan kan de' vijfde kleur gebruikt worden voor F.

We moeten dus nog pekijken het geval dat voor de kleuring van A tlrn Ë vijf kleuren nodig zijn. Zij A gekleurd met a, B met b, C met c, D met d en tenslotte E met e.

We proberen nu de kleur ;van C te veranderen van cin a. Daarbij maken we gebruik van het door Kempe in [1879] ingevoerde begrip keten. Als een kaart ge~eeltelijk

, gekleurd is, dan heten twee landen X en Y -v-erbonden door een (x,y)-keten, indien er een rij landen be~taat, opeenvolgend gekleurd met x en y, zó d,at het eerste land uit de rij X is, het laatste Y, terwijl ieder land uit de rij grenst aan zijn opvolger in de rij. Zoals gezegd proberen we de kleur van C te veranderen van-c in a. Daartoe

beschou-.

'

, Het vierkleurenprobléem 19

wen we alle landen die met C verbonden zijn met een (a,c)-keten. We onderscheiden twee gevallen;

1: A en C zijn niet verbonden door,een (à,c)-keten.

2. A en C zijn wel verbonden door een (a,c)~keten.

'In het eerste geval beschouwen we alle landen die met C verqonden zijn door een (a,c)-keten. In dit geval behoort Á hier niet toe. We gaan bij deze landen de kleuren a ~ en c verwisselen. Hierdoor krijgen we eveneens een kleuring van M met uitzondering van F. Voor de buren van F hebben we nu de kleuring A met ai B metb, C met

a,

D

met d en E met e. We kunnen nu F kleuren met c.,·

In het tweede geval bekijken we de (a,c)-ketendj~ C met A verbindt tezamen met F. De ring R die zo gevormd wordt verdeelt het vlak in .twée delen. We kunnen nu een \:,ariant toepassen van de redenering van het eerste geval. Beschouw a:Ile landen die met D verbonden zijn door een (b,d)~keten. B kan daar niet bij zijn, omdat een (b,d)-keten de ring R niet kan kruisen.

We kunnen dus bij D en alle landen, die met Ddoor een (b,d)-keten verbonden zijn de' kleuren b en d verwisselen

ca

is daar niet bij) en F kleuren met d.

Hiermee is het· bewijs voltooid. '

Het vierkleurenpro.bleem

Voor een bewijs, van de vierkleurenstelling kunnen we veel van het voorgaande gebruiken: Zo'n bewijs gebruikt de methode van volledige inductie. Net zoals bij het bewijs van de vijfkleurenstelling mogen we aannemen dat de te kleuren kaart M

, regulier is. In M is er dan: een land met drie, vier of vijf buren. '

Ee~

land met drie buien is omgeven door een driering en vormt zoals we eerder gezien hebben een reducibele configuratie. Een kaart met een land met vier buren kan net zo behandeld worden als de kaart met een lanq met vijf buren in het bewijs van de vijfkleurenstelling. Zo vindt men 'een bewijs voor het volgende lemma.

Lemma. 'Een land met vier buren is een reducibele. configura.tie.

\

Op grond van dit lemma ,mogen we bij het bewijs van de vierkleurenstelling aannemen dat M geen enkel land bevat met minder dan vijf buren.

Met de eerder ingevoerde notatie krijgen we voor M: Ls

=

12 +

I/

(n - 6)Ln

n?7

-, (*)

,We zien dat er minstens 12 landen zijn met vijf buren. Jammer genoeg is nog niemand in staat geweest om te bewijzen dat een land met vijf buren reducibel is.

I

2'0 Het vierkleurenprobleem

In [1913] bewees Birkhoff onder andere dat een groep van vier lànden met vijf buren gerangschikt als in de figuur wel een reducibele configuratie is. Maar we kunnen niet bewijzen dat er altijd zo'n configuratie aanwezig is. Het probleem waarvoor we ons gesteld zien is tweeledig.

Ten eerste moeten we proberen het aantal reducibeIe configuraties op te voerèn enten tweede moeten' we proberen de Identiteit van Eulet: zo te gebruiken dat we kunnen laten zien dat meer en meer configuraties moeten voorkome~ in een kaart en wel die configuraties

waarv~n

is

a~ngetoond

dat ze redueibel zijn. Volgens Appel en Haken was Heesch een van de weinige wiskundigen die geloofden dat langs deze lijnen een oplossirig van het vierkleurenprobleem gevonden kon worden.

Tot besluit van onze opmerkingen over het bewijs van de vierkleurenstelling lichten we een methode toe die door Heesch is ontwikkeld om vast te stellen dat bepaalde_ configuraties in een kaart moeten voorkomen. De methode heet die van de ladings-verschuiving.

We lichten de methode toe aan de hand van een propositie.

Propositie. Iedere reguliere kaart waarin ieder land vijf of meer buren heeft bevat een tv.:'eetal landen die buren zijn van elkaar en waarbij één laIld van het paar vijf buren , heeft, terwijl het andere land hoogstens zes buren heeft.

Bewijs. We herschrijven de formule (*) als Ls

+

'

1:

(6 -n)Ln

=

12

n?7

We kunnen de formule als volgt interpreteren. Geven we ieder land met vijf bureri een lading + 1, ieder

l~nd

met zes buren een lading 0 en ieder land met "n. buren, waarbij n ~ 7, een lading 6 - n dan zegt de formule dat de som van alle ladingen + 12 is. We schuiven nu de lading van een land met vijf buren weg naar zijn buren, een lading

+ 1/5 naar elk van zijn buren. De totale lading vérandert hierbij niet. Na de ladings-. verschuiving moet er dus een land B met positieve lading zijn.

