Naprężenia i odkształcenia Stress & strain
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
l l l
l
l ∆
− =
=
0
ε
0Simplifying assumptions:
1. Soil is continuous 2. Soil is homogeneous 3. Soil is isotropic
A continuous body subjected to a system of external forces
Normal strain definition
Naprężenia i odkształcenia
Shear strain definition Poison’s ratio definition
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
z
ε
rν = − ε G
zx zx
γ = τ
Naprężenia i odkształcenia
States of strains
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Stress definition
i j ij A
A F
i
∆
= ∆
lim
→0σ
=
zz zy
zx
yz yy
yx
xz xy
xx ij
σ τ
τ
τ σ
τ
τ τ
σ σ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Stress tensor
Naprężenia i odkształcenia
Naprężenie jest to graniczna wartość stosunku siły działającej na nieskończenie mały element pola przekroju ciała do wymiaru tego pola:
F F
Przekrój ciała sztywnego.
A F
A ∆
= ∆
→
∆ lim 0
σ
gdzie: σ - naprężenieF - siła
A - pole przekroju
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
i j ij A
A F
i
∆
= ∆
lim
→0σ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
The state of stress at a point according to a “reference coordinate” is (9 components)
zy yz
yz
zx xz
xz
yx xy
xy
y yy
x xx
τ τ
σ σ
τ τ
σ σ
τ τ
σ σ
σ σ
σ
σ σ
σ
−
=
=
=
−
=
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
23 13 12 22 11
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
States of stress
Axisymmetric
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Normal stresses and strains
xz P yz
P xy
P
yx y z x
z
= σ = σ =
σ , ,
y y x
x z
z
y x
z
− ∆
∆ =
−
∆ =
−
= ε ε
ε , ,
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Volumetric strain
Assume the initial volume is V
0= 1, so the final volume is:
) (
1 ) 1
)(
1 )(
1 (
1 ) 1
)(
1 )(
1 (
0 0
0 0
strains small
V V V
V V
V V V
z y
x
z y x z
y z
x y
x z
y x
z y
x p
f f
p
z y
x f
ε ε
ε
ε ε ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε
ε ε
ε
+ +
≈
+ +
+ +
+ +
=
− +
+ +
=
−
− =
∆ =
=
+ +
+
=
z y
x
p
ε ε ε
ε = + +
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Hooke’s law
ε σ = E ⋅
( + ν )
= 2 1 G E
Shear modulus
Bulk modulus
( 1 2 ν )
3 −
= E
K
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
K G
G K
6 2
2 3
+
= −
ν
Naprężenia i odkształcenia
Hooke’s law in 3D
+ +
+
−
−
−
−
−
−
=
zx yz xy z y x
zx yz xy z y x
E
τ τ τ σ σ σ
ν ν
ν ν
ν
ν ν
ν ν
γ γ γ ε ε ε
) 1
( 2 0
0 0
0 0
0 )
1 ( 2 0
0 0
0
0 0
) 1
( 2 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
1
( )
( )
( )
( )
( )
(
z y x)
z
z x
y y
z y
x x
E E E
σ σ
ν σ
ε
σ σ
ν σ
ε
σ σ
ν σ
ε
+
−
=
+
−
=
+
−
=
1 1 1
G G G
yz yz
xz xz
xy xy
γ τ γ τ γ τ
=
=
=
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Elastic materials obey the principle of superposition.
The applied loading order is not important and the equilibrium strain is the same.
ε
= σ
E γ
= τ G
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Soils are elastoplastic materials actually, (elastic deformation + plastic deformation)
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Vertical stress
Naprężenia i odkształcenia
Horizontal stress
i i
v
γ h
σ =
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
v
K
h
= σ ⋅
σ
K – lateral earth pressure coefficient
Naprężenia i odkształcenia
Naprężenie pierwotne lub geostatyczne σγz to naprężenie istniejące w gruncie od ciężaru wyżej leżących warstw. Zgodnie z zasadą superpozycji naprężenie całkowite σz w gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego σγz i naprężenia od obciążenia zewnętrznego σqz:
qz z
z
σ σ
σ = γ +
W przypadku przyłożenia obciążenia nie na powierzchni półprzestrzeni, lecz na pewnej głębokości po wykonaniu wykopu, naprężenie całkowite σz w dowolnym punkcie wyznacza się jako sumę naprężenia pierwotnego geostatycznego σγz zmniejszonego o odciążenie wykopem ∆σγz:
(
z z)
qzz
σ σ σ
σ = γ − ∆ γ +
Wartość poziomej składowej naprężenia geostatycznego σγxoblicza się ze wzoru:
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
z 0
y
x γ K γ
γ = σ = σ
σ
gdzie: K0 - współczynnik parcia bocznego w spoczynku, σγz - pionowa składowa naprężenia pierwotnego.
