Pokaż, że jeśli (Xi)i>1 są niezależne o tym samym rozkładzie takie, że EXi= 0, σ2= EXi2&lt

Zadania Egzaminacyjne z Łańcuchów Markowa

Uwaga Za każde zadanie można dostać 10 punktów. Rozwiązania można albo przesyłać do mnie bez- pośrednio e-mailem albo składac najpóźniej do 5 lutego do 17:00 w mojej skrzynce na MIM UW. Na dyskusję o rowiązaniach i wpisy wyznaczony został piątek 6 lutego 12-14 na MIM

1. Udowodnij Prawo Iterowanego Logarytmu (Hartman-Wintner LIL). Pokaż, że jeśli (Xi)_i>1 są niezależne o tym samym rozkładzie takie, że EXi= 0, σ²= EX_i²< ∞, wtedy

lim sup

n→∞

Sn

√2nL2n = − lim inf

n→∞

Sn

√2nL2n = σ, p.n.,

gdzie Sn = X1+ ... + Xn, L2x = log log max(x, e^e). Na odwrót z faktu, że zachodzi LIL wynika, że EX_i²< ∞ i EXi= 0.

Uwaga Istnieją dwie metody dowodu tego faktu (cf. Ledoux-Talagrand Probability in Banach Spaces). Następujące wskazówki prowadzą do jednej z nich.

(a) Pokaż, że jeśli EX² < ∞, EX = 0, to istnieje ciąg liczb (η_i) dodatnich malejących do 0 takich, że

X

i

1

L2iP(|X| > ηi( i

L2i)^1/2) < ∞.

(b) Definiujemy zmienne

Y_i= X_i1_{|Xi|6ηi(i/L2i)}1/2− E(X_i1_{|Xi|6ηi(i/L2i)}1/2).

(c) Korzystając z nierówności Levy’ego i nierówności Bernstein’a dla zmiennych ograniczonych tzn. kiedykolwiek są Zi niezależne, to

P( max

16k6n|

k

X

i=1

Zi| > t) 6 3P(|

n

X

i=1

Zi| > t/3), oraz

P(

n

X

i=1

Z_i > t) 6 exp(− t² 2(v²+ M/3)), gdzie v²= EPn

i=1Z_i², |Z_i| 6 M, udowodnij LIL dla zmiennych Yi, to znaczy pokaż, że lim sup Sn

p2v²_nL₂v²_n = 1, gdzie v_n²=Pn

i=1EY_i².

(d) W dowodzie ograniczenia z dołu przez σ dla lim sup w LIL wykorzystaj odwrotną nierówność Kolmogorowa tzn.

P(

n

X

i=1

Zi> t) > exp(−(1 + γ)t² 2v² ), jeśli t> K(γ)b oraz tM 6 ε(γ)v².

(e) Wywnioskuj, że

lim sup

n→∞

Pn i=1Y_i

√2nL2n = σ, p.n.

(f) Pokaż, że

√ 1 2nL2n|

n

X

i=1

Xi1_{|Xi|>ηi(i/L2i)}1/2| 6 (1 n

n

X

i=1

X_i²)^1/2( 1 2L2n

n

X

i=1

1_{|Xi|>ηi(i/L2i)}1/2)^1/2.

Uzasadnij że wyrażenie po prawej zbiega do 0 prawie na pewno (SLN-mocne prawo wielkich liczb, analiza 1).

1

(g) Podobnie wykaż, że

√ 1 2nL₂n|

n

X

i=1

EX_i1_{|Xi|>ηi(i/L2i)}1/2| zbiega do 0 prawie na pewno.

(h) Wywnioskuj LIL dla EXi= 0, EX_i²< ∞.

(i) Na odwrót załóżmy, że LIL jest spełnione to znaczy

lim sup |S_n|

√2nL₂n < ∞, p.n.

Chcemy pokazać, że EXi= 0, EX_i^<∞. Zauważ, że można ograniczyć rozumowanie do zmien- nych symetrycznych.

(j) Z prawa 0 − 1 wydedukuj, że lim sup_n→∞^√|S_nL^n|

2n = M p.n. dla pewnego M < ∞.

(k) Uzasadnij, że

2 lim sup

n→∞

Pn

i=1Xi1_|Xi|6c

√2nL₂n 6 2M, p.n.

(l) Wykorzystując twierdzenie LIL pokaż, że EX²1_|X6c|6 M² i dokończ dowód.

2. Udowodnij, że jeśli istnieje σ-skończona miara niezmiennicza π dla łańcucha X, to nastepujące warunki są równoważne

(a) dla każdego f, g ∈ L¹(π), gdzieR gdπ 6= 0 mamy

n→∞lim Sn(f )

Sn(g) =π(f )

π(g), Pµ− p.n., gdzie S_n(f ) =Pn

i=1f (X_i), µ-dowolny rozkład początkowy.

