DYSKRETNO-CIĄGŁA METODA MODELOWANIA UKŁADÓW
DYNAMICZNYCH
Rafał Hein
Katedra Mechaniki i Mechatroniki, Politechnika Gdańska rahe@pg.gda.pl
Streszczenie
W artykule przedstawiono oryginalną metodę modelowania układów dyskretno-ciągłych. Metoda polega na dys- kretyzowaniu układu trójwymiarowego jedynie w dwóch wybranych kierunkach. W trzecim z kierunków układ po- zostaje ciągły. Otrzymany w ten sposób model jest modelem dyskretno-ciągłym. Opisany jest za pomocą równań różniczkowych cząstkowych. Ogólne równania różnicowe układu dyskretnego otrzymano, wykorzystując metodę sztywnych elementów skończonych. W granicy równania te sprowadzono do równań różniczkowych cząstkowych.
Podano sformalizowany zapis tych równań w postaci macierzowej oraz przedstawiono ogólny sposób budowania takich macierzy dla złożonych układów mechanicznych. Do rozwiązania wyprowadzonych równań zastosowano metodę transmitancji układów o parametrach rozłożonych. Metodę zilustrowano na przykładzie belki obustronnie utwierdzonej.
Słowa kluczowe: modelowanie, układy mechaniczne, układy dynamiczne, drgania
DISCRETE-CONTINUOUS METHOD OF DYNAMIC SYSTEMS MODELLING
Summary
The paper introduces an original method of discrete-continuous systems modeling. In the proposed method three dimensional system is divided on finite elements only in two directions. In the third one the system remains con- tinuous. Obtained in that way model is a discrete-continuous model of the considered system. It is described by the system of partial differential equations. General difference equations of discrete system were obtained using the rigid finite elements method. In the limit these equations were transformed to the partial differential equa- tions. Then formalized matrix notation of derived equations was given. Finally a general way to create global ma- trix for the whole system was presented. To solve obtained equations one applied the distributed transfer function method. Proposed approach was illustrated on the example of simple beam fixed on both ends.
Keywords: modelling, mechanical system, dynamic systems, vibration
1. WSTĘP
Znanych jest wiele metod modelowania układów dyna- micznych. Nie ma jednak metod uniwersalnych, które z jednej strony byłyby dokładne, a z drugiej nadawały się do modelowania szerokiej klasy układów dynamicz- nych. Do grupy powszechnie stosowanych należy meto- da elementów skończonych. Korzystając z tej metody, można otrzymać przybliżony model układu rzeczywi- stego. Jego dokładność zależy jednak od liczby elemen- tów skończonych. Im większa ich liczba, tym model
dokładniejszy. Istnieje jednak optymalna gęstość po- działu i liczba elementów skończonych, powyżej której błędy zaokrągleń i obliczeń numerycznych zaczynają odgrywać decydującą rolę. W przypadku układów smukłych stosowanie metody elementów skończonych wymaga niekiedy gęstej siatki podziału dla zachowania odpowiedniego kształtu zastosowanych elementów skończonych i dokładności obliczeń. Z kolei duża gę- stość podziału prowadzi do znaczącego wzrostu rzędu
modelu. Wysoki rząd modelu jest niepożądany, np. przy projektowaniu układów sterowania, i prowadzi jedno- cześnie do wydłużenia czasu obliczeń numerycznych.
Ponadto dla elementów smukłych, takich jak np. struny, pręty czy belki, można określić dokładne rozwiązania analityczne. W takich przypadkach lepiej jest stosować znane, jednowymiarowe modele ciągłe. Na podstawie takich modeli można łatwo budować zredu- kowane modele modalne niskiego rzędu, które w zakre- sie rozważanych i uwzględnionych częstotliwości wła- snych są modelami dokładnymi. W wielu pracach przedstawiono sposób budowania takich modeli zarów- no dla układów o parametrach rozłożonych, jak i skupionych [1-3, 5-9].
W przypadku układów wielowymiarowych, dla których nie można określić rozwiązań analitycznych, można posłużyć się proponowaną w pracy metodą hybrydową.
Łączy ona zalety metod modelowania układów ciągłych i dyskretyzowanych przestrzennie. W klasycznej meto- dzie elementów skończonych układy dwuwymiarowe i trójwymiarowe dzieli się odpowiednio w dwóch i trzech kierunkach (rys. 1a, 1c). W proponowanej metodzie układy te dzieli się odpowiednio w jednym i dwóch kierunkach (rys. 1b, 1d). W ten sposób otrzy- muje się elementy o parametrach rozłożonych wzdłuż jednej z osi.
