• Nie Znaleziono Wyników

10 Równania różniczkowe zwyczajne

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "10 Równania różniczkowe zwyczajne"

Copied!
34
0
0

Pełen tekst

(1)

25 kwietnia 2017

(2)

Definicja 293

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzedu n nazywamy równanie postaci, F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0, gdzie zmienna niezależna x ∈ I, I jest przedziałem y : I −→ R jest szukaną funkcja zaś F : Rn+2−→ R jest daną funkcją.

Definicja 294

Rozwiazaniem równania różniczkowego zwyczajnego rz, edu n,

F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0 nazywamy funkcje y : I −→ R klasy C, n taka, że po podstawieniu do równania otrzymujemy tożsamość.,

(3)

Definicja 293

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzedu n nazywamy równanie postaci, F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0, gdzie zmienna niezależna x ∈ I, I jest przedziałem y : I −→ R jest szukaną funkcja zaś F : Rn+2−→ R jest daną funkcją.

Definicja 294

Rozwiazaniem równania różniczkowego zwyczajnego rz, edu n,

F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0 nazywamy funkcje y : I −→ R klasy C, n taka, że po podstawieniu do równania otrzymujemy tożsamość.,

(4)

Definicja 295

Problemem poczatkowym nazywamy równanie różniczkowe, F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0 z warunkami postaci









y(x0) = y0

y0(x0) = y1

. . .

y(n−1)(x0) = yn−1

(5)

Definicja 296

Rozwiazaniem problemu pocz, atkowego nazywamy funkcj, e y : I −→ R klasy C, n taka, że jest ona rozwi, azaniem równania,

F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0 a ponadto









y(x0) = y0

y0(x0) = y1

. . .

y(n−1)(x0) = yn−1 .

(6)

Jeżeli można rozwikłać funkcje F wzgl, edem y, (n) to postać równania y(n)= f (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n−1)(x)) nazywamy postacia normaln, a, równania różniczkowego.

Twierdzenie 298

Jeżeli funkcja f jest klasy C1w otoczeniu punktu (x0, y0, y1, . . . , yn−1) to problem poczatkowy y, (n)= f (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n−1)(x)),





y(x0) = y0

y0(x0) = y1

. . . ma dokładnie jedno rozwiazanie.,

(7)

Jeżeli można rozwikłać funkcje F wzgl, edem y, (n) to postać równania y(n)= f (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n−1)(x)) nazywamy postacia normaln, a, równania różniczkowego.

Twierdzenie 298

Jeżeli funkcja f jest klasy C1w otoczeniu punktu (x0, y0, y1, . . . , yn−1) to problem poczatkowy y, (n)= f (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n−1)(x)),





y(x0) = y0

y0(x0) = y1

. . . ma dokładnie jedno rozwiazanie.,

(8)

Definicja 299

Równania postaci f (x) dx = g(y) dy lub f (x) dx − g(y) dy = 0, oznaczaja, równanie y0= f (x)

g(y), dy

dx = f (x)

g(y) badź, dx

dy = g(y)

f (x). Równanie powyższej postaci nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Twierdzenie 300

Rozwiazanie równania postaci f (x) dx = g(y) dy otrzymujemy obliczaj, ac całki po, obu stronach równościR f (x) dx = R g(y) dy.

(9)

Definicja 299

Równania postaci f (x) dx = g(y) dy lub f (x) dx − g(y) dy = 0, oznaczaja, równanie y0= f (x)

g(y), dy

dx = f (x)

g(y) badź, dx

dy = g(y)

f (x). Równanie powyższej postaci nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Twierdzenie 300

Rozwiazanie równania postaci f (x) dx = g(y) dy otrzymujemy obliczaj, ac całki po, obu stronach równościR f (x) dx = R g(y) dy.

(10)

Definicja 301

Równanie postaci y0= f (yx) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.

Twierdzenie 302

Podstawienie u = yx sprowadza równanie y0 = f (yx) do postaci xu0= f (u) − u.

(11)

Definicja 301

Równanie postaci y0= f (yx) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.

Twierdzenie 302

Podstawienie u = yx sprowadza równanie y0 = f (yx) do postaci xu0= f (u) − u.

(12)

Definicja 303

Równania postaci y0+ f (x)y = g(x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzedu.,

Definicja 304

Równania postaci y0+ f (x)y = 0 nazywamy równaniem liniowym jednorodnym pierwszego rzedu.,

(13)

Definicja 303

Równania postaci y0+ f (x)y = g(x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzedu.,

Definicja 304

Równania postaci y0+ f (x)y = 0 nazywamy równaniem liniowym jednorodnym pierwszego rzedu.,

(14)

Uwaga 305

Jednorodne równane liniowe pierwszego rzedu jest równaniem różniczkowym o, zmiennych rozdzielonych. Rozwiazanie równania y, 0+ f (x)y = 0 jest postaci y = C · exp(−R f (x) dx).

Uwaga 306

Rozwiazania równania y, 0+ f (x)y = g(x) poszukujemy w postaci y = C(x) · exp(−R f (x) dx).

(15)

Uwaga 305

Jednorodne równane liniowe pierwszego rzedu jest równaniem różniczkowym o, zmiennych rozdzielonych. Rozwiazanie równania y, 0+ f (x)y = 0 jest postaci y = C · exp(−R f (x) dx).

Uwaga 306

Rozwiazania równania y, 0+ f (x)y = g(x) poszukujemy w postaci y = C(x) · exp(−R f (x) dx).

(16)

Definicja 307

Równania postaci y0+ f (x)y = g(x)yα nazywamy równaniem Bernouliego.

Twierdzenie 308

Podstawienie z = y1−α sprowadza równanie Bernouliego do równania liniowego.

(17)

Definicja 307

Równania postaci y0+ f (x)y = g(x)yα nazywamy równaniem Bernouliego.

Twierdzenie 308

Podstawienie z = y1−α sprowadza równanie Bernouliego do równania liniowego.

(18)

Definicja 307

Równania postaci y0+ f (x)y = g(x)yα nazywamy równaniem Bernouliego.

Twierdzenie 308

Podstawienie z = y1−α sprowadza równanie Bernouliego do równania liniowego.

(19)

Twierdzenie 309

Równanie F (x, y0, y00) = 0 sprowadzamy do równania rzedu pierwszego, podstawieniem p(x) = y0(x).

Twierdzenie 310

Równanie F (y, y0, y00) = 0 sprowadzamy do równania rzedu pierwszego, podstawieniem p(y) = y0(y).

(20)

Twierdzenie 309

Równanie F (x, y0, y00) = 0 sprowadzamy do równania rzedu pierwszego, podstawieniem p(x) = y0(x).

Twierdzenie 310

Równanie F (y, y0, y00) = 0 sprowadzamy do równania rzedu pierwszego, podstawieniem p(y) = y0(y).

(21)

Definicja 311

Równanie postaci

y(n)+ an−1(x)y(n−1)+ · · · + a2(x)y00+ a1(x)y0+ a0(x)y = f (x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzedu n. Jeżeli f ≡ 0 to mówimy, że jest to, równanie różniczkowe liniowe rzedu n jednorodne.,

Uwaga 312

Kombinacja liniowa o współczynnikach rzeczywistych rozwiazań równania, różniczkowego liniowego rzedu n jednorodnego jest rozwi, azaniem tego równania.,

(22)

Definicja 311

Równanie postaci

y(n)+ an−1(x)y(n−1)+ · · · + a2(x)y00+ a1(x)y0+ a0(x)y = f (x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzedu n. Jeżeli f ≡ 0 to mówimy, że jest to, równanie różniczkowe liniowe rzedu n jednorodne.,

Uwaga 312

Kombinacja liniowa o współczynnikach rzeczywistych rozwiazań równania, różniczkowego liniowego rzedu n jednorodnego jest rozwi, azaniem tego równania.,

(23)

Niech y1, y2, . . . , yn−1, yn bed, a rozwi, azaniami równania różniczkowego liniowego, rzedu n jednorodnego wtedy poniższe warunki s, a równoważne,

y1, y2, . . . , yn−1, yn sa liniowo niezależne.,

Wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera, gdzie

W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) =

y1 y2 . . . yn

y10 y02 . . . yn0 . . . . y(n−1)1 y2(n−1) . . . y(n−1)n

Twierdzenie 314

Jeżeli wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera to

(24)

Niech y1, y2, . . . , yn−1, yn bed, a rozwi, azaniami równania różniczkowego liniowego, rzedu n jednorodnego wtedy poniższe warunki s, a równoważne,

y1, y2, . . . , yn−1, yn sa liniowo niezależne.,

Wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera, gdzie

W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) =

y1 y2 . . . yn

y10 y02 . . . yn0 . . . . y(n−1)1 y2(n−1) . . . y(n−1)n

Twierdzenie 314

Jeżeli wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera to

(25)

Jeżeli wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera to y =Pn

k=1Ck(x)yk jest rozwiazaniem ogólnym równania różniczkowego liniowego, rzedu n niejednorodnego, gdzie C, 1, C2, . . . , Cn wyznaczamy z układu równań:













C10y1+ C20y2+ . . . Cn0yn= 0 , C10y01+ C20y02+ . . . Cn0y0n= 0

. . . .