Naprężenia i odkształcenia
σγz
σγy
σγx σγx
σγy
σγz
σγz= γz
σγx = σγy = K0σγz
Składowe naprężenia pierwotnego.
Wartość współczynnika K0 zależy od rodzaju gruntu i historii jego naprężenia i zmienia się w zakresie 0.2 ÷ 0.6 dla gruntów normalnie skonsolidowanych i 0.8 ÷ 2.0 dla gruntów prekonsolidowanych.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
5 2
3 2 5
5 2 5
3
2 3
2 2
2 2
5 2
2 3
2 2
2 2
5 2
2 3
2 2 2
3 1 2
2 3 2
3
2 3 1
2
2 3 1
2
R z y P
R z R
xy R
R xyz P
R z x P R
z P
r R
z x z
R Rr
x y
R z y P
r R
z y z
R Rr
y x
R z x P
yz zy
yx xy
xz zx
z y x
τ π τ
π ν τ
τ
τ π τ
σ π
π ν σ
π ν σ
=
−
=
+
− +
−
=
−
=
=
−
=
=
+
+
− −
−
=
+
+
− −
−
=
2 2
2
2 2
z y
x R
y x
r
+ +
=
+
=
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
P y
r
z
R
r x
z
σ
xσ
zσ
yτzy τzx
τyz
τyx τxy
τxz
Boussinesq solution
Naprężenia i odkształcenia
Naprężenia i odkształcenia
Przykład: Znaleźć naprężenia w gruncie wywołane przyłożeniem siły skupionej równej P = 50 kN w punkcie o współrzędnych x = 3m, y = 0m, z = 4m; ν=0.3.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 0 3
2 0 2 2
3 1 2
367 . 2 0
3
49 . 2 0
3
031 . 0 2
3 1 2
266 . 0 2
3 1 2
5 2
3 2 5
5 2 5
3
2 3
2 2
2 2
5 2
2 3
2 2
2 2
5 2
=
=
−
=
=
+
− +
−
=
−
=
=
=
−
=
= =
−
=
+
+
− −
−
=
=
+
+
− −
−
=
R z y P
R z R
xy R
R xyz P
R kPa z x P R kPa
z P
r kPa R
z x z
R Rr
x y
R z y P
r kPa R
z y z
R Rr
y x
R z x P
yz zy
yx xy
xz zx
z y x
τ π τ
π ν τ
τ
τ π τ
σ π
π ν σ
π ν σ
5 3
2 2
2
2 2
= +
+
=
= +
=
z y
x R
y x
r
Flamant’s solution – extension to line loads
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
P
2 2 2
3
) (
2
z x
Pz
z
= +
σ π
2 2 2 2) (
2
z x
z Px
x
= +
σ π )
( 2
2
2
z
x P
y
= +
π σ ν
2 2 2
2
) (
2
z x
xz P
xz
= ⋅ +
τ π
A strip load is the load transmitted by a structure of finite width and infinite length on a soil surface. The increase in stresses due to a surface stress qs
(force/area) is as follows:
[ ]
[ ]
[ sin sin( 2 ) ]
) 2 cos(
sin
) 2 cos(
sin
β α
π α τ
β α
α π α
σ
β α
α π α
σ
+
⋅
=
+
−
=
+ +
=
zx s x s z s
q q q
+ −
=
− +
=
−
=
α π β
τ
β π α
σ
β π α
σ
B z q
R R B
z B
x q
B q x
zx s x s
s z
2 2
cos 2 1
2 2 sin ln 1
2 2 sin 1
2 2
2 1
Naprężenia i odkształcenia
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki B
L
+
−
=
−
+
L B
L z B
z B q
84 . 0 6 . 2
62 . 0 38 . 1
1 2 1 1
σ
Simplified solution for rectangular loaded areas beneath the centre of the loaded area
bearing pressure q
Naprężenia i odkształcenia
Metoda punktów narożnych umożliwia wyznaczanie naprężenia pionowego oraz sumy naprężeń głównych pod narożem prostokątnego obciążonego obszaru według wzorów:
( )
( )( )
nzn
q
z B
L z arctg LB z
B L
z B
z L
z B
L LBz
q η
σ =
+ + +
+ +
+ +
+
= +
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
gdzie:
ηn - współczynnik wyznaczany z nomogramu w zależności od
stosunku L/B (długość obszaru obciążonego do jego szerokości) oraz od stosunku z/B (zagłębienie punktu poniżej powierzchni do szerokości),
q - obciążenie ciągłe.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
z/B
ηn
10,0 8,0 6,0 4,0 2,0
0 0,05 0,100 0,150 0,200 0,250
Nomogram do wyznaczania współczynnika ηn
A B
C D
E M