Neem eens aan datB vijf 'buren heeft. Dan heeft B lading van zijn buren ontvangèn. Immers alle lading' van B was weggeschoven. Dat betekent dat een . buur van B eveneens vijf buren heeft_{- .} ; _r Er is dus eén pa'ar .van twee buurlanden

Het vierkleurenprobleem 2.1 I .

Neem eens aan dat B zes buren heeft. Dan had B geen lading voor de ladingsverschuiving en erna wel. Dat betekent de aanwezigheid van een paar bestaande uit een land met vijf buren en een land met zes buren.

Neem eens aan dat B zev~n buren heeft. Dan had B een lading -1. Om positieve lading te krijg~n moet B tenminste zes buren hebbe~ die <;!lk 1/5 lading afstaan aan B. Van die zes buren grenzen er altijd twee aan elkaar. Dit geeft een configuratie als in het eerst beschouwde geval.

We weten dat een land me~ n buren waarbij n:2: 8 een lading heeft die gelijk is aan

6-n.

De totale lading die zo'n land kan ontvangen is gelijk aan niS. Omdat niS> n - 6 alleen opiossingen heeft voor n S; 7 zien we dat een land met' acht ofmeer buren bij bovengenoemde ladingsverschuiving nooit een positievelading kan krijgen. '

Hiermee hebben we àlle gevallen die op kunnen treden geanalyseerd en is het . bewijs van de propositie voltooid.

-Appel en Haken hebben, de methode van -Heesch volgend, met behulp van de computer een lijst van ongeveer 2000 configuraties gegenereerd met de eigenschap dat iedere kaart tenminste één van deze configuraties moet bevatten.

Vervolgens hebben zij, weer met behulp van de computer, aangetoond dat elk van deze configura~ie~ reducibel is.

( Zij hebben hiervan uitvoerig verslag gedaan in [1989].

Referenties

Appel K.l.en W. Haken

[1976] Every plaitar ~p isfour colorable, Bull.Am. 'Math. Soc. 82,711-712 [1989] Every planar-map isfour colorable, Contempory Mathematics, Vol. 98, xiii +

_ 741 p. Amèrican Math. Soc, Providence (R.I.) Birkhoff, G.D.

[1913] The redud~ilityofmaps, Amer. J. Math.35, 115-128 Cayley, A.

[1878] On the colouring ofmaps, Proc. London Math. Soc. 9,148,

Heawood, P.J.

[1890] Map colour theorem, Quarterly J. Pure and Appl. Math. 24, 332-338 Kempe, A.B.

[1879] On the geographical problem ofthefour'colours, Ámer. J. Math. 2, 193-20.0 Petersen, J.

[1 &91]. Die Theorie der regulären Graphen, Acta Math. 15, 193-220

22 Het vierkleurenprobleem

Ringel, G.

[1974] Map C%r Theorem, Gru'ndlehren der mathematischen Wissenschaften in

Einzeldarstellunge~, Band 209, Springer, Berlin .

Saaty, T.L. and P.e. Kainen

[i 986] The Jour-color problem, Dover New Y ork( first print 1977 by McGraw-Hill)

Tait, P.G. . '

[1880] Note on a theorem in geometry oJ position, Trans. Royal Soc. Edinburgh,

29, 6~7-660 .. Vegt, A.K. van der

[1991] Regelmaat in de ruimte,DUM, Delft.

,(

Kettingbreuken: een bindertde

fa

.

ctor

I Marcel G. de Bruin

Inleiding

23 " - .

In

het volgende verhaal zal een ander wmden toegelicht van de theorie van de zgn.

, kettingbreuken. Het is hierbij niet te voorkomen dat bepaalde aspecten en'

achter-gronden niet worden bespróken, zelfs niet eens worden genoemd

1 De spanne tijds vàn

60 minuten laat een meer uitgebreide behandeling nIet toe. Bovendien: in de praktijk en theorie van de leerprocessen en informatie-ov~rdracht wordt meestal 45 minuten. gezien als de maximale ,tijdsduur gedurende welke het gebodene nog werkelijk ~ou kunnen worden opgenomen, verwerkt ~n eigengemaakt.

"

1 .. De algoritme

Om de gedachte aèbter'de algoritme te verduidelijken, zal ingegaan worden op de zgn. reguliere kettingbreukontwikkeling van een reëel getal

ço.

Ook in de situatie van

r~tionale ~pproximatie

van (formele) machtreeksen bestaat een dergelijbekenschema: I

de wijzigingen t.o.v. de situatie

Ço

E lR zijn te interpreteren als het vervangen van het begrip 'entier' door 'in zekere zin beste benadering in niet-archimedische metriek'. De algoritrrie '

stap 0: n =' 0; gegeven

;n

stap 1: bepaal de entier [çn], schrijf

Çn

=[Çn] + (çn -

[çriD

als

Çn -

[çn]

=

0 dan STOP ànders

, '1

stap 2:

Çn

=

[çn] + -, - en n:= n+l

,

Çn'-tl

ga naar stap 1.

I

Laten we deze algoritme uitvoeren voor de reële getallen 15,6 en .fï:

. ' , I J5;6 = 15 .+ 0,6 = 15 + 5/3 5/3

=

1+ 2'/3 = _{+ 3/2} I 3/2 =1 + 1/2 2

=

2 + 0 STOP en

24 Kettingbreuken: een bindende factor = l' +"';2

~

ç

1 _ 1 ...J2-;-

=

"';2

+

1 ...J2+ 1=2+(../2-1) ~ Ç2=Çl 1 , ' .

