• Nie Znaleziono Wyników

Naprężenia i odkształcenia

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Naprężenia i odkształcenia"

Copied!
44
0
0

Pełen tekst

(1)

Naprężenia i odkształcenia Stress & strain

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(2)

Naprężenia i odkształcenia

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

l l l

l

l

− =

=

0

ε

0

Simplifying assumptions:

1. Soil is continuous 2. Soil is homogeneous 3. Soil is isotropic

A continuous body subjected to a system of external forces

Normal strain definition

(3)

Naprężenia i odkształcenia

Shear strain definition Poison’s ratio definition

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

z

ε

r

ν = − ε G

zx zx

γ = τ

(4)

Naprężenia i odkształcenia

States of strains

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(5)

Naprężenia i odkształcenia

Stress definition

i j ij A

A F

i

= ∆

lim

→0

σ

 

 

=

zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx ij

σ τ

τ

τ σ

τ

τ τ

σ σ

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Stress tensor

(6)

Naprężenia i odkształcenia

Naprężenie jest to graniczna wartość stosunku siły działającej na nieskończenie mały element pola przekroju ciała do wymiaru tego pola:

F F

Przekrój ciała sztywnego.

A F

A

= ∆

∆ lim 0

σ

gdzie: σ - naprężenie

F - siła

A - pole przekroju

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(7)

Naprężenia i odkształcenia

i j ij A

A F

i

= ∆

lim

→0

σ

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(8)

Naprężenia i odkształcenia

The state of stress at a point according to a “reference coordinate” is (9 components)

zy yz

yz

zx xz

xz

yx xy

xy

y yy

x xx

τ τ

σ σ

τ τ

σ σ

τ τ

σ σ

σ σ

σ

σ σ

σ

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

23 13 12 22 11

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(9)

Naprężenia i odkształcenia

States of stress

Axisymmetric

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(10)

Naprężenia i odkształcenia

Normal stresses and strains

xz P yz

P xy

P

y

x y z x

z

= σ = σ =

σ , ,

y y x

x z

z

y x

z

− ∆

∆ =

∆ =

= ε ε

ε , ,

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(11)

Naprężenia i odkształcenia

Volumetric strain

Assume the initial volume is V

0

= 1, so the final volume is:

) (

1 ) 1

)(

1 )(

1 (

1 ) 1

)(

1 )(

1 (

0 0

0 0

strains small

V V V

V V

V V V

z y

x

z y x z

y z

x y

x z

y x

z y

x p

f f

p

z y

x f

ε ε

ε

ε ε ε ε

ε ε

ε ε

ε ε

ε ε

ε ε

ε ε

ε

ε ε

ε

+ +

+ +

+ +

+ +

=

− +

+ +

=

− =

∆ =

=

+ +

+

=

z y

x

p

ε ε ε

ε = + +

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(12)

Naprężenia i odkształcenia

Hooke’s law

ε σ = E

( + ν )

= 2 1 G E

Shear modulus

Bulk modulus

( 1 2 ν )

3 −

= E

K

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

K G

G K

6 2

2 3

+

= −

ν

(13)

Naprężenia i odkształcenia

Hooke’s law in 3D

































+ +

+

=

















zx yz xy z y x

zx yz xy z y x

E

τ τ τ σ σ σ

ν ν

ν ν

ν

ν ν

ν ν

γ γ γ ε ε ε

) 1

( 2 0

0 0

0 0

0 )

1 ( 2 0

0 0

0

0 0

) 1

( 2 0

0 0

0 0

0 1

0 0

0 1

0 0

0 1

1

( )

( )

( )

( )

( )

(

z y x

)

z

z x

y y

z y

x x

E E E

σ σ

ν σ

ε

σ σ

ν σ

ε

σ σ

ν σ

ε

+

=

+

=

+

=

1 1 1

G G G

yz yz

xz xz

xy xy

γ τ γ τ γ τ

=

=

=

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(14)

Naprężenia i odkształcenia

Elastic materials obey the principle of superposition.