F
G H
A
G M H
D
B E
C F
(
nMGCH)
qEMHD n FBGM n AFME n
zq = η +η +η +η ⋅
σ
(
nCFMG)
qDFMH n BEMG n AEMH n
zq = η −η −η +η ⋅
σ
a)
b)
Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeń w dowolnym punkcie podłoża.
naroże wewnątrz obciążonego obszaru
naroże na zewnątrz obciążonego obszaru.
Naprężenia i odkształcenia
Naprężenia i odkształcenia
Metodą punktów środkowych można wyznaczyć naprężenie pionowe pod środkiem prostokątnego obszaru obciążonego, posługując się wzorem:
z/B
η0
5,0 4,0 3,0 2,0 1,0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
z
η
0q
σ =
Wartość σz można również wyznaczyć, stosując superpozycję naprężeń pod
wspólnym narożem czterech obciążonych prostokątów o bokach L/2 i B/2.
Nomogram do wyznaczania współczynnika η0.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Rozkład Naprężenia Pod Fundamentami Sztywnymi
S1 S2
S2>S1 q1
qmax
Z Z
przy qmax Rzeczywisty
rozkład naprężeń
Teoretyczny rozkład naprężeń
w początkowym okresie obciążenia przy obciążeniu granicznym
Rozkład naprężenia pionowego w poziomie posadowienia absolutnie sztywnego fundamentu Teoretyczny rozkład naprężenia w poziomie posadowienia wyznacza się ze wzoru
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
2 2
1
2 r
q σ ρ
−
=
gdzie:ρ - odległość rozpatrywanego punktu od środka fundamentu,
r - promień podstawy fundamentu
Naprężenia i odkształcenia
Naprężenia pionowe na głębokości z (poniżej poziomu posadowienia) wyznacza się jako naprężenia średnie (całkowe) w obrębie prostokąta znajdującego się pod obszarem obciążanym wg wzoru:
s
zs
q η
σ =
gdzie: ηs- współczynnik rozkładu naprężenia
q
L
z
σz σzs
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Rozkład naprężenia σz i naprężenie średnie σzs na
głębokości z pod obszarem prostokątnym obciążonym równomiernie
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
z/B
ηs
5,0 4,0 3,0 2,0 1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Naprężenia i odkształcenia
Nomogram do wyznaczania współczynnika η
Naprężenia i odkształcenia
Simplified solution for square loaded areas
beneath the centre of the loaded area bearing
pressure q B
B
+
−
=
76 . 1
2
1 2 1 1
z q B
σ
zbearing pressure q Simplified solution for circular loaded areas
beneath the centre of the loaded area B - diameter
+
−
=
50 . 1
2
1 2 1 1
z q B
σ
zMarek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Simplified solution for continuous loaded areas (strip loads) of width B and infinite length beneath the centre of the loaded area
Naprężenia i odkształcenia
+
−
=
6 . 2
38 . 1
1 2 1 1
z q B
σ
zMarek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki In preliminary analyses of vertical stress
increase under the center of rectangular loads, geotechnical engineers often use an approximate method (sometimes called the 2:1 method). The vertical stress increase under the center of the load is:
) )(
( B z L z BL
q
sz
= + +
σ
The approximate method is reasonablyaccurate (compared with Boussinesq’s elastic solution) when z > B
Naprężenia i odkształcenia
Chart solutions for rectangular and circular loaded area - pressure bulbs (stress bulbs).