=

2 + - met

Çn

=

Çl

(n ~ 2)!

Çn+l

"

'

,

Inderdaad geldt: de 'algoritme breekt af<=> ÇO\E Q.

Laten we eens kijken hoe de breuken zich gedragen. Hierbij wordt de ruimte

, besparende notatie met

r

gebruikt:

,

lJ lJ lJ.r;;

lJ

JJ

l J ·

15,6~15+ll +11 +12 ;'\12=1+12 +12+ 12 + ... admf.

Door na opeenvolgende deel breuken te stoppen en de zo ontstane rati~ale getallen uit,

te rekenen, krijgen wè de volgende zgn. convergenten

15; 15 +

T

= 16; 1 5 +

- - 1

=

15,5; 15 + ,} + I} + 12 = 15,6

,

} +

T

'

.

, ,

1

l ' , 1

11

lJ

lJ

, 1 1 1 7 1 1 1 17 ' '. 1;1 + 2= 1,5;1 +

rf

+

rf

= .5'= 1,4;1 +

rf

+

rf

+

rf

=, 12= 1,41.6. De zèer interessante getaltheoretische achtergronden (convergenten afwisselend groter en kleiner dan

Ço,

de convergent AIB is in 'zeker opzicht 'de beste' onder rationale benaderingen PIQ m~t PIQ '# AIB, 0

<

Q ~ B enz.; Chr. Huygens, Descriptio

, Automati planetarii, 1703) kunnen we helaas niet verder belichten. Wat is nu dan een (algemene) kettingbreuk: gegeven twee rijen (b~)';;=o, (a~);=o (eventueel functies in één of meer variabelen),' dan is dl? kettingbreuk, symbolische notatie

bo +

K~n

n=1

11

(1)

gegeven door de rij convergenten

(2)

De tellers Ai! en noemers Bn volgen uit dezelfde recurrente betrekking,

(

(3a) met verschillende beginwaarden

Kettingbreuken: een bindende factor 25 Hierbij nemen we stilzwijgend aan an ":t 0 (n ;::: I). Is voor zekere ~ndef' meen am

=

"0

en verder Bm-I ":t 0, Bn ":t 0 (n ;::: no) dan is de waarde van (I): Am-I/Bm-I. H~t convergentiebegrip is nu snel ingevoerd:

(I) heet

co~vergent

als lim

~n =

ç

bestaat (eindig)

. ~oo ft

en verder

Cl)

heet ónwezenlijk divergent als lim ABn

=

O.

n.~oo n

In dat laatste geval zegt men weld~t

Cl)

'converge~rt naar

00'. Dit is een eerste indi-catie dat ~e misschien niet alleen ~oeten 'denken in C', maar veeleer in

ê =

C u {oo} .

. . '

(denk aan de Riemann-bol).

Interessant iijn nog de volgen&~ resultaten:

00 1 . . . . . . .

A. bo + Kb

n (bo E Z, bn E N \ {On IS convergent naar een getal

Ço

E Q.

n=l . .

B.

Ço

E

Q

.

~

Ço

is te ontwikkelen in een regelmatige kettingbreuk b

_o

+

Ki

met

. . . _I n

limiet

ço.

C.

Ço

E Q, voldoet aan een kwadratische vergelijking met rationale coëfficjënten ~ op den duur is de kettingbreuk periodiek (bn+k

=

bnvoor n;:::

nu;

k

2:

1). _

00. I . . .

D.

Ço

=

bo + ,Kb voldoet aan b~l+k

=

bn (n ;::: no; k ;::: J) . ~

Ço

E

Q,

Ço

voldoet

n=1 n . . . .

aan een kwadratische vergelijking met rationale coëfficiënten.'

Resultaat C kan worden toegeschreven aan Lagrange en D aan Euler.

2.

·

Differentievergelijkingen

Het zal niemand verassen dat' er een verband tussen differentievergelijkingen én ~ kettingbreuken.

Beschouw bij gegeven rijen (an)~=], (bn);;'=oge vergelijkingen

(4)

Het is duidelijk datdeoplossingsruinite van.(4) een,twee dimensionale lineaire dèel- . ruimte is van .de verzameling van alle rijtjes complexe getallen (Xn)';;'=-I: kies maar

I '

oplossingen gegenereerd met de beginwaarden

X-I = 1, XO = 0 en X_I = 0, XO = 1. Voer nu het volgènde begrip in:

26 Kettingbreuken: een bindende factor

.

,

een oplossing (f,S';I=-1 van (4) heet dominant als

lim ,x,i

=

0 voor elke oplossing van een I-dimensionale deelruimte

, n->oo

111

' van de oplo$singsruimte. .

Het interessante verband zit nu in:

00 a '

(4) heeft een dominante oplossing ~

Kb'l

convergeert in<C.

11=1 11 , '

Nog mooier wordt de situatie in het geval van een limiet-periodieke kettingbreuk (<?f: différentievergelijking).

Laat gelden:

, _{an :t:.} 0 (n ;::: 1), lim all

=

a; lim bil

=

b 11-700 114)00 We. krijgen het resultaat:

d~

kettingbreuk bo +

K~~

is Of convergent Of onwezenlijk divergent zolang de

, =1 " ,

nulpunten' XI, X2 van x2 - bx - a

=

0

voldoen aan Ix I I :t:. IX21. '

is XI de wortel met d~ grootste absolute waarde, Ix I I > IX21, dan is voor m ;::: mo

, ' I 00 a

de kettingbreuk b

_m

+

K

bi

convergent; noemt men de limil:!t

Çm,

dan geldt

, n=m+1 n

bovendien lim

Çm

=

X I.

m->oo

Heel fraai wordt de toepassing op het geval _bn = I (n ;::: 0), _an '= anz (n ;::: 1) met z E

<C. Als lim

a

n

=

a,

dan geldt

_ 0 0 00

A. Voor

a

= 0 bestaat er bij elke 'cirkei I

Z

I ~ Reen mo zodat de kettingbreuk

K

ar

unifonn convergeert voor m ;::: ma op deze ~irkel. k=m

B. Voor a:t:. 0 is'

Kat~

.

voor m;::: mo uniform convergent op elke compacte

deel-k=11'i "

verzamèIing van C \ f., wa,arin f. de coupure is lopende van - l/(4a) naar 00 langs

d~ halfr~chte door de oorsprong en het punt - l/( 4a).

In B zien we dat' de kettingbreuk op een ve~l groter gebied convergeert dan bv. een machtreeks. De convergenten zijn dan te zien als rationale benaderingen (tegenover polynomiale benadering door pàrtieelsommen). We köm:en hierop nog terug.

' -

.

3. Produkten van matrices

.

. ~

, Kettingbreuken: een bindende factor 27

(6)

Het is dan een 'zaak van, simpele inductie om aan te tonen

'Hierin zijn inderdaad An' Bn de in (3a, b) ingevoerde grootheden: de tellers en

noemers van de convergenten van de kettingbreuK ,

ho

+

K~n

.

n=1 n

,Uit (7) kunnen we meteen iets concluderen over de tellers en noemers die optreden bij

een reguliere kettingbreukontwikkeling van een getal

C;o

E IR \

IQ

als 'in de algoritme

van de eerste paragraaf:

De convergentefl Ak/Bk en Ak-I/B k- I zijn dan ,bv. niet meer tf vereenvoudigen

breuken. Dit kan benut worden in het bewijs van:

alle oplossingen (x,y) E Z x Z van de diophantische vergelij/äng

px - qy

=

r(p, q, rE Z \ (Ol, q > 0).

zijn te schrijven als,

x

=

Bn_Ir ;+-mq, y

=

An-"Ir +mp Cm E Z) met l!.. _ iJ iJ _An - ho + Il. +. ... + Il. - B " q UI Un n , en

ho+~+

... +

~

=ABn-l . UI ' Uil-I n-1. N.B. Uit

ziet men hoe transcendent getal te maken is: zorg voor hn's met de eigenschap daler

voor elke m' E N (hoe groot ook) ,een n. bestaat met bll+ I > B': (het wordt een

28 Kettingbreuken:. een bindende "factor

4. Möbiustransformaties

De invoering van de kettingbreuk m.b.v. samengestelde afbeeldingen in (6) laat onmiddellijk de juistheid van de volgende methode inzien.

A A

Beschouw zgn. Möbiustransformaties (één-éénduidige afbeeldingen van <C naar <C die cirkelsllijnen overVoeren in cirkelsllijnen):

Sk(W)

=

ba+k (k;::: 1)

. k W

Zijn hu AntBn de convergenten van

., . dan:

K

~ak b ' dus k=l k An + WAn-l (n ;::: 1), Bn

+

WBII_1

waaruit onmiddellijk volgt:

Sn(ü)

=

~:

.

(7a)

(7b)

(8)

Bovenstaand formalisme geeft een ingang tot methoden van convergentieversnelling. Bij een convergente kettingbreuk hebben we (neem even b

_o

=

0):

UitSo

=

lim Sn(ü) zien we dat bij het limietproces eigenlijk steeds 'de staart'

Çn

wordt vervangê;door ü ook al zou lw.

Çn

een limiet;>!:· 0 hebben. Door nu, in bepaalde gevallen, de staarten

Çn

te vervangen door slim gekozen (andere) waarden, kan convergentieversneIling bereikt worden.

E!:!n andere toepassing van de formulering met Möbiustransformaties vindt men in het afleiden yan convergentie stellingen: liggen de (ahbk) in een "rij verzamelingen in <C van bepaalde soort ('element regions'), dan liggen de waarden Sn(w) in een andere rij ver-zamelingen ('value regions') die soms naar een punt convergeert. Ligt de oorsprong in alle value regions, dan is er dus zeker convergentie! Bv. liggen de (an)';;'=l van Kalk

, . . . k=l

/

Kettingbreuken: een bindende factor 29

2 ' I 2 1t

Pa=. {w: Iwl

=

Re(w e- ICl):::;;'2 COS a}, lal:::;;2"

, dan heeft de kettingbreuk een eindige limiet dan en slechts dan als tenminste één van de volgende reeksen divergent is:

.we kom~n later nog terug op de meetkundige eigenschappen van deze Möbiustrans-formaties. ,

5. C-Kettingbreuken

Een verhaal over kettingbreuken zal z~ker aandacht moeten besteden aan de situatie waarin all

=

all(z), bil

=

bll(z). Daarbij doet zich het probleem voor van de keuze: er is

, zoveel materiaal dat men -:- als het ware watertandend ~ niet weet waaraan meer

aandacht geschonken moet worden. '

'We zullen ons hier beperken tot C-kettingbreuken (zgn. C.9tresponderende, ketting-breuken) en dan nog wel de regelmatige.

Een nieuwe algoritme Zal worden toegelicht aan de hand van een voorbeeld.