The applied loading order is not important and the equilibrium strain is the same.

ε

= σ

E γ

= τ G

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(15)

Naprężenia i odkształcenia

Soils are elastoplastic materials actually, (elastic deformation + plastic deformation)

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(16)

Vertical stress

Naprężenia i odkształcenia

Horizontal stress

i i

v

γ h

σ =

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

v

K

h

= σ ⋅

σ

K – lateral earth pressure coefficient

(17)

Naprężenia i odkształcenia

Naprężenie pierwotne lub geostatyczne σγz to naprężenie istniejące w gruncie od ciężaru wyżej leżących warstw. Zgodnie z zasadą superpozycji naprężenie całkowite σz w gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego σγz i naprężenia od obciążenia zewnętrznego σqz:

qz z

z

σ σ

σ = γ +

W przypadku przyłożenia obciążenia nie na powierzchni półprzestrzeni, lecz na pewnej głębokości po wykonaniu wykopu, naprężenie całkowite σz w dowolnym punkcie wyznacza się jako sumę naprężenia pierwotnego geostatycznego σγz zmniejszonego o odciążenie wykopem ∆σγz:

(

z z

)

qz

z

σ σ σ

σ = γ − ∆ γ +

Wartość poziomej składowej naprężenia geostatycznego σγxoblicza się ze wzoru:

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

z 0

y

x γ K γ

γ = σ = σ

σ

gdzie: K0 - współczynnik parcia bocznego w spoczynku, σγz - pionowa składowa naprężenia pierwotnego.

(18)

Naprężenia i odkształcenia

σγz

σγy

σγx σγx

σγy

σγz

σγz= γz

σγx = σγy = K0σγz

Składowe naprężenia pierwotnego.

Wartość współczynnika K0 zależy od rodzaju gruntu i historii jego naprężenia i zmienia się w zakresie 0.2 ÷ 0.6 dla gruntów normalnie skonsolidowanych i 0.8 ÷ 2.0 dla gruntów prekonsolidowanych.

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(19)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

5 2

3 2 5

5 2 5

3

2 3

2 2

2 2

5 2

2 3

2 2

2 2

5 2

2 3

2 2 2

3 1 2

2 3 2

3

2 3 1

2

2 3 1

2

R z y P

R z R

xy R

R xyz P

R z x P R

z P

r R

z x z

R Rr

x y

R z y P

r R

z y z

R Rr

y x

R z x P

yz zy

yx xy

xz zx

z y x

τ π τ

π ν τ

τ

τ π τ

σ π

π ν σ

π ν σ

=

=

 

 

 

 

+

− +

=

=

=

=

=

 

 

  

 

 +

+

− −

=

 

 

 

 

 +

+

− −

=

2 2

2

2 2

z y

x R

y x

r

+ +

=

+

=

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

P y

r

z

R

r x

z

σ

x

σ

z

σ

y

τzy τzx

τyz

τyx τxy

τxz

Boussinesq solution

Naprężenia i odkształcenia

(20)

Naprężenia i odkształcenia

Przykład: Znaleźć naprężenia w gruncie wywołane przyłożeniem siły skupionej równej P = 50 kN w punkcie o współrzędnych x = 3m, y = 0m, z = 4m; ν=0.3.

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 0 3

2 0 2 2

3 1 2

367 . 2 0

3

49 . 2 0

3

031 . 0 2

3 1 2

266 . 0 2

3 1 2

5 2

3 2 5

5 2 5

3

2 3

2 2

2 2

5 2

2 3

2 2

2 2

5 2

=

=

=

 =

 

  

 

+

− +

=

=

=

=

=

= =

 =

 

  

 

 +

+

− −

=

 =

 

 

 

 +

+

− −

=

R z y P

R z R

xy R

R xyz P

R kPa z x P R kPa

z P

r kPa R

z x z

R Rr

x y

R z y P

r kPa R

z y z

R Rr

y x

R z x P

yz zy

yx xy

xz zx

z y x

τ π τ

π ν τ

τ

τ π τ

σ π

π ν σ

π ν σ

5 3

2 2

2

2 2

= +

+

=

= +

=

z y

x R

y x

r

(21)

