25 kwietnia 2017
Definicja 293
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzedu n nazywamy równanie postaci, F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0, gdzie zmienna niezależna x ∈ I, I jest przedziałem y : I −→ R jest szukaną funkcja zaś F : Rn+2−→ R jest daną funkcją.
Definicja 294
Rozwiazaniem równania różniczkowego zwyczajnego rz, edu n,
F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0 nazywamy funkcje y : I −→ R klasy C, n taka, że po podstawieniu do równania otrzymujemy tożsamość.,
Definicja 293
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzedu n nazywamy równanie postaci, F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0, gdzie zmienna niezależna x ∈ I, I jest przedziałem y : I −→ R jest szukaną funkcja zaś F : Rn+2−→ R jest daną funkcją.
Definicja 294
Rozwiazaniem równania różniczkowego zwyczajnego rz, edu n,
F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0 nazywamy funkcje y : I −→ R klasy C, n taka, że po podstawieniu do równania otrzymujemy tożsamość.,
Definicja 295
Problemem poczatkowym nazywamy równanie różniczkowe, F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0 z warunkami postaci
y(x0) = y0
y0(x0) = y1
. . .
y(n−1)(x0) = yn−1
Definicja 296
Rozwiazaniem problemu pocz, atkowego nazywamy funkcj, e y : I −→ R klasy C, n taka, że jest ona rozwi, azaniem równania,
F (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n)(x)) = 0 a ponadto
y(x0) = y0
y0(x0) = y1
. . .
y(n−1)(x0) = yn−1 .
Jeżeli można rozwikłać funkcje F wzgl, edem y, (n) to postać równania y(n)= f (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n−1)(x)) nazywamy postacia normaln, a, równania różniczkowego.
Twierdzenie 298
Jeżeli funkcja f jest klasy C1w otoczeniu punktu (x0, y0, y1, . . . , yn−1) to problem poczatkowy y, (n)= f (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n−1)(x)),
y(x0) = y0
y0(x0) = y1
. . . ma dokładnie jedno rozwiazanie.,
Jeżeli można rozwikłać funkcje F wzgl, edem y, (n) to postać równania y(n)= f (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n−1)(x)) nazywamy postacia normaln, a, równania różniczkowego.
Twierdzenie 298
Jeżeli funkcja f jest klasy C1w otoczeniu punktu (x0, y0, y1, . . . , yn−1) to problem poczatkowy y, (n)= f (x, y(x), y0(x), y00(x), . . . y(n−1)(x)),
y(x0) = y0
y0(x0) = y1
. . . ma dokładnie jedno rozwiazanie.,
Definicja 299
Równania postaci f (x) dx = g(y) dy lub f (x) dx − g(y) dy = 0, oznaczaja, równanie y0= f (x)
g(y), dy
dx = f (x)
g(y) badź, dx
dy = g(y)
f (x). Równanie powyższej postaci nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Twierdzenie 300
Rozwiazanie równania postaci f (x) dx = g(y) dy otrzymujemy obliczaj, ac całki po, obu stronach równościR f (x) dx = R g(y) dy.
Definicja 299
Równania postaci f (x) dx = g(y) dy lub f (x) dx − g(y) dy = 0, oznaczaja, równanie y0= f (x)
g(y), dy
dx = f (x)
g(y) badź, dx
dy = g(y)
f (x). Równanie powyższej postaci nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Twierdzenie 300
Rozwiazanie równania postaci f (x) dx = g(y) dy otrzymujemy obliczaj, ac całki po, obu stronach równościR f (x) dx = R g(y) dy.
Definicja 301
Równanie postaci y0= f (yx) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.
Twierdzenie 302
Podstawienie u = yx sprowadza równanie y0 = f (yx) do postaci xu0= f (u) − u.
Definicja 301
Równanie postaci y0= f (yx) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.
Twierdzenie 302
Podstawienie u = yx sprowadza równanie y0 = f (yx) do postaci xu0= f (u) − u.
Definicja 303
Równania postaci y0+ f (x)y = g(x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzedu.,
Definicja 304
Równania postaci y0+ f (x)y = 0 nazywamy równaniem liniowym jednorodnym pierwszego rzedu.,
Definicja 303
Równania postaci y0+ f (x)y = g(x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzedu.,
Definicja 304
Równania postaci y0+ f (x)y = 0 nazywamy równaniem liniowym jednorodnym pierwszego rzedu.,
Uwaga 305
Jednorodne równane liniowe pierwszego rzedu jest równaniem różniczkowym o, zmiennych rozdzielonych. Rozwiazanie równania y, 0+ f (x)y = 0 jest postaci y = C · exp(−R f (x) dx).
Uwaga 306
Rozwiazania równania y, 0+ f (x)y = g(x) poszukujemy w postaci y = C(x) · exp(−R f (x) dx).
Uwaga 305
Jednorodne równane liniowe pierwszego rzedu jest równaniem różniczkowym o, zmiennych rozdzielonych. Rozwiazanie równania y, 0+ f (x)y = 0 jest postaci y = C · exp(−R f (x) dx).
Uwaga 306
Rozwiazania równania y, 0+ f (x)y = g(x) poszukujemy w postaci y = C(x) · exp(−R f (x) dx).
Definicja 307
Równania postaci y0+ f (x)y = g(x)yα nazywamy równaniem Bernouliego.
Twierdzenie 308
Podstawienie z = y1−α sprowadza równanie Bernouliego do równania liniowego.
Definicja 307
Równania postaci y0+ f (x)y = g(x)yα nazywamy równaniem Bernouliego.
Twierdzenie 308
Podstawienie z = y1−α sprowadza równanie Bernouliego do równania liniowego.
Definicja 307
Równania postaci y0+ f (x)y = g(x)yα nazywamy równaniem Bernouliego.
Twierdzenie 308
Podstawienie z = y1−α sprowadza równanie Bernouliego do równania liniowego.
Twierdzenie 309
Równanie F (x, y0, y00) = 0 sprowadzamy do równania rzedu pierwszego, podstawieniem p(x) = y0(x).
Twierdzenie 310
Równanie F (y, y0, y00) = 0 sprowadzamy do równania rzedu pierwszego, podstawieniem p(y) = y0(y).
Twierdzenie 309
Równanie F (x, y0, y00) = 0 sprowadzamy do równania rzedu pierwszego, podstawieniem p(x) = y0(x).
Twierdzenie 310
Równanie F (y, y0, y00) = 0 sprowadzamy do równania rzedu pierwszego, podstawieniem p(y) = y0(y).
Definicja 311
Równanie postaci
y(n)+ an−1(x)y(n−1)+ · · · + a2(x)y00+ a1(x)y0+ a0(x)y = f (x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzedu n. Jeżeli f ≡ 0 to mówimy, że jest to, równanie różniczkowe liniowe rzedu n jednorodne.,
Uwaga 312
Kombinacja liniowa o współczynnikach rzeczywistych rozwiazań równania, różniczkowego liniowego rzedu n jednorodnego jest rozwi, azaniem tego równania.,
Definicja 311
Równanie postaci
y(n)+ an−1(x)y(n−1)+ · · · + a2(x)y00+ a1(x)y0+ a0(x)y = f (x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzedu n. Jeżeli f ≡ 0 to mówimy, że jest to, równanie różniczkowe liniowe rzedu n jednorodne.,
Uwaga 312
Kombinacja liniowa o współczynnikach rzeczywistych rozwiazań równania, różniczkowego liniowego rzedu n jednorodnego jest rozwi, azaniem tego równania.,
Niech y1, y2, . . . , yn−1, yn bed, a rozwi, azaniami równania różniczkowego liniowego, rzedu n jednorodnego wtedy poniższe warunki s, a równoważne,
y1, y2, . . . , yn−1, yn sa liniowo niezależne.,
Wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera, gdzie
W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) =
y1 y2 . . . yn
y10 y02 . . . yn0 . . . . y(n−1)1 y2(n−1) . . . y(n−1)n
Twierdzenie 314
Jeżeli wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera to
Niech y1, y2, . . . , yn−1, yn bed, a rozwi, azaniami równania różniczkowego liniowego, rzedu n jednorodnego wtedy poniższe warunki s, a równoważne,
y1, y2, . . . , yn−1, yn sa liniowo niezależne.,
Wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera, gdzie
W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) =
y1 y2 . . . yn
y10 y02 . . . yn0 . . . . y(n−1)1 y2(n−1) . . . y(n−1)n
Twierdzenie 314
Jeżeli wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera to
Jeżeli wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera to y =Pn
k=1Ck(x)yk jest rozwiazaniem ogólnym równania różniczkowego liniowego, rzedu n niejednorodnego, gdzie C, 1, C2, . . . , Cn wyznaczamy z układu równań:
C10y1+ C20y2+ . . . Cn0yn= 0 , C10y01+ C20y02+ . . . Cn0y0n= 0
. . . .
C10y(n−2)1 + C20y2(n−2)+ . . . Cn0y(n−2)n = 0 C10y(n−1)1 + C20y2(n−1)+ . . . Cn0y(n−1)n = f (x)
Definicja 316
(n) (n−1) 00 0
Jeżeli wyznacznik Wrońskiego W (y1, y2, . . . , yn−1, yn) jest różny od zera to y =Pn
k=1Ck(x)yk jest rozwiazaniem ogólnym równania różniczkowego liniowego, rzedu n niejednorodnego, gdzie C, 1, C2, . . . , Cn wyznaczamy z układu równań:
C10y1+ C20y2+ . . . Cn0yn= 0 , C10y01+ C20y02+ . . . Cn0y0n= 0
. . . .
C10y(n−2)1 + C20y2(n−2)+ . . . Cn0y(n−2)n = 0 C10y(n−1)1 + C20y2(n−1)+ . . . Cn0y(n−1)n = f (x)
Definicja 316
(n) (n−1) 00 0
Twierdzenie 317
Niech λ bedzie k krotnym pierwiastkiem równania,
rn+ an−1rn−1+ · · · + a1r + a0= 0 wtedy yi= xi−1eλx dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0 gdy λ rzeczywiste. Jeżeli λ jest zespolone to λ = α + βi wiec λ = α − βi też jest, pierwiastkiem i wtedy yi= xi−1eαx(Acosβx + Bsinβx) dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0.
Twierdzenie 318
Dowolne rozwiazanie równania różniczkowego liniowego rz, edu n niejednorodnego o, stałych współczynnikach jest suma r.o.r.l.j i rozwiazania szczególnego.
Twierdzenie 317
Niech λ bedzie k krotnym pierwiastkiem równania,
rn+ an−1rn−1+ · · · + a1r + a0= 0 wtedy yi= xi−1eλx dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0 gdy λ rzeczywiste. Jeżeli λ jest zespolone to λ = α + βi wiec λ = α − βi też jest, pierwiastkiem i wtedy yi= xi−1eαx(Acosβx + Bsinβx) dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0.
Twierdzenie 318
Dowolne rozwiazanie równania różniczkowego liniowego rz, edu n niejednorodnego o, stałych współczynnikach jest suma r.o.r.l.j i rozwiazania szczególnego.
Twierdzenie 317
Niech λ bedzie k krotnym pierwiastkiem równania,
rn+ an−1rn−1+ · · · + a1r + a0= 0 wtedy yi= xi−1eλx dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0 gdy λ rzeczywiste. Jeżeli λ jest zespolone to λ = α + βi wiec λ = α − βi też jest, pierwiastkiem i wtedy yi= xi−1eαx(Acosβx + Bsinβx) dla i ∈ {1, 2, . . . k} sa, rozwiazaniami równanie postaci y, (n)+ an−1y(n−1)+ · · · + a2y00+ a1y0+ a0y = 0.
Twierdzenie 318
Dowolne rozwiazanie równania różniczkowego liniowego rz, edu n niejednorodnego o, stałych współczynnikach jest suma r.o.r.l.j i rozwiazania szczególnego.
Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci
qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci
eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci
qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci
eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci
qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci
eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci
qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci
eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Jeżeli f (x) = pm(x)erx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m to rozwiazania, szczególnego poszukujemy w postaci
qm(x)erxjeżeli r nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkqm(x)erxjeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Jeżeli f (x) = eαx(pm(x)cosβx + ql(x)sinβx, gdzie pmjest wielomianem stopnia m,qljest wielomianem stopnia l to rozwiazania szczególnego poszukujemy w, postaci
eαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego,
xkeαx(Ps(x)cosβx + Qs(x)sinβx, jeżeli α + βi jeżeli r jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.