~ ( ') _ 1

+...JT+X _

1 --jT+x-l JO x - .

2

-

+ 2, --jI+x-l 2

=

I

4

x ₊ 0(' _x 2') {f+x-l 2. I 1 _ _ _ _

4

x

4

x ' x(--j l+x+l) --j l+x+l

=

-I -,--'---j=l=+=X--l

=

h(x)

,!I

(x)

=

2(l+x-l)

=

, 2

=

fo(x)

4

x 2 . I I . 'B" 1 +-{I+x b 14 x I 14 x I '

IJ 2 'hoort' dus de regelmatige C- reuk 1 + (1 : ' I + .. ,

N.B. Algemeen neemt menfo(x)

=

qx!'

+

ce

xe

+ hogere (q '# 0,

C

e

'# 0) en

) ,

" k. qxt. ' 2

fo(x) = CkX +fl(x) ; dan fl(x) = 1 + d1x + d2X + ...

,_{Zoek de dk met kleinste index en d k} '# 0; zegfl(x)

=

I + djxj + O(xj+I).

, Vervolgens

dxj

fl(x) =.l +.h'fx), h(x) = 1 + elx + '" enz ..

Passen we nu het resultaat B van de sectie differentievergelijkingen toe, dan volgt:

I

+V+X

2

,

~::

=

I +

rT

+: .. +

rT

op C \ (-00,-1].

30 Kettingbreuken: een biiJdende factor Uit de theorie volgt ook nog:

1 +

~T+X

_

An

=

O(.x'l+l) .

2 ' Bn '

ook deg All + deg Bn =n. Dit is geen toeval: we hebben een traplijn uit de Padé-tafel van Cl +--J 1 +x)/2 te pakken! Het zou te ver voeren nu ook nog in te gaan op het stuk rationale approximatie van functies dat zich bezig houdt met Padé-approxin:atie: populair gezegd is de (gewone) Padé-tafel eeh 'samenhangend geheel' van ketting-breuken waarbij, zoals gebruikelijk, het 'samenvoegen' meerwaarde oplevyrt.

6. Nulpunten van polynomen

Vaak is men geïnte~esseerd in de globale ligging van de nulpunten van een gegeven polynoom. Met name of deze wellicht allef!laa! in het linkerhalt'vlak Re

z

< 0 liggen (stabiliteit!).

-Ook 'hier dragen kettingbreuken hun steentje bij; we noemen hier een enkel resultaat (Wall, Frank).

Laat P(z)

=

zn + SIZn-1 + ... + Sn een polynoom van graad n ;::: 1 zijn met complexe coëfficiënten Sk

=

Pk + Î{lk (1 :::; k :::; n).

Neem Q(z)

=

PIZn-l + iq2z11-2 + P3Zn- 3 + iq4Zn-4 + ... (de opbouw is duidelijk). Dan

liggen alle nulpunten van P(z) in Re z < 0 dan en slechts dan als Q/P een

kettingbreuk-" ,

voorstelling van de volgende vonn heeft: '

an-2 I an-I I

+ ... + I b' + I b ' , (9)

z+ ,11-1 z+ n ~ Waarin ao, al, ... _{,an-I reëel en positief en bI. b2, ... , bn zuiver imaginair Qfnul. Dit} resultaat volgt uit meetkundige en functietheoretische oyerwegingen (eenvoudig). Schrijft trien de kettingbreukontwikkeling van de 'testfuncties'Q/P iets anders:

,Q(z) _ I + 1 , I + ... + 11k I

P(z) - Ic I z+ 1 +k I I C2Z+k2 c nZ+ ,n

(qe lR.\{ O}, kj zuiver imaginair ofnul), (10)

dan geldt:

zijn m cls positief en n - m negatief, dan heeft P(z) m nulpunten in Re z < 0 en n - m in Re

z

>

o.

Overigens staat het berekeningsschema bij (10) voor polynomen P met reële coëfficiënten bekend als de algoritme van Routh.

Een ander bekend resultaat is een stelling die zich uitspreekt over de nulpuri~en van een recursief gegeven rij Rolynomen (Saff-Varga); men moet de optredende betrekJdng niet

"

Kettingbreuken: een bindende factor 31

verwarren met die voor een rij orthogonale poiynomen.

Laat {Pk(Z)}'bÓ een rij polynomen zijn van graad k= 0, 1, ... , n; ze worden gegeven door

Pk(Z)={t

k +1)Pk- I(;) - :k Pk:"2(Z) (k

=

1, '2, ... , n)

P-1(z)

=

0, Po(z)

=

Po;t:. 0.

De bk's en q's zijn positieve getallen voor I ::::; k::::; n., Als

a

wordt gedefinieerd door

a

~

min _bk (1 - bk-I) ,

bo

=

0,

, l:5:k:5:I1 " , q dan is in het geval dat a> 0 de parabool

Pa

=

{Z: Z

=

X + iy, y2.::::; 4a(x + a), x > -a}

vrij van-nulpunten v'an PI(Z), P2(Z), ... , PII(Z)~

Het voert te ver om het bewijs hier te geven (het is niet moeilijk: met Möbius-a

transformaties toont men aán dat de quotiënt P}Z)(Pj.,-1 (z) in een cirkel van bepaalde vorm liggen die nul zijn van Pj uitsluit en dat successievelijk voor j

=

1,2, ... n).

7. Slotopmerkingen

'

Er is nog veel te weinig gezegd over vele belangrijke aspecten van kettingbreuken: verband met momentproblemen, orthogonale p'olynomen. En dan zijn er nog de generalisaties: vervang [çj] door het dichtsbijzijnde gehele getal (NICF: nearest integer' continued fracticin), vervang de punten van Z door {na In EZ} met a ~ Q, bekijk simultane approximatie (recurrente betrekking wordt langer), laten debk's zèlf weer

\ '. ..

kettingbreuken zijn (branched continued fractions: nuttig voor meer-variabelen l'ro-. blemen). Maar het isnuwel genoeg geweest.

Alleen nog dit: .

_ -53

~

_{'V -}

'I

44 _{ï5x -}

_W'x

8 2 + 14404 3 _l5"X

22 41 730 44

3

1

25x

1

?51

f

5t1

~4d

=-5+ 1 + 1 + 1 +1 ,+ ...

en de convergentA41'B4 is.niets'anders dan 4 ;x-3

5 : de mysterieuze rationäle functie

. , x -x+

op de aankondigingsposter van deze voordracht (zie volgende pagina).

I

32. Kettingbreuken: een bindende factor ) \

.

5x - 3 4x2 - X + 5

•

33

I .

'.

Ontbinden in factoren

'

HJ.A. Duparc

I. Sinds men heeft leren optellen, af trekken en vermenigvuldigen is men in onze maatschappij niet in tel als hij bij het noemen van het produkt 2 x 3 niet onmiddellijk denkt aan het antwoord 6. Omgekeerd zal het noemen van het getal 6 bij velen onmiddellijk de associatie van zijn priemdeIers (ondeelbare delers) 2 en 3 oproepen. Voor grotere getallen zoals

9i

óf 226

+

1, wordt dat ~l moeilijker-. Is het dan wel zeker dat twee personen die met zo'n pro~leem bezig zijn tot dezelfde conclusies komen over de ontbinding van zo'n getal in priemdeIers?

Dat dat geen vanzelfsprekende aangelegenheid is blijkt bij het beschouwen van getallen van het type a + tr-J=6metgehele a en b. Immers het getal 10 is in dat systeem op twee verschillehde mallieren te ontbinden,-namelijk in 2 x 5 en ook in (2 + -J=6)(2 - -J=6) en elk van de vier daarbij gevonden factoren blijkt in het systeem ondeelbaar te zijn. ConclJ.lsi~: er is meer aan de hand en er zal wel een theorie ontwikkeld zijn die ons daarover meer onthult. Daarover wordt in het vervolg iets behandeld, uitera~d (Delft zou Delft niet zijn) met enkele toepassingen .

. 11. Wij gaan uit van een systeem waarin optellen, aftrekken en vermenigvuldigen volgens de 'gèwone' regels van kracht is en waarbij vermenigvuldiging commutatief is; zo'n systeem wordt een commutatieve ring genoemd. Als voorbeelden mogen dienen de hierboven genoemde systemen van de natuurlijke getallen en de getallen van het type a + b

-v=6.

wij voegen'er nog een eigenschap aan toe die de ring maakt tot, wat men pleegt te noemen, een euclidische ring. Daarbij gaat het om het volgende:

Een ring heet euclidisch als hij commutatief is en als ieder element

a

van de ring een waardering of norm bezit; aangeduid als 11 all dü~ de volgende eigenschappen bezit:

i.llall is een. niet-negatief geheel g~tal; als 11 all

=

0, dan is a

=

0; .

U: lIabll~lIallllbll;

Ui. _, bij elke a en b uit de ring bestáan er elementen qenr in de ring met a _.

=

qb + ren

11 ril < 11 b 11 (delen met rest).

Deze.derde eis duidt op wat men in de praktijk de euclidische algQri~me noemt.

. .

lIL Wij laten zien dat in een euclidische ring een ondubbelzinnige ontbinding in priem-factoren bestaat. Datzal·in drie etappes gebeuren ..

1 . In een euclidische ring heeft elk tweetal elementen a en b een grootste gemeen-schappelijke .deler. Öm dit te bewijzen passen we bij twee gegeven elementen a en

b uit de ring herhaald de euclidische algoritme toe: .

\

a =qb +

h

(

34 Ontbinden in factoren

bI

=

q2b2 + b3, enz.

Volgens de euclidiciteit vormen de getallen IIbll, IIblll, IIb211, ... een dalende rij

natuurlijke getallen. Daaruit volgt dat na eel)eindig aantal stappen een rest (met norin) nul optreedt.

b k_2

=

qk-Ibk-I

+

bk bk-I

=

qkbk.

Het hi~rbij optredende getal bk is volgens de laatste formule deelbaar op bk-I, volgens de voorlaatste ook deelbaar op bk-2, ... en uiteindelijk ook op b en tenslotte op a. Het is dus een gemeenschappelijke deler van a en b. Omgekeerd is volgens ons rijtje formules elke gemeenschappelijke deler van·a en b ook een deler van'b2, ... , bk . Deze twee beweringen houden in dat bk de grootste gemeen

-. schappelijke deler is. van a en b.

De euclidische algoritme leert ons nog iets essentieels, namelijk dat die grootste gemeenschappelijke deler (voortaan GGD ten noemen), onze bk dus, te schrijven

I is als lineaire combinatie van b_k:"₁ en b_{k_2} (volgens de voorlaatste formule ui( ons rijtje) dus volgens de daaraan voorafgaande formule van bk-2 en bk-3, enz., dus uiteindelijk van de getallen a en b.

. )

Voor informatici is het voorts interessant om te weten hoe lang het 'duurt' voordat men bij gegeven a en b de GGD vindt, d.w.z. hoe groot k maximaal kan zijn. Het bovenstaande toont zonneklaár aan dat k kleiner is dan IIbll, maar er valt wel meer over te zeggen.

2. Als in een euclidische ring een priemgetal P deelbaar is op een produkt ab, dan is het deelbaar op tenminste een der factoren a en ~.

Laat dus P deelbaar zijn op ab en onderstel dat P niet deelbaar is op a; wij dienen dan aan te tonen dat P deelbaar is op b. Daartoe beschouwen wede GGD vaná en

p. Omdat p niet deelbaar is op a, is die GGD dus het éé~element e van de ring. Op grond van de euclidiciteit is het element e dus te schrijven in de gedaante

e

=

ua + vp, dus b

=

bua + bvp

=

uab + bvp (1) waaruit op grond van het gegeven volgt dat b deelbaar is door p.

3. Onderstel dat een element a van onze ring twee verschillende ontbin~ingen in' priemfactoren bezit

Het getal ql is dan deelbaar op a, dus na herhaalde toepassingen'van eigenschap 2 op een der factoren van a, zeg PI. Dan geldt dus. ql

=

PI. Zo kal} men doorgaan totdat alle factoren q zijn ondergebracht in de factoren p waarmee uiteindelijk is bewezen dat de onderstelling van ...

Ontbinden in factoren 35

IV. We kijken nu eerst naar de verzameling N. Neemt men daarbij lIall = a. dan zien wij enerzijds dat die verzameling euclidisch is en anderzijds dus dat de ontbinding in priemfactoren ondubbelzinnig is. Deze typisch on-Delftse bewering onthult ons nog niet hoe je de pr:iemontbinding vindt. Voor voldoende grote natuurlijke getallen is dit voorshands nog een onopgelost probleem. Nàtuurlijk niet voor bovenstaande voor-. beelden 91 en '226 _{+ 1; voor het laatste geval lukt dat met een trucje op grond van de •} speciale structuur van dat getal.

Voor de gehele g~tallen geldt de ondubbelzinnige'ontbindbaarheid ook, mits men ontbindingen ,als 3 x 7 en (-3) x (-7) als dezelfde of equivalente interpr:éteert (waärvoor alle rederi is). Men neme lIall als absolute waarde van a.

Voor de getallen van Gauss, de complex;e getallen a + bi met gehele a en b, geldt de euclidiciteit ook. Men neme nu lIa +: bi 11

=

a2 + b2_{. De euclidiciteit is nu met een kleine}

kunstgreep te verifiëren; wij gaan daarop hier niet in. Iets dergelijks geldt ook voor de getallen val) de gedaante (a + b -{2) resp. (a + b 1=2) met gehele.a en' b onde~

gebruik-. making van.een analoge kunstgreep. Màar voor' de getallen van de eerdergenoemde gedaante (a + b ~ m<?t gehele a en b blijkt het niet te lukken. Natuurlijk niet, want hierboven signaleerden wij al twee verschillende, ontbindingen van het getal-l 0 in dit systeem.

Vervolgens beschouwen we de verzameling van de veeltermen f(x) in één veranderlijke x met (eventueel) complexe coëfficiënten. Neemt men hierbij als norm

van zo' n veeltefIl! de graad van die veeI~erm, ,dan leert elementair gereken dat ook die.

verzameling ~Uclidisch is. En dus alweer geldt de ondubbèlz!nnige ontbinding in on-deelbare factoren. Maar alweer, met die opmerking is de uitvoerbaarheid ervan niel gegeven. Er blijft dus nog werk voor de nurrierici.

, '

V. Tot slot geven wij nog een geheel onverwachte toepassing. Wij gaan daarbij uit van de verzameling van de differentieerbare functies in één veranderlijke. Naar een bekend

'gebruik schrijven we voor de afgeleide rex) van een functie J(x) ook wel DJ(x), waarbij D d~differentiaaloperator is. Men heeft dan D(j + g)

=

DJ + Dg en verder

,D(jg) =fDg + fg:: (jD + f)g,

zodat men symbolisch kan schrijven'

DJ=fD+f

Dat is bepaald niet leuk, want nu gaat er iets van commutativiteit verloren en komen we op één of andere wijze in de knoop met bovenstaande formule (1). Het laat zich dus aanzien dat een uitdrukking als bijvoorbeeld D2 - 4 wereens op meer manieren te ontbinden zal zijn: Nu behoeft men daarvan niette schrikken', want wij weten wel het één en ander uit de'theorie van de differentiaalve~gelijkinge'n.

Beschouw daartoe de differentiaalvergelijking

'I

I

.

'

./

3'6 Ontbinden in factoren

y" - 4y

=

0, ook wel geschreven '(D2 _-4)y

=

_0.

Me~stal

schrijft men daarna in de gedaante (D + 2)(D - 2)y

=

0,

waarna men kan opmerken dat elke oplossing vap de differentiaaiverge.Jijking (D ,..:.. 2)y

=

°

zeker 'een oplossing is van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking: Daarbij gaat het dan om de vergelijking y' '- 2y = 0, dus y'/y

=

2, dus na integratie In Iy 1= 2x + c, dus y

=

c[e2x. Indien men de vergelijking in de gedaal)te (D-2)(D + 2) ,;

°

schrijft kàn men zich op analoge wijze gaán bezighouden met dehulpvergelijking (D + 2)y

=

°

en komt, dan tot oplossingen van het type y

=

C2e-2x. E~ daarna volgt met een gebruikelijk stukje theorie dat de algemene oplossing is

y

=

c[e2x + C2e-2x.

