• Nie Znaleziono Wyników

DynamikaArytmetyczna SeminariumSFARA UAM

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "DynamikaArytmetyczna SeminariumSFARA UAM"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

UAM

Wydział Matematyki i Informatyki ul. Umultowska 87 61–614 Poznań

Adam Mickiewicz University Faculty of Mathematics and Computer Science fax: +48(61)8295315

Seminarium SFARA Dynamika Arytmetyczna

B1-37, czwartek, 15.30 - 17.30 Prowadzący: W.Gajda i Ł.Nizio

Uczestnicy: J.Garnek, K.Górnisiewicz, A.Kaim, A.Kokosza, M.Krawiarz, B.Naskręcki, W.Wawrów i inni

Podczas seminarium SFARA w tym semestrze omówimy podstawy teorii dynamiki en- domorfizmów obiektów arytmetycznych, takich jak na przykład: funkcje wymierne na przestrzeniach rzutowych, wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju oraz przekształce- nia Lettesa na krzywych eliptycznych. W ostatnim czasie dynamika arytmetyczna, która bada arytmetyczne własności systemów dynamicznych, przeżywa bujny rozwój. Przy tym poziom technicznego zaawansowania technik tej teorii pozostaje nadal dostępny dla pra- wie każdego studenta matematyki po podstawowych kursach algebry i analizy. Podczas seminarium poznamy podstawy teorii arytmetycznych systemów dynamicznych. Nasze wykłady powinny zainteresować studentów matematyki i jej zastosowań. Wykłady z te- go opisu oprzemy na książce i notkach Silvermana [Silv2007] i [Silv2010].

Wykład 1 i 2. Wprowadzenie

Omówimy materiał z pierwszych czterech rozdziałów notek Silvermana [Sil2010]. Po wprowadzeniu definicji systemu dynamicznego oraz przedstawieniu przykładów dowo- dzimy Thm. 5 z [Sil2010]. Pierwszy wykład powinien zakończyć się dowodem jednego z twierdzeń o zbiorach fraktalnych: Thm. 8, 10 lub 11. Proszę nie zapominać o konieczności rozwiązywania ćwiczeń z [Sil2010]. Szczególnie Exercise G o wielomianach Czebyszewa będzie nam bardzo potrzebne w dalszym ciągu seminarium. Drugi wykład pana Bartosza powinien zawierać rzetelne wprowadzenie do teorii wysokości w sensie Weila oparte na książce [HS]. Ponadto dowodzimy Thm. 12, Prop. 13 i Thm. 14 z [Silv2010] korzystając przy tym z [Silv2007].

15 i 22 marca 2018, wykłada: B.Naskręcki

Wykłady 3 i 4. Punkty preperiodyczne i funkcje wysokości

Omawiamy rozdział 5 notek [Silv2010]. Przeprowadzić dowody Thm. 15 i 17. Wprowadzić spolaryzowane systemy dynamiczne, wysokości lokalne i funkcje Greena według opisu wSuplementary material na stronie 15. Przedyskutować hipotezy: 18, 20, 21 i 22 oraz Thm. 19 (bez dowodu). Pamiętamy o konieczności rozwiązywania ćwiczeń z notatek [Silv2010], które stanowią ważną część wykładu.

29.03 i 12.04, wykładają: K.Górnisiewicz, A.Kaim i M.Krawiarz

(2)

Wykłady 5 i 6. Dynamika przekształceń dobrej redukcji

Podczas tych dwóch wykładów przedyskutujemy materiał z rozdziału 6 z [Silv2010].

Przypomnieć definicję rezultantu dwóch wielomianów oraz omówić pojęcie dobrej redukcji funkcji wymiernej. Dowieść Prop. 24, Thm. 25 i Cor. 26. Na zakończenie przedyskutować dowód Thm. 27 z [Zieve].

19.04 i 26.04, wykłada: A.Kokosza i W.Wawrów Wykłady 7 i 8. Punkty całkowite orbit

Rozdział 7 jest bardzo ważną częścią [Silv2010]. Przeprowadzimy dowód Thm. 30. Na- stępnie dowodzimy Prop. 31 i omówiamy hipotezę 32 sformułowaną przez S.Langa.

10.05 i 17.05, wykłada: Ł.Nizio

Wykład 9. Dynamika i arytmetyka; analogie i różnice

Podczas wykładu przedstawimy klasyczne hipotezy geometrii arytmetycznej: Manina- Mumforda, Bogomolowa, Mordella-Langa oraz ich odpowiedniki dynamiczne. W uzupeł- nieniu do [Silv2010] podam szkic dowodu twiedzenia Raynaud lub twierdenia Faltingsa.

24.05, wykłada: W.Gajda

Wykłady 10, 11 i 12. Przekształcenia Lattesa krzywych eliptycznych

Korzystamy z szóstego rozdziału książki [Silv2007]. Po krótkim omówieniu materiału wprowadzonego w podrozdziałach 6.1, 6.2 i 6.3 (krzywe eliptyczne w tym semestrze wy- kłada kolega Banaszak) należy szczegółowo omówić własności przekształceń Lattesa z 6.4. Dwa ostatnie wykłady naszego seminarium powinny zawierać materiał wybrany z podrozdziałów 6.5, 6.6 i 6.7 książki [Silv2007]. Omówić szczegółowo dowody Thm. 6.65 i Thm. 6.67 na szacowanie liczby punktów preperiodycznych oraz dowód Thm. 6.69 z jak największą ilością szczegółów dowodu. Zakończyć wyprowadzeniem Thm. 6.70 z Thm.

6.69 i krótką informacją o hipotezie ABC.

31.05, 7.06 i 14.06.2018, wykładają: J.Garnek i Ł.Nizio.

Literatura

1

[HS] Hindry, M., Silverman, J.: Introduction to Diophantine Geometry, SV 1998.

[Silv2010] Silverman, J.: Lecture Notes on Arithmetic Dynamics, Arizona Winter School, March 13-17, 2010.

[Silv2007] Silverman, J.: The Arithmetic of Dynamical Systems, Springer 2007.

[Silv1992] Silverman, J.: Integer points,Diophantine approximation, and iteration of rational maps, Duke Math. Jour. 71 (3), 793-829 (1992).

[Zieve] Zieve, M.: Cycles of Polynomial Mappings, PhD. Thesis, University of Ca- lifornia at Berkeley 1996.

Program seminarium przygotował W.Gajda.

1Proszę, aby każdy z wykładowców przed swoim wykładem kontaktował się z prowadzącymi seminarium w sprawie wyboru omawianych zagadnień, twierdzeń i dowodów.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zwięzłe wprowadzenie do geometrii algebraicznej: rozmaitości afiniczne i rzutowe, pierścień współrzęd- nych, pierścień lokalny, ciało funkcyjne, wymiar rozmaitości za

Główne twierdzenie teorii Hondy-Tate’a, którego dowód przeanalizujemy pochodzi z pracy Hondy [Ho] i prac Tate’a [Ta1], [Ta2].. (patrz także świetne notatki Fransa Oorta na ten

Posługując się konstrukcją reprezentacji Galois na kohomologii ´ etale wyprowadza się z hipotez Weila (= inne sąwne twierdzenie Deligne’a) dowód hipotezy Ramanujana o

W tym semestrze podczas Seminarium poznamy szczegóły techniczne konstrukcji ray class fields w przypadku ciał kwadratowych urojonych, którą prowadzi się przy pomocy teorii

(Zależność waluacji i topologia indukowana waluacją): Omówić podrozdział 2.3: waluacje zależne, pierścień waluacji O w ciele K, ideały pierwsze, podgrupy spójne w Γ,

Wykłady seminarium powinny być dostępne i dobrze zrozumiałe dla studentów matematyki po trzech semestrach analizy (oczywiście głównie tych którzy poważnie interesują się

This semester our seminar will focus at the definition and basic properties of the etale fundamental group defined by Grothendieck, which is one of central objects of study

Celem tego wykładu jest przedstawienie definicji kanonicznego modelu całkowitego Mil- nego [Kis10, 2.3.7] 2 i omówienie jego konstrukcji w przypadku typu PEL.. Skorzystać z