(b) Łańcuch X jest Harris powracalny.

3. Niech (Xn)_n>0 będzie ergodycznym łańcuchem Markowa z rozkładem stacjonarnym π. Niech R f²dπ < ∞ oraz

∞

X

n=1

Z

f (x)Pⁿf (x)π(dx)

jest zbieżny. Pokaż, że S_n(f )/√

n → N (0, σ²) (według rozkładu) Sróbuj uzasadnić, że

σ²= Z

f²(x)π(dx) + 2 Z

(

∞

X

n=1

Pⁿf (x)π(dx)),

jeśli założymy, że P∞

n=1f (·)P^f(·) zbiega w L¹(π). (Dla uproszczenia można założyć że istnieje atom).

4. Niech X będzie ergodycznym łańcuchem Markowa. Mówimy, ze łańcuch jest ergodyczny stopnia 2 jeśli dla dowolnego A ∈ B+(X ) mamy EπτA < ∞. Udowodnij, że ergodyczność stopnia 2 jest równoważna z tym, że CLT zachodzi dla wszystkich funkcji f ograniczonych takich, że π(f ) = 0.

To znaczy Sn(f )/√

n → N (0, σ²). Nadto

σ²= Z

f²(x)π(dx) + 2 Z

(

∞

X

n=1

Pⁿf (x)π(dx)),

Można dla uproszczenia założyć, że istnieje atom α.

2

5. Mówimy, że łańcuch jest jednostajnie ergodyczny jeśli

n→∞lim sup

x∈X

kPⁿ(x, ·) − πktv= 0,

gdzie k · k_tv jest normą całkowitego wahania. Uzasadnij, że dla jednostajnie ergodycznych łań- cuchów Markowa cała przestrzeń jest małym zbiorem. Uzasadnij, że istnieje κ > 1 takie, że sup_x∈X E_xκ^τC, dla dowolnego małego zbioru C i pewnego κ > 1.

6. Załóżmy, że łańcuch X jest jednostajnie ergodyczny. Niech π(f ) = 0, π(f²) < ∞, pokaż, że zachodzi CLT, czyli

Sn(f )

√n → N (0, σ²), gdzie

σ²= Z

f²(x)π(dx) + 2 Z

(

∞

X

n=1

Pⁿf (x)π(dx)).

Dla uproszczenia można załozyć, że atom istnieje.

7. W modelu GI/G/1:

(a) Klienci przybywają do systemu w niezależnych odtępach czasu T1, T2, T3, ... o tym samym rozkladzie zmiennej T , to znaczy P(T 6 t) = G(−∞, t]. Klienci będą pojawiac się w chwilach T₀⁰= T0= 0, T₁⁰ = T0+ T1,T₂⁰= T0+ T1+ T2,...

(b) n-ty Klient wymaga obsługi zajmującej Snczasu, gdzie Snpochodzą z tego samego rozkladu zmiennej S, to znaczy P(Sn6 t) = H(−∞, t]. Zatem łączny czas obsługi n-klientów wynosi S_i⁰= S₀+ S₁+ ... + S_i.

(c) Klienci obsługiwani są przez jeden serwer w kolejności zgłoszeń. Niech N (t) będzie liczbą klientów przebywających w systemi w chwili t. Niech nadto N_n będzie liczbą klientów w systemie tuż przed chwilą T_n⁰, czyli N (T_n⁰−).

(d) Zakładamy, że H(−∞, t] = 1 − e^−µt, t> 0, oraz G(−∞, t) = 1 − e^−λt, t> 0.

pokaż, że jeśli λ > µ, to istnieje rozkład stacjonarny. Co się stanie w przypadku kiedy λ6 µ.

8. Dla błądzenia z barierą to znaczy

P (i, i + 1) = p, x > 0; P(x, x − 1) = 1 − p, x > 0 P (0, 0) = 1 − p, wypisz wzór na funkcjęgenerującą rzokład P_x(τ₀= n), to znaczy

f (x, z) =

∞

X

n=0

Px(τ0= n)zⁿ.

Wykorzystaj postać f (x, z) aby wykazać, że jeśli p < 1/2, to 2pp(1 − p) jest tempem zbieżności do rozkladu stacjonarnego, to znaczy

∞

X

n=0

kPⁿ(x, ·) − π(·)ktvλⁿ< ∞,

dla λ < 1/(2pp(1 − p)).

9. Niech W będzie zmienną na R taką, że EW = 0 oraz 0 < EW²< ∞. Pokaż, że wóczas błądzenie losowe na półprostej to znaczy Xn= (X0+Pn

i=1Wi)+, gdzie (Wi)_i>1są i.i.d. o rozkładzie W jest powracalne. Co jeśli EW²= ∞?

3