Het aardige is dat wij met onze ontbindingstheorie al eerder hadden kurmen vinden .

. Men heeft namelijk

, I

zoals na enig gereken is te verifiëren door uitwerken .qnder gebruikmaking van formule (2). De uitdrukking D2 - 4 bezit dus geen ondubbelzinnige ontbinding ï"n priemfactoren; inderdaad zij bezit er Zelfs oneindig veel, want voor elke keuze van de vrije parameters c[ en C2 krijgt men zo'n ontbinding. En de laatstè factor van de ontbinding leert ons dat de differentiaalvergelijking (D2 - 4)y

=

°

~neindig

veel

oplossingen (niet vrije parameters Cl en C2) moet bezitten. Dat wisten de ware kenners van de theorie van de differentiaalvergelijking natuurlijk allang, maar wij zien hier via de theorie van ontbinden in priemfactoren'van veeltermen in de differentiaaloperatot D waarom dat zo moet zijn.

De meetkundige algebra b

,

ij

Euclides en

d

'

e

oorsprong van

de

'

termen parabool, hyperbool en

.

ellips

A.W. Grootendorst

1. Oriëntatie in de tijd

,

37

Een blik op de bijgevoegde tijdbalk (ontleend aan Behnke's Enzyklopädie der Elementarmathematik) leert ons dat de beoefening van de wiskunde in Griekenland inzette met de activiteiten van Thalesvan Milete (ca. 624-546) en diens leerli!lg, de legendarische Pythagoras (ca. 580-ca. 500), geboren in Sidon in Klein-Azië, opgegroeid op Samos; met als belangrijkste periode in zijn werkz~me leven het leiderschap van zijn school in C~oton i? Zuid-Itali~. Beiden deden hun basiskennis op

. gedurende jarenlange reizen door Egypte, Babylonië en Phoenicië en het moet als zeker worden aangenomen dat Pythagoras op zijn 'grand tour' de befaamde, later naar

hem genoemde, stelling leerde kennen. "

. In dèze tijdbalk vallen twee zaken op. In de eerste plaats een periode van circa 300 jaren, tussen 200 "V.C. en 100 n.c., waarin geen wiskimdigèn van formaat optradén en het vrij abrupt einde van de beoefening van de wiskunde tegen de .vierde eeuw van onze jaartelling, waarbiJ het centrum inmiddels verlegd was nàar het Egyptische Alexandrië.

Hoe interessant een onderzoek naar de oorzaak van deze twee. verschijnselen ook is', wij zullen 'dit laten rusten. 'Vermeld zij slechts dat de wiskunde via een omweg door de Arabische wereld, circa 1200 n.c. zijn definitieve rentree in de westerse wereld zou maken.

, ,

Onze aandacht zal zich in dit artikel richten op enkele problemen die voorkomen in de 'Elementen' van Euc1ides (ca. 300 v.c.) en die later van groot belang zouden blijken. Dit laatste is in de Griekse wiskunde geen uitzondering. Men behoeft maar te denken aan de zgn. klassieke problemen: trisectie van de hoek, verdubbeling van 'de kubus en kwadratuur van de cirkel, alsook het probleem van het irrationale getal; alle zijn het vraagstukken waarop het definitieve antwoord eerst ,inde 1ge _{eeuw, dus ruim 2000}

,

.

.

jaren later, werd gevonden.

l> 0'" (I) (I)

,

9:

,::J (Q

•

600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -900 1000 "00 1 200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900

'

I I

I

n,.I., 6247 -5461 . . Pvtha"goru 5807 -500 . Zenon 4901 -4301 .

Hippokrat .. von Chlos um 440

Pliton 4287 -3487

I

I

EudoxOI 4087 -3551 Arluotaln 384·322 Euklld 3661 -3001 Archimed •• 2877 ·212 Apollonius 2627-1907 t"laron um lOO.n.Chr. Plol.mlio.851-1657 Oloph.ntol um 250 n.Chr. Pappol um 320 n.Chr. "" Alhworllml ·8407 ~Iblrunl ~73·1048 I Regiomont.nu.1436-1476 Cap.fnlcu.1473-1543 C.rdano·1501 ·1576 Vlttl·1640·1630 G.ll1,1 1~64·'642 Kapie, 1571·1630 Oa.elrt •• , 596-' 650 Farmat 1601-1665 Puc.11623-1662 Huygans 1629·' 695 Gragory 1638·1675 Newton 1643-1727 Lalbnlz 1646·1716 BernoullI, Jakob 1654-1705 earnoulll, Johann 1667-1748 -eer(\oulll,O,nleI1701>1782 Eul., 1707·1783 Lapt,cI1749-1827 Leoendre 1762·1833 F ourler 1768-.1 830 Gaull 1777-18615 C.uchy 1789-1857 LObauchehkll 1793-1856 Steln.r 1796-1863 Ab,11802-1829 801V,1 1802-1860 J.eobl 1804-1851 Olrlchlet 1850-1859 Granmann 1809- 1 877 Galol. 1811-1832 Weleritreu 1816- 1 897 TlchebYlchef11821-1894 C'VltV 1821-1895 Rlem.nn 1826-1868 Cremone 1830·1903 LI,'842-1899 Ptlch 1843-' 930 C.ntor 184~1918 KI,ln 1849,1925 Polnc.r' 1854-1912 Moor. 1862-1932 Hllbert 1862·1943 w CO

á?

'3 (I) '(I) ~ c: ::J ~ _(I) Q) <Q (I) 0-al 0-...::::::: lil c: C)

~

<Il.