Rys. 1. Dyskretyzacja przestrzenna: a), c) klasyczna metoda elementów skończonych b), d) proponowana metoda hybrydowa
2. MODEL OGÓLNY UKŁADU DYSKRETNO-CIĄGŁEGO
W celu wyprowadzenia równań ogólnych modelu dys- kretno-ciągłego rozważano dwie pryzmy r i p połączone warstwą elementów sprężysto-tłumiących k o parame- trach rozłożonych (rys. 2a).
Rys. 2. Model ogólny: a) dyskretno-ciągły, b) dyskretny
Dyskretny model takiego układu przedstawiono na rys.
2b. Składa się on z czterech brył sztywnych r-1, r, r+1 oraz p połączonych elementami sprężysto-tłumiącymi (EST) i, j, k. Każdy element skończony ma 6 stopni swobody:
) , , , , ,
( 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
1 − − − − − −
− = r r r r r r
r col q q q q q q
q , (1)
) , , , , ,
( r,1 r,2 r,3 r,4 r,5 r,6
r =col q q q q q q
q , (2)
) , , , , ,
( 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
1 + + + + + +
+ = r r r r r r
r col q q q q q q
q (3)
) , , , , ,
( p,1 p,2 p,3 p,4 p,5 p,6
p=col q q q q q q
q , (4)
spośród których trzy pierwsze są przemieszczeniami translacyjnymi odpowiednio wzdłuż osi x1, x2, x3, zaś pozostałe przemieszczeniami rotacyjnymi wokół tych osi. Stosując metodę sztywnych elementów skończonych [4], napisano i zweryfikowano równania dla rozważanego układu. Z otrzymanych 24 równań różniczkowych zwy- czajnych wyselekcjonowano równania dla elementu r.
Mają one postać:
), (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
6 , 1 2 , , 6 , 2 , , 1 , 5 , 1 3 , , 5 , 3 , , 1 ,
6 , 1 2 , , 1 6 , 2 , , 1 , 5 , 1 3 , , 1 5 , 3 , , 1 ,
6 , 2 , , 6 , 2 , , 1 ,
5 , 3 , , 5 , 3 , , 1 , 1 , 1 , 1 ,
1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 , 1 ,
+ +
−
−
−
−
+
−
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
−
+
− +
− +
+
−
−
− +
=
r j p r j r j r j p r j r j
r i r r i r i r i r r i r i
p k p r k r k
p k p r k r k p r k
r r j r r i r r
q s q s c q s q s c
q s q s c q s q s c
q s q s c
q s q s c q q c
q q c q q c q m f &&
(5)
), (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
4 , 3 , , 4 , 1 3 , , 1 2 , 4 , 3 , , 4 , 1 3 , , 2 ,
6 , 1 1 , , 6 , 1 , , 2 , 6 , 1 1 , , 1 6 , 1 , , 2 ,
6 , 1 , , 6 , 1 , , 2 ,
4 , 3 , , 4 , 3 , , 2 , 2 , 2 , 2 ,
2 , 2 , 1 2 , 2 , , 1 2 , 2 , 2 , 2 ,
r i r r i r i r j r r j p j
r j p r j r j r i r r i r i
p k p r k r k
p k p r k r k p r k
r r j j i r i r r
q s q s c q s q s c
q s q s c q s q s c
q s q s c
q s q s c q q c
q q c q q c q m f
− +
− +
+
− +
− +
+
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
=
−
− +
+
−
−
+
&& −
(6) b)
∆y ∆x
∆z
x1 x2
x3
q1
q4 q2
q5
q6 q3 r
r-1
r+1
k p i
j
sr-1,i,1
sr,j,1
sr,i,1
sr+1,j,1
r k p
a)
d)
pryzma ES
c)
b) pasmo
a) element skończony (ES)
), (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
4 , 1 2 , , 1 4 , 2 , , 3 , 4 , 1 2 , , 1 4 , 2 , , 3 ,
5 , 1 1 , , 1 5 , 1 , , 3 , 5 , 1 1 , , 1 5 , 1 , , 3 ,
5 , 1 , , 5 , 1 , , 3 ,
4 , 2 , , 4 , 2 , , 3 , 3 , 3 , 3 ,
3 , 3 , 1 3 , 3 , 1 3 , 3 , 3 , 3 ,
+ +
−
−
+ +
−
−
+
−
− +
− +
+