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Rozkład naprężenia w gruncie od działania obciążenia ciągłego Zastosowanie superpozycji do
wyznaczania naprężenia od obciążenia ciągłego.
Obszar obciążony dzieli się na mniejsze elementy, w środku elementów przykłada się zastępcze siły skupione.
P
P
L=mLi
B=nBi z P=qLiBi
r
R
σz
Wartość naprężenia pionowego normalnego w dowolnym punkcie ośrodka gruntowego obciążonego wyznacza się na podstawie wzoru Boussinesqa:
52
2 2
1
2
3
+
=
z z r
P
z
π σ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Wyznaczanie naprężenia pod narożem prostokątnego obszaru obciążonego
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
dσz
dP
y
x
M 0
B z
r
L
dy dx
Na danym obszarze A wydziela się nieskończenie mały element o polu dA = dx dy;
elementarna siła dP = qdA wywołuje w rozpatrywanym punkcie M na głębokości z poniżej powierzchni półprzestrzeni elementarne naprężenie:
52
2
2
1
2
3
+
=
z z r
d
zdP
π σ
Naprężenie pionowe w rozpatrywanym punkcie M od obciążenia ciągłego działającego w
obszarze A wynosi:
∫ ∫
+ +
=
L B z
z y z x
qdxdy
0 0
2 2 2
2
52
1 2
3 π
σ
Wyznaczanie naprężeń pionowych od obciążenia ciągłego za pomocą
elementarnych zastępczych sił skupionych.
Naprężenia i odkształcenia
http://www.prenhall.com/coduto/html/Geotechnical/Software.htm
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Geotechnical Engineering: Principles and Practices includes the following
computer software:
STRESSP - Geostatic and induced stresses beneath a point load STRESSL - Geostatic and induced stresses beneath a line load
STRESSR - Geostatic and induced stresses beneath a rectangular area load STRESSC - Geostatic and induced stresses beneath a circular area load
Naprężenia i odkształcenia
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
FLAC (Version 4.00)
LEGEND
23-Oct-04 18:48 step 4096
2.417E+00 <x< 7.583E+00 -4.126E+00 <y< 1.039E+00 YY-stress contours
-1.10E+05 -9.00E+04 -7.00E+04 -5.00E+04 -3.00E+04 -1.00E+04
Contour interval= 1.00E+04 Net Applied Forces
Max Vector = 5.000E+04
0 1E 5
-3.500 -2.500 -1.500 -0.500 0.500
3.000 4.000 5.000 6.000 7.000
JOB TITLE : .
Marek Cala Katedra Geomechaniki
Naprężenia pionowe wywołane siłą P= 50 kN.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
FLAC (Version 4.00)
LEGEND
23-Oct-04 18:52 step 6872
1.219E+00 <x< 8.781E+00 -6.663E+00 <y< 8.990E-01 YY-stress contours
-4.50E+04 -4.00E+04 -3.50E+04 -3.00E+04 -2.50E+04 -2.00E+04 -1.50E+04 -1.00E+04 -5.00E+03 0.00E+00
Contour interval= 5.00E+03 Net Applied Forces
Max Vector = 1.000E+04
0 2E 4
-6.000 -5.000 -4.000 -3.000 -2.000 -1.000 0.000
2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000
JOB TITLE : .
Marek Cala Katedra Geomechaniki
Naprężenia pionowe wywołane obciążeniem ciągłym q= 50 kN/mb o szerokości 2 m
θ σ
θ σ
σ θ σ
σ
σ
θσ
1 2 1 2cos 2
1cos
2 2sin
22
2 − ⋅ = ⋅ + ⋅
+ +
=
Bardzo przydatnym i poglądowym sposobem przedstawienia stanu naprężenia jest koło Mohra. Znając wartość i kierunek składowych naprężenia σ1 i σ3, można wyznaczyć naprężenia normalne i styczne w dowolnym kierunku, stosując następujące związki:
Naprężenia i odkształcenia
σ θ
τ
θσ sin 2 2
2
1
− ⋅
=
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
2
2 max 1
σ
τ = σ −
Naprężenia i odkształcenia
Wzory na naprężenia główne oraz ich kierunek:
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
2 2
1
2 2
xyy x
y
x
σ σ σ τ
σ σ +
−
+ +
=
2 2
2
2 2
xyy x
y
x
σ σ σ τ
σ σ +
−
+ −
=
y x
xy
σ σ
θ τ
−
= 2 ⋅ 2
tan
Transformacja składowych stanu naprężenia.