Flamant’s solution – extension to line loads

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Naprężenia i odkształcenia

P

2 2 2

3

) (

2

z x

Pz

z

= +

σ π

2 2 2 2

) (

2

z x

z Px

x

= +

σ π )

( 2

2

2

z

x P

y

= +

π σ ν

2 2 2

2

) (

2

z x

xz P

xz

= ⋅ +

τ π

A strip load is the load transmitted by a structure of finite width and infinite length on a soil surface. The increase in stresses due to a surface stress qs

(force/area) is as follows:

[ ]

[ ]

[ sin sin( 2 ) ]

) 2 cos(

sin

) 2 cos(

sin

β α

π α τ

β α

α π α

σ

β α

α π α

σ

+

=

+

=

+ +

=

zx s x s z s

q q q

(22)

 

  + −

=

 

 

 − +

=

 

  −

=

α π β

τ

β π α

σ

β π α

σ

B z q

R R B

z B

x q

B q x

zx s x s

s z

2 2

cos 2 1

2 2 sin ln 1

2 2 sin 1

2 2

2 1

Naprężenia i odkształcenia

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki B

L

 

 

 

 

 

 



 

 



 

 

 

 

 + 

=

+

L B

L z B

z B q

84 . 0 6 . 2

62 . 0 38 . 1

1 2 1 1

σ

Simplified solution for rectangular loaded areas beneath the centre of the loaded area

bearing pressure q

(23)

Naprężenia i odkształcenia

Metoda punktów narożnych umożliwia wyznaczanie naprężenia pionowego oraz sumy naprężeń głównych pod narożem prostokątnego obciążonego obszaru według wzorów:

( )

( )( )

n

zn

q

z B

L z arctg LB z

B L

z B

z L

z B

L LBz

q η

σ =

+ + +

+ +

+ +

+

= +

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

gdzie:

ηn - współczynnik wyznaczany z nomogramu w zależności od

stosunku L/B (długość obszaru obciążonego do jego szerokości) oraz od stosunku z/B (zagłębienie punktu poniżej powierzchni do szerokości),

q - obciążenie ciągłe.

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(24)

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

z/B

ηn

10,0 8,0 6,0 4,0 2,0

0 0,05 0,100 0,150 0,200 0,250

Nomogram do wyznaczania współczynnika ηn

A B

C D

E M

F

G H

A

G M H

D

B E

C F

(

nMGCH

)

q

EMHD n FBGM n AFME n

zq = η +η +η +η

σ

(

nCFMG

)

q

DFMH n BEMG n AEMH n

zq = η η η +η

σ

a)

b)

Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeń w dowolnym punkcie podłoża.

naroże wewnątrz obciążonego obszaru

naroże na zewnątrz obciążonego obszaru.

Naprężenia i odkształcenia

(25)

Naprężenia i odkształcenia

Metodą punktów środkowych można wyznaczyć naprężenie pionowe pod środkiem prostokątnego obszaru obciążonego, posługując się wzorem:

z/B

η0

5,0 4,0 3,0 2,0 1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

z

η

0

q

σ =

Wartość σz można również wyznaczyć, stosując superpozycję naprężeń pod

wspólnym narożem czterech obciążonych prostokątów o bokach L/2 i B/2.

Nomogram do wyznaczania współczynnika η0.

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(26)

Naprężenia i odkształcenia

Rozkład Naprężenia Pod Fundamentami Sztywnymi

S1 S2

S2>S1 q1

qmax

Z Z

przy qmax Rzeczywisty

rozkład naprężeń

Teoretyczny rozkład naprężeń

w początkowym okresie obciążenia przy obciążeniu granicznym

Rozkład naprężenia pionowego w poziomie posadowienia absolutnie sztywnego fundamentu Teoretyczny rozkład naprężenia w poziomie posadowienia wyznacza się ze wzoru

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

2 2

1

2 r

q σ ρ

=

gdzie:

ρ - odległość rozpatrywanego punktu od środka fundamentu,

r - promień podstawy fundamentu

(27)

Naprężenia i odkształcenia

Naprężenia pionowe na głębokości z (poniżej poziomu posadowienia) wyznacza się jako naprężenia średnie (całkowe) w obrębie prostokąta znajdującego się pod obszarem obciążanym wg wzoru:

s

zs

q η

σ =

gdzie: ηs- współczynnik rozkładu naprężenia

q

L

z

σz σzs

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Rozkład naprężenia σz i naprężenie średnie σzs na

głębokości z pod obszarem prostokątnym obciążonym równomiernie

(28)

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

z/B

ηs

5,0 4,0 3,0 2,0 1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Naprężenia i odkształcenia

Nomogram do wyznaczania współczynnika η

(29)

Naprężenia i odkształcenia

Simplified solution for square loaded areas

beneath the centre of the loaded area bearing

pressure q B

B

 

 

 

 



 



 

 

 

 + 

=

76 . 1

2

1 2 1 1

z q B

σ

z

bearing pressure q Simplified solution for circular loaded areas

beneath the centre of the loaded area B - diameter

 

 

 

 



 



 

 

 

 + 

=

50 . 1

2

1 2 1 1

z q B

σ

z

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(30)

Simplified solution for continuous loaded areas (strip loads) of width B and infinite length beneath the centre of the loaded area

Naprężenia i odkształcenia

 

 

 

 



 



 

 

 

 + 

=

6 . 2

38 . 1

1 2 1 1

z q B

σ

z

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki In preliminary analyses of vertical stress

increase under the center of rectangular loads, geotechnical engineers often use an approximate method (sometimes called the 2:1 method). The vertical stress increase under the center of the load is:

) )(

( B z L z BL

q

s

z

= + +

σ

The approximate method is reasonably

accurate (compared with Boussinesq’s elastic solution) when z > B

(31)

Naprężenia i odkształcenia

Chart solutions for rectangular and circular loaded area - pressure bulbs (stress bulbs).

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(32)

Naprężenia i odkształcenia

Rozkład naprężenia w gruncie od działania obciążenia ciągłego Zastosowanie superpozycji do

wyznaczania naprężenia od obciążenia ciągłego.

Obszar obciążony dzieli się na mniejsze elementy, w środku elementów przykłada się zastępcze siły skupione.

P

P

L=mLi

B=nBi z P=qLiBi

r

R

σz

Wartość naprężenia pionowego normalnego w dowolnym punkcie ośrodka gruntowego obciążonego wyznacza się na podstawie wzoru Boussinesqa:

52

2 2

1

2

3

 

 

 

 

 + 

=

z z r

P

z

π σ

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(33)

Naprężenia i odkształcenia

Wyznaczanie naprężenia pod narożem prostokątnego obszaru obciążonego

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

z

dP

y

x

M 0

B z

r

L

dy dx

Na danym obszarze A wydziela się nieskończenie mały element o polu dA = dx dy;

elementarna siła dP = qdA wywołuje w rozpatrywanym punkcie M na głębokości z poniżej powierzchni półprzestrzeni elementarne naprężenie:

52

2

2

1

2

3

 

 

 

 

 + 

=

z z r

d

z

dP

π σ

Naprężenie pionowe w rozpatrywanym punkcie M od obciążenia ciągłego działającego w

obszarze A wynosi:

∫ ∫

 

 

 + +

=

L B z

z y z x

qdxdy

0 0

2 2 2

2

52

1 2

3 π

σ

Wyznaczanie naprężeń pionowych od obciążenia ciągłego za pomocą

elementarnych zastępczych sił skupionych.

(34)

Naprężenia i odkształcenia

http://www.prenhall.com/coduto/html/Geotechnical/Software.htm

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Geotechnical Engineering: Principles and Practices includes the following

computer software:

STRESSP - Geostatic and induced stresses beneath a point load STRESSL - Geostatic and induced stresses beneath a line load

STRESSR - Geostatic and induced stresses beneath a rectangular area load STRESSC - Geostatic and induced stresses beneath a circular area load

(35)

Naprężenia i odkształcenia

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

FLAC (Version 4.00)

LEGEND

23-Oct-04 18:48 step 4096

2.417E+00 <x< 7.583E+00 -4.126E+00 <y< 1.039E+00 YY-stress contours

-1.10E+05 -9.00E+04 -7.00E+04 -5.00E+04 -3.00E+04 -1.00E+04

Contour interval= 1.00E+04 Net Applied Forces

Max Vector = 5.000E+04

0 1E 5

-3.500 -2.500 -1.500 -0.500 0.500

3.000 4.000 5.000 6.000 7.000

JOB TITLE : .

Marek Cala Katedra Geomechaniki

Naprężenia pionowe wywołane siłą P= 50 kN.

(36)

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Naprężenia i odkształcenia

FLAC (Version 4.00)

LEGEND

23-Oct-04 18:52 step 6872

1.219E+00 <x< 8.781E+00 -6.663E+00 <y< 8.990E-01 YY-stress contours

-4.50E+04 -4.00E+04 -3.50E+04 -3.00E+04 -2.50E+04 -2.00E+04 -1.50E+04 -1.00E+04 -5.00E+03 0.00E+00

Contour interval= 5.00E+03 Net Applied Forces

Max Vector = 1.000E+04

0 2E 4

-6.000 -5.000 -4.000 -3.000 -2.000 -1.000 0.000

2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000

JOB TITLE : .

Marek Cala Katedra Geomechaniki

Naprężenia pionowe wywołane obciążeniem ciągłym q= 50 kN/mb o szerokości 2 m

(37)

θ σ

θ σ

σ θ σ

σ

σ

θ

σ

1 2 1 2

cos 2

1

cos

2 2

sin

2

2

2 − ⋅ = ⋅ + ⋅

+ +

=

Bardzo przydatnym i poglądowym sposobem przedstawienia stanu naprężenia jest koło Mohra. Znając wartość i kierunek składowych naprężenia σ1 i σ3, można wyznaczyć naprężenia normalne i styczne w dowolnym kierunku, stosując następujące związki:

Naprężenia i odkształcenia

σ θ

τ

θ

σ sin 2 2

2

1

− ⋅

=

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

2

2 max 1

σ

τ = σ

(38)

Naprężenia i odkształcenia

Wzory na naprężenia główne oraz ich kierunek:

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

2 2

1

2 2

xy

y x

y

x

σ σ σ τ

σ σ  +

 

 −

+ +

=

2 2

2

2 2

xy

y x

y

x

σ σ σ τ

σ σ  +

 

 −

+ −

=

y x

xy

σ σ

θ τ

= 2 ⋅ 2

tan

Transformacja składowych stanu naprężenia.

Wartości składowych stanu naprężenia można określić z następujących wzorów:

ϕ τ

σ ϕ σ

σ

σ σ cos 2 sin 2

2

2

xy

y x

y

x

− +

+ +

=

σ ϕ ϕ σ

τ

τ sin 2

2 2

cos

x y

xy

− −

=

(39)

Naprężenia i odkształcenia

Koło Mohra dla odkształceń

2 2

1

2 2

xy

y x

y

x

ε ε ε γ

ε ε  +

 

 − + +

=

2 2

2

2 2

xy

y x

y

x

ε ε ε γ

ε ε  +

 

 −

+ −

=

ε θ

γ

θ

ε sin 2 2

2

1

− ⋅

=

θ ε

θ ε

ε θ ε

ε

ε

θ

ε

1 2 1 2

cos 2

1

cos

2 2

sin

2

2

2 − ⋅ = ⋅ + ⋅

+ +

=

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(40)

Naprężenia i odkształcenia

Koło Mohra dla przestrzennego stanu naprężenia i odkształcenia

If all the principal stresses are considered (3-D), there are three Mohr’s circles. However, in general we concern the maximum shear mostly and therefore the major and the minor are only important. (σ2- intermediate principal stress.

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(41)

Naprężenia i odkształcenia

Odwzorowanie Stanu Naprężenia w Układzie p – q

Przedstawienie na jednym wykresie wielu stanów naprężenia dokonuje się poprzez nanoszenie punktu, którego współrzędne są równe:

2

3

1

σ

σ + p =

2

3

1

σ

σ −

= q

W większości przypadków naprężenia główne występują na pionowych bądź na poziomych płaszczyznach, a zatem równania można napisać w postaci:

2

y

q σ

x

− σ

2 =

y

p σ

x

+ σ

=

Ten sposób przedstawienia stanu naprężenia w gruncie sprowadza się do naniesienia jednego najwyżej leżącego punktu dla q dodatniego lub najniżej leżącego punktu dla q ujemnego na kole Mohra.

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(42)

Naprężenia i odkształcenia

Ścieżki Naprężenia

Ścieżka naprężenia to linia prosta lub krzywa powstała w wyniku połączenia szeregu punktów stanu naprężenia naniesionych na wykres, przedstawia ciągłość kolejnych stanów naprężenia.

A

B C

D E

A B

C D

E Ścieżka naprężenia

p q

a) b)

σθ τθ

koło Mohra wykres p –q

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Przedstawienie kolejnych stanów naprężenia przy zwiększeniu

pionowej składowej naprężenia σ1 i stałej wartości składowej σ3

(43)

Naprężenia i odkształcenia

Example problem:

At some point on the free surface of a machine element, the Cartesian stresses were determined. Construct the Mohr's circle for this state of plane stress to determine the principal stresses and principal directions.

xy

MPa

y x

y

x

33

2 2

2 2

1

 + =

 

 −

+ +

= σ σ σ σ τ

σ

4 . 2 2

2

tan =

= ⋅

y x

xy

σ σ

θ τ

xy

MPa

y x

y

x

7

2 2

2 2

2

  + =

 

 −

+ −

= σ σ σ σ τ

σ

38

o

.

= 67 θ

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

(44)

Literatura

• Szymański A. – Wykłady z mechaniki gruntów i budownictwa ziemnego

• Wiłun Z. – Zarys geotechniki

• Lambe T. W. Whitman R.V (1976, 1977) Mechanika gruntów,Tom I i II, Arkady, Warszawa

• Verruijt A. 2001. Soil Mechanics

• Coduto D.P. 1999. Geotechnical Engineering.

• Coduto D.P. 2001. Foundation design.

• Jarominiak A. 1999. Lekkie konstrukcje oporowe.

• Myślińska E. 2001. Laboratoryjne badania gruntów.

• Obrycki M., Pisarczyk S. 1999. Zbiór zadań z mechaniki gruntów.

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Cytaty

Powiązane dokumenty

Ponadto cena za odbiór i zagospodarowanie odpadów oparta jest na kosztach funkcjonowania systemu, tym samym obejmując koszty zagospodarowania wszystkich odpadów,

131 z 352 mężów zaufania. ustalono ostatecznie miejscowości oraz nazwiska delegatów. Placówki te roztoczyły opiekę nad polską ludnością cywilną w 46 okręgach,

the response behaviour of a ship in course- control, however, this frequency dependence is not of great importance, because very little high frequency harmonic component is contained

Christopher Knill (1995) zauważa, że dotyk jest pierwszym doznaniem w ludzkim życiu. Noworodki doświadczają otaczającego ich świata i komunikują się z opiekunem

Because of the low scatter signal rate and the increased bandwidth requirements involved with processing the pulsed laser signals (they are beyond the

W numerze prezentujemy teksty kulturoznawców z kilku polskich ośrodków uniwersyteckich oraz glottodydaktyków, którzy w procesie nauczania języka polskiego cudzoziemców

przedstawiła sytuację polityczną, gospodarczą i społeczną w XIX wieku i w prze­ dedniu strajków szkolnych w Prusach Zachodnich, politykę szkolną prowadzoną

Ossolińskich we Wrocławiu mogłyby naświetlić to