−
−
−
−
+
− +
+
− +
− +
+
−
−
− +
=
r j r r j r j r i r r i r i
r j r r j r j r i r r i r i
r k r p k p p
p k p r k r k p r k
r r j r r i r r
q s q s c q s q s c
q s q s c q s q s c
q s q s c
q s q s c q q c
q q c q q c q m f &&
(7)
), (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
6 , 3 , , 1 , , 6 , 1 1 , , 1 3 , , 2 ,
6 , 3 , , 1 , , 6 , 1 3 , , 1 , , 1 2 ,
4 , 1 3 , , 1 3 , , 4 , 2
3 , , 2 ,
4 , 1 2 , , 1 2 , , 4 , , , 2
2 , , 3 ,
4 , 1 3 , , 3 , , 1 4 , 2
3 , , 2 ,
4 , 1 2 , , 2 , , 1 4 , 2
2 , , 3 ,
5 , 2 , , 1 , , 5 , 1 1 , , 1 2 , , 3 ,
5 , 2 , , 1 , , 5 , 1 2 , , 1 , , 1 3 ,
3 , 1 2 , , 3 , 2 , , 3 , 3 , 1 2 , , 3 , 2 , , 3 ,
2 , 1 3 , , 2 , 3 , , 2 , 2 , 1 3 , , 2 , 3 , , 2 ,
5 , 1 , , 2 , , 5 , 2 , , 1 , , 3 ,
6 , 1 , , 3 , , 6 , 3 , , 1 , , 2 ,
2 , 3 , , 2 , 3 , , 2 ,
4 , 3 , , 3 , , 4 , 2
3 , , 2 ,
4 , 2 , , 2 , , 4 , 2
2 , , 3 ,
3 , 2 , , 3 , 2 , , 3 , 4 , 4 , 4 ,
4 , 4 , 1 4 , 4 , 1 4 , 4 , 4 , 0 4 ,
r j r j r r j r j r j
r i r i r r i r i r i
r j r j r r j r j
r j r j r k j i j r j
r i r i r r i r i
r i r i r r i r i
r j r j r r j r j r j
r i r i r r i r i r i
r j r r j r j r i r r i r i
r j r r j r j r i r r i r i
p k p k r r k r k r k
p k p k r r k r k r k
r k r p k r k
p k p k r r k r k
p k p k r r k r k
p k r r k r k p r k
r r j r r i r x r
q s s q s s c
q s s q s s c
q s s q s c
q s s q s c
q s s q s c
q s s q s c
q s s q s s c
q s s q s s c
q s q s c q s q s c
q s q s c q s q s c
q s s q s s c
q s s q s s c
q s q s c
q s s q s c
q s s q s c
q s q s c q q c
q q c q q c q xI f
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
− +
+
−
−
−
−
+
−
−
+
−
−
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
− +
+
−
−
− +
∆
=
+ +
−
−
+ +
− +
−
−
−
− + +
−
−
+
−
+
−
+
&& −
ρ
(8)
), (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
6 , 3 , , 2 , , 6 , 1 3 , , 2 , , 1 1 ,
6 , 3 , , 2 , , 6 , 1 3 , , 2 , , 1 1 ,
4 , 2 , , 1 , , 4 , 1 2 , , 1 1 , , 3 ,
4 , 1 , , 2 , , 4 , 1 1 , , 2 , , 1 3 ,
5 , 1 3 , , 1 3 , , 5 , 2
3 , , 1 ,
5 , 1 3 , , 3 , , 1 5 , 2
3 , , 1 ,
1 , 1 1 , 3 , , 1 , 1 , 1 1 , 3 , , 1 ,
6 , 2 , , 3 , , 6 , 3 , , 2 , , 1 ,
4 , 2 , , 1 , , 4 , 2 , , 1 , , 3 ,
3 , 3 , 1 1 , , 3 , 5 , 3 , , 3 , , 5 , 2
3 , , 1 ,
5 , 1 , , 1 , , 5 , 2
1 , , 3 , 1 , 1 , 3 , , 1 ,
5 , 1 1 , , 1 1 , , 5 , 2
1 , , 3 ,
5 , 1 1 , , 1 , , 1 5 , 2
1 , , 3 ,
3 , 3 , 1 , , 3 ,
3 , 1 3 , 1 , , 3 , 5 , 5 , 5 ,
5 , 5 , 1 5 , 5 , 1 5 , 5 , 5 , 0 5 ,
r j r j r r j r j r j
r i r i r r i r i r i
r j r j r r j r j r j
r i r i r r i r i r i
r j r j r r j r j
r i r i r r i r i
r r j r j r r i r i
p k p k r r k r k r k
p k p k r r k r k r k
r r j r j p k p k r r k r k
p k p k r r k r k p r k r k
r j r j r r j r j
r i r i r r i r i
p r k r k
r r i r i p r k
r r j r r i r y r
q s s q s s c
q s s q s s c
q s s q s s c
q s s q s s c
q s s q s c
q s s q s c
q q s c q q s c
q s s q s s c
q s s q s s c
q q s c q s s q s c
q s s q s c q q s c
q s s q s c
q s s q s c
q q s c
q q s c q q c
q q c q q c q yI f
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
− +
+
−
−
+
−
−
+
− +
− +
+
− +
− +
+
− +
+
− +
+
−
−
+
−
−
− +
+
−
−
− +
∆
=
+ +
−
−
+ +
−
−
+ +
−
−
+
−
+ +
+
−
−
− +
&& −
ρ
(9)
,) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
6 , 1 2 , , 1 2 , , 6 , 2
2 , , 1 ,
6 , 1 2 , , 2 , , 1 6 , 2
2 , , 1 ,
4 , 3 , , 1 , , 4 , 1 3 , , 1 1 , , 2 ,
4 , 3 , , 1 , , 4 , 1 1 , , 3 , , 1 2 ,
5 , 3 , , 2 , , 5 , 1 3 , , 1 2 , , 1 ,
5 , 3 , , 2 , , 5 , 1 2 , , 3 , , 1 1 ,
1 , 1 , 1 2 , , 1 , 1 , 1 1 , 2 , , 1 ,
6 , 1 , , 1 , , 6 , 2
1 , , 2 ,
4 , 3 , , 1 , , 4 , 3 , , 1 , , 2 ,
2 , 2 , 1 , , 2 ,
6 , 2 , , 2 , , 6 , 2
2 , , 1 ,
6 , 1 1 , , 1 1 , , 6 , 2
1 , , 2 ,
6 , 1 1 , , 1 , , 1 6 , 2
1 , , 2 ,
5 , 3 , , 2 , , 5 , 3 , , 2 , , 1 ,
1 , 1 , 2 , , 1 , 6 , 6 , 6 ,
2 , 2 , 1 1 , , 2 , 2 , 1 2 , 1 , , 2 ,
6 , 6 , 1 6 , 6 , 1 6 , 6 , 6 , 0 6 ,
+ +
−
− + +
−
−
+ +
−
−
+
−
+ +
−
−
− +
+
−
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
−
−
−
− +
+
−
−
−
− +
+
− +
+
− +
+
− +
−
−
+
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
∆
=
r j r j r r j r j
r i r i r r i r i
r j r j r r j r j r j
r i r i r r i r i r i
r j r j r r j r j r j
r i r i r r i r i r i
r r j r j r r i r i
p k p k r r k r k
p k p k r r k r k r k
p r k r k
p k p k r r k r k
r j r j r r j r j
r i r i r r i r i
p k p k r r k r k r k
p r k r k p r k
r r i r i r r j r j
r r j r r i r z r
q s s q s c
q s s q s c
q s s q s s c
q s s q s s c
q s s q s s c
q s s q s s c
q q s c q q s c
q s s q s c
q s s q s s c
q q s c
q s s q s c
q s s q s c
q s s q s c
q s s q s s c
q q s c q q c
q q s c q q s c
q q c q q c q zI f ρ &&
(10)
gdzie: fr, – siła uogólniona oddziaływująca na r-ty element w kierunku osi xα (rys. 2b); m – masa sztywne- go elementu skończonego; ρ – gęstość elementu; I0α - geometryczny, biegunowy moment bezwładności wzglę- dem osi xα; ∆x, ∆y, ∆z – elementarne wymiary elementu skończonego (rys. 2b); qr,α - przemieszczenie uogólnione r-tego elementu skończonego w kierunku osi xα; qp,α - przemieszczenie uogólnione p-tego elementu skończone- go w kierunku osi xα; sα,β,γ - odległość między elemen- tem skończonym α a elementem sprężystym β w kie- runku osi xγ; cα,β - współczynnik sztywności elementu sprężystego o numerze α w kierunku osi xβ [4]:
x z y c E ci j
∆
∆
= ∆
= ,1 1
, ,
y z x ck G
∆
∆
= κ ∆
1
, ,
x z y c G
ci j
∆
∆
= ∆
= κ
2 , 2
, ,
y z x ck E
∆
∆
= ∆
2
, ,
x z y c G
ci j
∆
∆
= ∆
= κ
3 , 3
, ,
y z x ck G
∆
∆
=κ ∆
3
, , (11)
x c GI
ci j x
= ∆
= ,4 0 4
, ,
y ck EIxy
= ∆
4
, ,
x c EI
ci j yx
= ∆
= ,5 5
, ,
y ck GI y
= ∆0
5
, ,
x c EI
ci j zx
= ∆
= ,6 6
, ,
y ck EIzy
= ∆
6
, ,
E – moduł sprężystości podłużnej Younga; G – moduł odkształcalności postaciowej Kirchhoffa; Iα,β - geome- tryczny moment bezwładności przekroju poprzecznego prostopadłego do osi xβ względem osi xα; κ - współ- czynnik kształtu przekroju poprzecznego dla ścinania.
Równania (5÷10) sprowadzono następnie do równań różnicowych, dzieląc je obustronnie przez ∆x i podsta-
