D OWODY N IEKTÓRYCH

(1)

D ODATEK 1:

D OWODY N IEKTÓRYCH

T WIERDZE ´ N D OTYCZ ˛ ACYCH S EMANTYKI

K LASYCZNEGO R ACHUNKU Z DA ´ N

2.2. TWIERDZENIE ODEDUKCJIWPROST(wersja semantyczna).

Dla dowolnych X ⊆ FKRZ, α ∈ FKRZ, β ∈ FKRZzachodz ˛a nast˛epuj ˛ace impli- kacje:

• (a) Je´sli X ∪ {α} |=KRZβ, to X |=KRZ α → β.

• (b) Je´sli X |=KRZ α → β, to X ∪ {α} |=KRZ β.

DOWÓD. Dowód zarówno (a), jak i (b) prowadzimy metod ˛a nie wprost. Obraz zbioru X wzgl˛edem funkcji h oznacza´c b˛edziemy przez h[X].

(a) Załó˙zmy, ˙ze X ∪ {α} |=KRZ β i przypu´s´cmy, ˙ze X 2KRZ α → β. Istnieje zatem warto´sciowanie h takie, ˙ze:

• h[X] ⊆ {1}

• h(α → β) = 0.

Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pami˛etamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sum ˛a obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

h[X ∪ {α}] = h[X] ∪ {h(α)} ⊆ {1}.

St ˛ad, poniewa˙z zało˙zono, ˙ze X ∪{α} |=KRZ β, mamy h(β) = 1, co przeczy równo´sci h(β) = 0 otrzymanej z poczynionego przypuszczenia. Ostatecznie, X |=KRZα → β.

(b) Załó˙zmy, ˙ze X |=KRZ α → β i przypu´s´cmy, ˙ze X ∪ {α} 2KRZ β. Istnieje zatem warto´sciowanie h takie, ˙ze:

• h[X ∪ {α}] ⊆ {1}

• h(β) = 0.

(2)

• h[X] ⊆ {1}

• h(α) = 1.

Skoro h(α) = 1 oraz h(β) = 0, to h(α → β) = 0. Z drugiej strony, poniewa˙z X |=KRZ α → β oraz h[X] ⊆ {1}, to h(α → β) = 1. Otrzymujemy sprzeczno´s´c.

Ostatecznie, X ∪ {α} |=KRZ β.

Q.E.D.

2.3. TWIERDZENIE ODEDUKCJINIEWPROST(wersja semantyczna).

Dla dowolnych X ⊆ FKRZ, α ∈ FKRZ, β ∈ FKRZ zachodz ˛a nast˛epuj ˛ace rów- nowa˙zno´sci:

• (a) X ∪ {α} |=KRZ {β, ¬β} wtedy i tylko wtedy, gdy X |=KRZ ¬α.

• (b) X ∪ {¬α} |=KRZ {β, ¬β} wtedy i tylko wtedy, gdy X |=KRZ α.

DOWÓD. Przedstawimy dowód (nie wprost) równowa˙zno´sci (a). Dowód (b) jest ana- logiczny.

(a)(⇒) Załó˙zmy, ˙ze X ∪ {α} |=KRZ {β, ¬β} i przypu´s´cmy, ˙ze X 2KRZ ¬α.

Wtedy istnieje warto´sciowanie h takie, ˙ze:

• h[X] ⊆ {1}

• h(¬α) = 0, czyli h(α) = 1.

Jak pami˛etamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sum ˛a obrazów tych zbiorów.

Mamy zatem:

h[X ∪ {α}] = h[X] ∪ {h(α)} ⊆ {1}.

Z h[X ∪{α}] ⊆ {1} i z X ∪{α} |=KRZ{β, ¬β} wynika, ˙ze h[{β, ¬β})] ⊆ {1}, czyli

˙ze h(β) = 1 oraz h(¬β) = 1. To jednak jest sprzeczne z definicj ˛a warto´sciowania.

Ostatecznie, X |=KRZ¬α.

(a)(⇐) Załó˙zmy, ˙ze X |=_KRZ ¬α i przypu´s´cmy, ˙ze X ∪ {¬α} 2_KRZ {β, ¬β}.

Istnieje zatem warto´sciowanie h takie, ˙ze:

• h[X ∪ {α}] ⊆ {1}

• h[{β, ¬β}] − {1} 6= ∅.

