Praca domowa 3. (na czwartek 22 X) Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór wszystkich (x, y) takich, że 1. |x − 1| + |y + 1| › 1; 2. y › x

Praca domowa 3. (na czwartek 22 X)

Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór wszystkich (x, y) takich, że 1. |x − 1| + |y + 1| ­ 1;

2. y ­ x², |x + 1| ¬ 2;

3. y ­ 2x + 3, |y| ¬ x².

Zadanie 2. Czy istnieje taka relacja równoważności w zbiorze N, która ma 37 klas abstrakcji, wszystkie po 22 elementy? A 2 klasy abstrakcji po 17 elementów, 5 po 33 elementy i jedną nieskończoną? A nieskończenie wiele nieskończonych klas abstrakcji?

Zadanie 3. Definiujemy relację R będzie w zbiorze ciągów liczb całkowitych, czyli funkcji z N w Z. Weźmy dwa ciągi f, g : N → Z. Powiemy, że f Rg wtedy i tylko wtedy, gdy

∃_n∈N∀_m∈N,m>nf (m) = g(m).

Pokazać, że R jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji. Zastanowić się, ile jest klas abstrakcji relacji R i jaką mają moc.

Zadanie 4. Podać przykład funkcji f : N → N takiej, że przeciwobraz każdego zbioru jednoelementowego jest

1. dwuelementowy, 2. nieskończony.

To samo dla f : R → R.

Zadanie 5. Wyznacz wszystkie funkcje f : R → R takie, że f (xy) + f (xz) − 2f (x)f (yz) ­ 1

2 dla dowolnych x, y, z ∈ R.

* Zadanie 6. Wykaż, że zbiór liczb naturalnych jest przeciwdziedziną funkcji określonej wzorem f (n) =^Pn_k=1² a_k(n), gdzie a_k(n) = ^n−2b

√k−1c

√ k+√

k−1 .

1