C10y(n−2)1 + C20y2(n−2)+ . . . Cn0y(n−2)n = 0 C10y(n−1)1 + C20y2(n−1)+ . . . Cn0y(n−1)n = f (x)

Definicja 316

(n) (n−1) 00 0

(26)

Jeżeli wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera to y =Pn

k=1Ck(x)yk jest rozwiazaniem ogólnym równania różniczkowego liniowego, rzedu n niejednorodnego, gdzie C, 1, C2, . . . , Cn wyznaczamy z układu równań:













C10y1+ C20y2+ . . . Cn0yn= 0 , C10y01+ C20y02+ . . . Cn0y0n= 0

. . . .

C10y(n−2)1 + C20y2(n−2)+ . . . Cn0y(n−2)n = 0 C10y(n−1)1 + C20y2(n−1)+ . . . Cn0y(n−1)n = f (x)

Definicja 316

(n) (n−1) 00 0

(27)

Twierdzenie 317

Niech λ bedzie k krotnym pierwiastkiem równania,

rn+ an−1rn−1+ · · · + a1r + a0= 0 wtedy yi= xi−1eλx dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0 gdy λ rzeczywiste. Jeżeli λ jest zespolone to λ = α + βi wiec λ = α − βi też jest, pierwiastkiem i wtedy yi= xi−1eαx(Acosβx + Bsinβx) dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0.

Twierdzenie 318

Dowolne rozwiazanie równania różniczkowego liniowego rz, edu n niejednorodnego o, stałych współczynnikach jest suma r.o.r.l.j i rozwiazania szczególnego.

(28)

Twierdzenie 317

Niech λ bedzie k krotnym pierwiastkiem równania,

rn+ an−1rn−1+ · · · + a1r + a0= 0 wtedy yi= xi−1eλx dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0 gdy λ rzeczywiste. Jeżeli λ jest zespolone to λ = α + βi wiec λ = α − βi też jest, pierwiastkiem i wtedy yi= xi−1eαx(Acosβx + Bsinβx) dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0.

Twierdzenie 318

Dowolne rozwiazanie równania różniczkowego liniowego rz, edu n niejednorodnego o, stałych współczynnikach jest suma r.o.r.l.j i rozwiazania szczególnego.

(29)

Twierdzenie 317

Niech λ bedzie k krotnym pierwiastkiem równania,

rn+ an−1rn−1+ · · · + a1r + a0= 0 wtedy yi= xi−1eλx dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0 gdy λ rzeczywiste. Jeżeli λ jest zespolone to λ = α + βi wiec λ = α − βi też jest, pierwiastkiem i wtedy yi= xi−1eαx(Acosβx + Bsinβx) dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0.

Twierdzenie 318

Dowolne rozwiazanie równania różniczkowego liniowego rz, edu n niejednorodnego o, stałych współczynnikach jest suma r.o.r.l.j i rozwiazania szczególnego.

(30)

Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci

qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci

eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

(31)

Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci

qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci

eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

(32)

Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci

qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci

eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

(33)

Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci

qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci

eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

(34)

Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci

qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci

eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,

xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak

Jest to typ równania omawiany w przypadku I przypadku I, zatem stosujemy podstawienie i otrzymujemy równanie rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych. Po scałkowaniu

Punkt materialny o masie m porusza się po prostej łaczącej dwa centra i jest przyciągany przez nie z siłą wprost proporcjonalną do jego odległości od każdego z nich..

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych (zag. Równania sprowadzalne do równań róż. Równani różniczkowe zupełne, czynnik całkujący 2-3h9. 6. rzędów

9) Liniowe równanie niejednorodne n-tego rzędu o dowolnej prawej stronie (metoda uzmienniania stałej). 10) Normalny układ liniowy jednorodny o stałych współczynnikach

Równania różniczkowe zwyczajne liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach.

Zbiór wszystkich rozwi¡za« równania ró»niczkowego li- niowego jednorodnego pierwszego rz¦du (RLJ1), gdzie a: I → R jest funkcj¡.. ci¡gª¡, tworzy przestrze« liniow¡ (nad

Dwa napełnione, dwustustulitrowe zbiorniki, z których pierwszy zawiera 0,1 % wodny roztwór soli, a drugi czystą wodę, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze