Egzamin z algebry liniowej II termin – grupa A 3 marzec 2015 Imię i Nazwisko:
Nr grupy i nr indeksu:
Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 Suma
Punktacja 5 5 5 5 10 10 10 50
Wynik
1. Podczas trwania egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora prostego, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od przeprowadzających egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać (mieć przy sobie) telefonu komórkowego ani własnych kartek.
2. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem.
3. Egzamin trwa 105 minut
4. W zadaniach 1-4 podaj w polu (bez uzasadnienia) właściwe odpowiedzi. Zada- nia 5-7 rozwiąż na osobnej kartce.
Zadania
1. (5 punktów) Niech S ⊂ R2. Które stwierdzenia są prawdziwe?
A. Jeśli S jest relacją obojętności, to jest relacją preferencji.
B. Jeśli S jest relacją preferencji, to {(x, x) : x ∈ R} ⊂ S.
C. Jeśli S jest relacją preferencji, to nie jest relacją obojętności.
D. Jeśli S jest relacją preferencji oraz {(1, 2), (2, 3)} ⊂ S, to (1, 3) ∈ S.
1.
2. (5 punktów) Rozpatrzmy zbiór wektorów B = {x, y, z}, gdzie
x =
1 2 0
, y =
2 5 0
, z =
0 a 5
. gdzie a jest parametrem. Które stwierdzenia są prawdziwe?
Egzamin z algebry liniowej grupa A A. rankx x + y x = 1.
B. Dla a = 0 macierz M =x y z
jest określona dodatnio.
C. ∃a∈R ||z|| ≤ 5.
D. Dla a = 1 zbiór B stanowi układ liniowo zależny.
2.
3. (5 punktów) Niech Γ =
A =a b b c
: a, b, c ∈ R, A2 = I
. Które stwierdzenia są prawdziwe?
A. A3(AT)3A2015 = A−1 dla dowol- nej A ∈ Γ,
B. macierz A6 jest dodatnio określona dla dowolnej A ∈ Γ, C. Jeśli λ ∈ C jest wartością własną
macierzy A ∈ Γ, to Im λ = 0.
D. ∀A∈Γ ∃x∈Rn,x6=0: (a, b, c ≥ 0, a + b = b + c = 1) ⇒ Ax = x.
3.
4. (5 punktów) Niech B = {z ∈ C : Arg z ∈π,5π4 , 2 ≤ |z + 3 + i| ≤ 4}.
A. ∀z∈Cz ∈ B ⇒ z ∈ B, B. ∃z∈B z3+ z = 0, C. ∀z∈B z + 10i ∈ Bc,
D. ∀z∈Cz ∈ B ⇒ Re z ≥ 0.
4.
5. (10 punktów) Dane jest odwzorowanie liniowe S(x1, x2) = (3x1, x1 + x2). Wyznacz T : R2 7→ R2, jeśli MT ◦S spełnia równanie
MT ◦S− 1 12MS
−1
=
det
3 0 0 0
120 4 0 0
−52 14 −13 0 11 12 13 1
·
1 0 1 1 2 −3
T
·
0 1 4 −1 0 1
−
1
−2
·0 3
T
T
+6Rπ
2, gdzie Rπ
2 jest macierzą obrotu o kąt π2. Sprawdź czy T jest izomorfizmem.
6. (10 punktów) Wykorzystując metodę Gaussa-Jordana rozwiąż układ równań
x1+ x2+ 2x3− x4 = 1 2x1− 2x2+ 4x3+ 6x4 = 0
−x1+ x2 − 2x3− 3x4 = 0 x1+ x2+ 2x3− x4+ 4x5 = 1 4x1+ 4x2+ 8x3− 4x4 = 4.
7. (10 punktów) Wyznacz wektory i wartości własne macierzy A =0 −2 1 −2
. Zapisz wek- tor v = 6
0
jako kombinację liniową dwóch wybranych wektorów własnych tej macierzy.