Poniewa˙z h[X ∪ {α}] ⊆ {1}, wi˛ec h[X] ⊆ {1} oraz h(α) = 1. W konsekwencji, h(¬α) = 0. A to oznacza, ˙ze X 2KRZ ¬α, co przeczy poczynionemu zało˙zeniu.

Ostatecznie, X ∪ {α} |=KRZ {β, ¬β}.

Q.E.D.

(3)

4.1. TWIERDZENIE OPOSTACIACHNORMALNYCH.

Ka˙zda funkcja prawdziwo´sciowa jest przedstawialna zarówno w koniunkcyjnej, jak i w alternatywnej postaci normalnej.

DOWÓD. Poka˙zemy, ˙ze dowolna funkcja f : {0, 1}ⁿ → {0, 1} jest przedstawialna w alternatywnej postaci normalnej. Stosujemy zapis metaj˛ezykowy (a wi˛ec nie u˙zywamy wyra˙ze´n postaci f ).

Mo˙zliwe s ˛a dwa przypadki:

(a) f (x1, x2, . . . , xn) = 0 dla wszystkich x1, x2, . . . , xn. Wtedy f jest przedstawialna np. jako pojedyncza koniunkcja elementarna:

f (x1, x2, . . . , xn) = Kn(x1, N g(x1)).

(b) f (x1, x2, . . . , xn) = 1 dla co najmniej jednego układu argumentów. Niech A = {(aⁱ₁, aⁱ₂, . . . , aⁱ_n) : 1 6 i 6 k ∧ f (aⁱ₁, aⁱ₂, . . . , aⁱ_n) = 1}

b˛edzie zbiorem tych wszystkich układów argumentów, dla których f przyjmuje war- to´s´c 1.

Dla ka˙zdego 1 6 i 6 k tworzymy koniunkcj˛e elementarn ˛a Kipostaci:

Lⁱ₁∧ Lⁱ₂∧ . . . ∧ Lⁱ_n

gdzie Lⁱ_jma postać xj, gdy aⁱ_j= 1, a postać N g(xj), gdy aⁱ_j= 0. Wtedy Kiprzyjmuje warto´sć 1 dla ka˙zdego układu argumentów (aⁱ₁, aⁱ₂, . . . , aⁱ_n) ze zbioru A, a warto´sć 0 dla wszystkich pozostałych układów argumentów. Zachodzi równo´sć:

f (x1, x2, . . . , xn) = Al(K1, K2, . . . , Kk)

dla dowolnego układu argumentów x1, x2, . . . , xn. Równo´s´c ta jest szukanym przed- stawieniem funkcji f w alternatywnej postaci normalnej.

Dla znalezienia koniunkcyjnej postaci normalnej przedstawiaj ˛acej f modyfikujemy powy˙zszy dowód, zast˛epuj ˛ac wsz˛edzie Al przez Kn oraz Kn przez Al, a tak˙ze zamie- niaj ˛ac role 0 i 1.

Q.E.D.

Twierdzenie 4.2. (O REPREZENTACJI PRZEZWIELOMIANY ˙ZEGAŁKINA.)

Ka˙zda funkcja prawdziwo´sciowa ma dokładnie jedno przedstawienie w postaci wielomianu ˙Zegałkina (z dokładno´sci ˛a do kolejno´sci czynników w jednomianach oraz składników w wielomianie).

DOWÓD. Nale˙zy udowodni´c, ˙ze dla ka˙zdej funkcji prawdziwo´sciowej f : {0, 1}ⁿ → {0, 1}

istnieje dokładnie jeden zbiór

(4)

ró˙znych jednomianów taki, ˙ze

f (x1, x2, . . . , xn) = M1+ M2+ . . . + Mk,

gdzie +, jak pami˛etamy, jest alternatyw ˛a rozł ˛aczn ˛a Ar (dodawaniem modulo 2).

Ka˙zdy jednomian zbudowany ze zmiennych x1, x2, . . . , xnmo˙ze by´c uto˙zsamiany z podzbiorem tego zbioru zmiennych (zbiór pusty niech odpowiada stałej 1). Istnieje zatem 2ⁿ takich jednomianów. Z kolei wielomiany ˙Zegałkina (sumy jednomianów) mog ˛a by´c uto˙zsamiane z podzbiorami tego zbioru jednomianów (gdzie zbiór pusty odpowiada stałej 0). Tak wi˛ec, istnieje 2²ⁿ ró˙znych wielomianów ˙Zegałkina, czyli dokładnie tyle samo, ile jest n-argumentowych funkcji prawdziwo´sciowych.

Dwa ró˙zne wielomiany nie mog ˛a przedstawia´c tej samej funkcji prawdziwo´sciowej, bo gdyby tak było, to istniałaby funkcja prawdziwo´sciowa nieprzedstawialna ˙zad- nym wielomianem ˙Zegałkina. Istnienie takiej funkcji jest wykluczone poprzez to, ˙ze układ {+, ·, 1} (czyli układ {Ar, Kn, 1}) jest zupełny.

Ostatecznie, ka˙zd ˛a funkcj˛e prawdziwo´sciow ˛a mo˙zna przedstawi´c za pomoc ˛a do- kładnie jednego wielomianu ˙Zegałkina.

Q.E.D.

Twierdzenie 4.3. (O BINEGACJI IKRESCESHEFFERA.)

Jedyne zupełne jednoelementowe układy funkcji to: {|} oraz {↓}.

DOWÓD. Przypomnijmy, ˙ze:

N g(x) = |(x, x) Al(x, y) =↓ (↓ (x, y), ↓ (x, y)) N g(x) =↓ (x, x) Kn(x, y) = |(|(x, y), |(x, y))

St ˛ad, oraz z faktu, ˙ze układ {N g, Kn} (a tak˙ze układ {N g, Al}) jest zupełny, otrzy- mujemy, ˙ze zarówno {|}, jak i {↓} s ˛a układami zupełnymi.

Poka˙zemy teraz, ˙ze dla ka˙zdego jednoelementowego układu zupełnego {f } zło˙zo- nego z funkcji f : {0, 1}²→ {0, 1} zachodzi f = | lub f =↓.

Po pierwsze, f (0, 0) = 1, poniewa˙z w przeciwnym przypadku ka˙zde wyra˙zenie T zbudowane tylko ze zmiennej x oraz symbolu f przyjmowałoby warto´s´c 0 dla x = 0, a wi˛ec równo´s´c N g(x) = T nie byłaby prawdziwa dla ˙zadnego takiego T (czyli negacja nie byłaby przedstawialna przez f ).

Po drugie, z podobnych powodów jak powy˙zej, f (1, 1) = 0. W przeciwnym przy- padku ka˙zde wyra˙zenie T zbudowane tylko ze zmiennej x oraz symbolu f przyjmo- wałoby warto´s´c 1 dla x = 1, a wi˛ec równo´s´c N g(x) = T nie byłaby prawdziwa dla

˙zadnego takiego T (czyli negacja nie byłaby przedstawialna przez f).

(∗) Przypomnijmy (z wykładu):

• Ka˙zda funkcja przedstawialna przez układ funkcji liniowych tak˙ze jest liniowa.

• Funkcje: Kn(x, y) = xy oraz Al(x, y) = x + y + xy nie s ˛a liniowe.

• Układ funkcji liniowych nie mo˙ze by´c zatem zupełny.

(5)

Dla warto´sci f (0, 1) oraz f (1, 0) s ˛a mo˙zliwe cztery przypadki:

(1) f (0, 1) = 0 oraz f (1, 0) = 0. Wtedy f =↓.

(2) f (0, 1) = 0 oraz f (1, 0) = 1. Wtedy f (x, y) = N g(y) = y + 1. A zatem f jest funkcj ˛a liniow ˛a. To jednak jest niemo˙zliwe, poniewa˙z układ {f } jest (z zało˙zenia) zupełny. Zob. (∗) powy˙zej.

(3) f (0, 1) = 1 oraz f (1, 0) = 0. Wtedy f (x, y) = N g(x) = x + 1. A zatem f jest funkcj ˛a liniow ˛a. To jednak jest niemo˙zliwe, poniewa˙z układ {f } jest (z zało˙zenia) zupełny. Zob. (∗) powy˙zej.

(4) f (0, 1) = 1 oraz f (1, 0) = 1. Wtedy f = |.

Q.E.D.

∗ ∗ ∗

Wyniki Emila Posta dot. funkcji prawdziwo´sciowych opublikowane były w:

Post, E. 1921. Introduction to a general theory of elementary propositions. Amer. J.

Math. 43, 3, 163–185.

Post, E. 1941. The two-valued iterative systems of mathematical logic. Annals of Math. Studies, vol. 5, Princeton University Press, Princeton, London.

∗ ∗ ∗

JERZYPOGONOWSKI

Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl