• Nie Znaleziono Wyników

Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo tego, że rzucimy więcej niż 440 razy? Zadanie 3

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo tego, że rzucimy więcej niż 440 razy? Zadanie 3"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Ćwiczenia nr 12, RP, 7.6.2020

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a. Twierdzenie Poissona

Zadanie 1. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0.517. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród 10 000 noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?

Zadanie 2. Rzucamy symetryczną monetą do momentu, gdy wyrzucimy 200 orłów (łącznie, niekoniecznie pod rząd). Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo tego, że rzucimy więcej niż 440 razy?

Zadanie 3. Ile średnio rodzynków powinno zawierać ciastko, żeby z prawdopodobieństwem 0.99 dane ciastko zawierało co najmniej jeden rodzynek?

Zadanie 4. Maszyna składa się z 10 000 części pochodzących od trzech producentów A (1000 części), B (2000), C (7000), z których każda (niezależnie od pozostałych) może okazać się wadliwa z prawdopodobieństwem 0.0007, 0.0003 i 0.0001. Maszyna nie działa, jeśli co najmniej dwie spośród jej części są wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będzie ona działać?

Zadanie 5. Na poczcie pojawia się 100 klientów dziennie, każdy z nich dokonuje wpłaty (lub wypłaty) Xi, gdzie Xi są niezależnymi zmiennymi o tym samy rozkładzie, zerowej średniej i wariancji równej 1002. Ile gotówki należy mieć w kasie rano, by z prawdopodobieństwem 0.99 na koniec dnia nie zabrakło pieniędzy?

(Zakładamy, że w ciągu dnia ewentualne braki uzupełnia ze swej kieszeni naczelnik, ale wieczorem chce odzyskać swoje pieniądze. Jak zmieni się odpowiedź, gdy jest 100 urzędów pocztowych, pracujących w tych samych warunkach i mogących pożyczać sobie nawzajem gotówkę.

Zadanie 6. Do sklepu meblowego przywieziono 150 biurek I rodzaju oraz 75 biurek II rodzaju. Wiadomo, że biurka I rodzaju cieszą się dwukrotnie większym powodzeniem (tzn. prawdopodobieństwo tego, że klient kupujący biurko zdecyduje się na biurko I rodzaju wynosi 2/3). Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo tego, że któryś z pierwszych 200 klientów kupujących biurka nie dostanie takiego modelu, jaki chce?

Zadanie 7. Na partię A głosuje około 30% osób. Ile osób musimy (mniej więcej) przepytać, by otrzymać poparcie parti A z błędem mniejszym niż 1% z prawdopodobieństwem przynajmniej 0.9?

Zadanie 8. Do egzaminu ustnego podchodzi 200 studentów. Każdy z nich z prawdopodobieństwem 80% przy- gotował się do egzaminu, a na 20% idzie „na żywca”. Prawdopodobieństwo zaliczenia egzaminu przy- gotowanego studenta to 60%, a nieprzygotowanego— 10%. Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że egzamin zaliczy przynajmniej 110 studentów.

Zadanie 9. Dany jest ciąg (εn) niezależnych zmiennych losowych Rademachera1. Dowieść, że ciąg ε1+ ε2+ . . . + εn

√n

nie jest zbieżny prawie na pewno.

Zadanie 10. Niech (εn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych Rademachera. Udowodnij, że

n→∞lim P

 ε1+ . . . + ε2n

2n < 0



1 2

·√

2n = 1/√ 2π,

a zatem stała C w oszacowaniu Berry-Esseen’a

sup

t∈R

P

 Sn− ESn

√Var Sn < t



− Φ(t)

¬ CE|X1− EX1|3 σ3

n jest większa lub równa 1/√

2π. (Sn= X1+ . . . + Xn, (Xn)-ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, σ =√

Var X1, E|X1|3< ∞.)

1P(εn= ±1) = 1/2

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Oblicz prawdopodo- bieństwo, że wybrano 2 asy, jeśli wiemy, że (a) wybrano co najmniej jednego asa; (b) wśród wybranych kart jest as czerwony..

Prawdopodobieństwo, że organizm pacjenta, który przeżył operację transplantacji, odrzuci przeszczepiony narząd w ciągu miesiąca jest równe 0.20..

Jaka jest szansa, że wśród 10 losowo wybranych pączków znajdzie się przynajmniej 8 pączkow

15. Przy okrągłym stole usiadło dziesięć dziewcząt i dziesięciu chłopców. Jaka jest szansa, że osoby tej samej płci nie siedzą obok siebie? Jakie jest prawdopodobieństwo,

7. Przy okrągłym stole usiadło dziesięć dziewcząt i dziesięciu chłopców. Jaka jest szansa, że osoby tej samej płci nie siedzą obok siebie? Jakie jest prawdopodobieństwo, że

Znaleźć wartość oczekiwaną pola prostokąta, którego obwód równy jest 20, a jeden bok jest zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym na odcinku [1, 10].. Losujemy kule

7. W n rozróżnialnych komórkach rozmieszczono losowo r nierozróżnialnych cząstek, zakładamy, że wszystkie możliwe rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne. Jaka jest szansa,

3. Rzucamy dwiema kostkami. Obliczyć prawdopodobieństwo, że iloczyn liczb równych wyrzuconym oczkom jest liczbą parzystą... 5. Losujemy 2 kule bez zwracania. Udowodnić,