Wartości składowych stanu naprężenia można określić z następujących wzorów:
ϕ τ
σ ϕ σ
σ
σ σ cos 2 sin 2
2
2
xyy x
y
x
− +
+ +
=
σ ϕ ϕ σ
τ
τ sin 2
2 2
cos
x yxy
− −
=
Naprężenia i odkształcenia
Koło Mohra dla odkształceń
2 2
1
2 2
xyy x
y
x
ε ε ε γ
ε ε +
− + +
=
2 2
2
2 2
xyy x
y
x
ε ε ε γ
ε ε +
−
+ −
=
ε θ
γ
θε sin 2 2
2
1
− ⋅
=
θ ε
θ ε
ε θ ε
ε
ε
θε
1 2 1 2cos 2
1cos
2 2sin
22
2 − ⋅ = ⋅ + ⋅
+ +
=
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Koło Mohra dla przestrzennego stanu naprężenia i odkształcenia
If all the principal stresses are considered (3-D), there are three Mohr’s circles. However, in general we concern the maximum shear mostly and therefore the major and the minor are only important. (σ2- intermediate principal stress.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Odwzorowanie Stanu Naprężenia w Układzie p – q
Przedstawienie na jednym wykresie wielu stanów naprężenia dokonuje się poprzez nanoszenie punktu, którego współrzędne są równe:
2
3
1
σ
σ + p =
2
3
1
σ
σ −
= q
W większości przypadków naprężenia główne występują na pionowych bądź na poziomych płaszczyznach, a zatem równania można napisać w postaci:
2
y
q σ
x− σ
2 =
y
p σ
x+ σ
=
Ten sposób przedstawienia stanu naprężenia w gruncie sprowadza się do naniesienia jednego najwyżej leżącego punktu dla q dodatniego lub najniżej leżącego punktu dla q ujemnego na kole Mohra.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Ścieżki Naprężenia
Ścieżka naprężenia to linia prosta lub krzywa powstała w wyniku połączenia szeregu punktów stanu naprężenia naniesionych na wykres, przedstawia ciągłość kolejnych stanów naprężenia.
A
B C
D E
A B
C D
E Ścieżka naprężenia
p q
a) b)
σθ τθ
koło Mohra wykres p –q
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Przedstawienie kolejnych stanów naprężenia przy zwiększeniu
pionowej składowej naprężenia σ1 i stałej wartości składowej σ3
Naprężenia i odkształcenia
Example problem:
At some point on the free surface of a machine element, the Cartesian stresses were determined. Construct the Mohr's circle for this state of plane stress to determine the principal stresses and principal directions.
xy
MPa
y x
y
x
33
2 2
2 2
1
+ =
−
+ +
= σ σ σ σ τ
σ
4 . 2 2
2
tan =
−
= ⋅
y x
xy
σ σ
θ τ
xy
MPa
y x
y
x
7
2 2
2 2
2
+ =
−
+ −
= σ σ σ σ τ
σ
38
o.
= 67 θ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Literatura
• Szymański A. – Wykłady z mechaniki gruntów i budownictwa ziemnego
• Wiłun Z. – Zarys geotechniki
• Lambe T. W. Whitman R.V (1976, 1977) Mechanika gruntów,Tom I i II, Arkady, Warszawa
• Verruijt A. 2001. Soil Mechanics
• Coduto D.P. 1999. Geotechnical Engineering.
• Coduto D.P. 2001. Foundation design.
• Jarominiak A. 1999. Lekkie konstrukcje oporowe.
• Myślińska E. 2001. Laboratoryjne badania gruntów.
• Obrycki M., Pisarczyk S. 1999. Zbiór zadań z mechaniki gruntów.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki