Ćwiczenia nr 3, GAL I.2, 10.3.2020 Twierdzenie Jordana
Zadanie 1. Znajdź postać Jordana macierzy
1 −1 −2 4
1 −3 1 −2
0 0 2 −8
0 0 2 −6
Zadanie 2. Podaj postać Jordana macierzy w zależności od parametru t ∈ R:
"
5 t 0 5
#
,
5 t 1
0 5 t − 1
0 0 5
,
5 t 1 0
0 5 t − 1 2
0 0 5 1
0 0 0 5
,
5 0 1 2 0
0 5 t 1 1
0 0 5 t − 1 2
0 0 0 5 1
0 0 0 0 5
Zadanie 3. Niech
A =
"
2 1 1 2
#
, B =
"
−3 −2
5 4
#
.
Oblicz An oraz Bn, gdzie n ∈ N.
Zadanie 4. Ciąg (an) zdefiniowany jest przez a0 = 1, a1 = −1, an = an−1+ 6an−2 dla n 2.
Znajdź wzór jawny na an.
Zadanie 5. Niech f : V → V będzie endomorfizmem takim, że f ◦ f ◦ f = f , gdzie V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad R. Udowodnij, że istnieją podprzestrzenie V0, V+, V− ⊂ V takie, że V = V0⊕ V+⊕ V− oraz f |V0 = 0, f |V+ = idV+, f |V− = − idV−. Zadanie 6. Dla jakich p = 2, 3, 5, 11 macierz
0 1 2 1 2 0 2 0 1
jest diagonalizowalna nad Zp?
Zadanie 7. Znajdź liczbę macierzy A ∈ M2×2(Z2) diagonalizowalnych nad Z2.
Zadanie 8. Przypuśćmy, że A ∈ Mn×n(C) ma rząd równy 1. Udowodnij, że A jest diagonali- zowalna wtedy i tylko wtedy, gdy tr A 6= 0.
Zadanie 9. Opisać wszystkie podprzetrzenie niezmiennicze endomorfizmu f : R3 → R3 zada- nego macierzą
2 0 0 1 4 2 2 0 1
, (a)
2 0 0
2 1 2
2 −1 4
, (b)
1 0 0 2 2 1 2 1 2
, (c)
2 0 0
2 1 1
2 −1 3
, (d)
2 0 0
3 1 1
4 −1 3
Zadanie 10. Znajdź wszystkie macierze A ∈ M2×2(R) takie, że macierz A2jest równa (a)
"
4 6 0 0
#
, (b)
"
2 1 2 3
#
, (c)
"
2 3
−1 −1
#
Zadanie 11. Niech
A =
7 −4 9 12 −7 18
0 0 8
∈ M3×3(C).
Znajdź taką macierz B ∈ M3×3(C), że B3 = A. Uzasadnij, że takich macierzy jest więcej niż 25 i pośród nich jest macierz rzeczywista.
Zadanie 12. Czy macierze
1 1 0 0
0 3 1 0
8 −4 5 0 10 −5 3 3
,
3 −1 −5 0 1 −2 −24 3
0 1 8 0
0 0 0 3
są podobne nad R?
Zadanie 13. Znajdź postać Jordana macierzy
1 1 1 . . . 1 0 1 1 . . . 1 0 0 1 . . . 1 ... ... ... . .. ...
0 0 0 . . . 1
,
0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... . .. ...
0 0 . . . 1 1 0 0 . . . 0
z Mn×n(C), n 2.
Zadanie 14. Załóżmy, że endomorfizm f : C5 → C5 spełnia: f2 6= 0, f6 = 0, dim(ker f ∩ im f ) = 2. Opisz wszystkie ( z dokładnością do permutacji klatek) możliwe postacie Jordana macierzy endomorfizmu f w bazie standardowej.
Zadanie 15. Wyznacz postać Jordana macierzy A ∈ M6×6(C), której wielomianem charakte- rystycznym jest (λ − 2)4(λ − 3)2 oraz (A − 2I)2 6= (A − 2I)3 = (A − 2I)4.
Zadanie 16. Załóżmy, że A, B ∈ Mn×n(K), AB − BA = λA dla pewnego λ ∈ K, przy czym K jest charakterystyki zero. Uzasadnij, że AkB − BAk = kλAk dla k ∈ N i wywnioskuj stąd, że macierz A jest nilpotentna.
2
