• Nie Znaleziono Wyników

Pochodna funkcji, pochodne wyższych rzędów.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pochodna funkcji, pochodne wyższych rzędów."

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1B, zima 2015/16

Pochodna funkcji, pochodne wyższych rzędów.

Poziom C – 12.01.642 (grupa 1)

590. Wyznaczyć największą liczbę całkowitą dodatnią n, dla której istnieje taka liczba rzeczywista A, że funkcja

f (x) =

e−x− 1 + ln(x + 1)

xn dla x 6= 0

A dla x = 0

jest różniczkowalna w zerze i obliczyć f0(0) dla tych wartości n i A.

591. Niech f :RR będzie funkcją określoną wzorem f (x) = −5x + lne2x+ e8x.

Udowodnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

|f0(x)| < 3 .

592. Funkcja f :RR jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną. Wiadomo, że f (0) = 0, f (3) = 9, f (5) = 11.

Dowieść, że istnieje taka liczba rzeczywista x, że f0(x) = 2.

593. Funkcja f :RR ma ciągłą pochodną rzędu pierwszego na całej prostej. Wia- domo, że f (0) = 0, f (7) = 12, a ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność

1 < f0(x) < 2 . Dowieść, że wówczas zachodzi nierówność

|f (4) − ...| < 1 .

W miejsce kropek należy wpisać konkretną liczbę rzeczywistą (niezależną od f !!!).

594. Na potrzeby tego zadania funkcję dwukrotnie różniczkowalną f :RR na- zwiemy superwypukłą, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f00(x) ­ 1.

Dowieść, że dowolna funkcja superwypukła spełnia nierówność f (1) ¬f (0) + f (2)

2 1

2. 595. Dowieść, że (f (x)g(x))(n)= Pn

k=0

n

k

f(k)(x)g(n−k)(x) .

Obliczyć przybliżone wartości następujących liczb korzystając z trzech wyrazów (ze- rowego, pierwszego i drugiego) wzoru Taylora odpowiedniej funkcji f . Oszacować błąd przybliżenia w postaci (x − x0)3· f000(c)/6.

596.

79 597. 4

e 598. 3

126 599. 7

126 600. ln2 = ln(1,252· 1,28)

Lista 13C - 40 - Strona 40

Cytaty

Powiązane dokumenty

Odwzorowanie nazywamy n krotnie różnicz- kowalnym jeśli jego pochodna rzędu n − 1 jest różniczkowalna przy ustalonych wektorach na których obliczamy wartość tej

[r]

takie, że druga pochodna jest różna od zera. Wtedy testowanie, czy dany punkt krytyczny odpowiada ekstremum, kończy się na drugiej pochodnej... 1.5 Interpretacja geometryczna

Jeśli natomiast f osiąga wartość największą na końcach przedziału, czyli mamy sytuację, którą w uproszczeniu można naszkicować jak na rysunku 3, to za punkt c przyjmiemy punkt,

Otóż jeśli jakiś obiekt (spadające ciało lub samochód na szosie) przebyło w określonym czasie określoną drogę, to średnia prędkość w czasie tego ruchu jest ilorazem

Naszkicować wykres funkcji f n oraz wykres jej po-

b) okre±l znak drugiej pochodnej-wyznaczamy przedziaªy wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci funkcji oraz punkty przegi¦cia funkcji,. 6) zbierz otrzymane informacje o funkcji w tabeli 7)

[r]